1. В этом разделе мы введем некоторые обозначения, которые понадобятся нам в дальнейшем. В частности, мы представим дифференциальные уравнения для псевдоголоморфных кривых.

Мы ограничимся рассмотрением тора $M=T^{2 n}=\mathbb{R}^{2 n} / \mathbb{Z}^{2 n}$, где решетка $\Gamma \equiv \mathbb{Z}^{2 n}$ фиксирована. Соответственно зафиксируем координаты $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{2 n}\right) \in \mathbb{R}^{2 n}$, в которых $\mathbb{Z}^{2 n}$ отвечает целым векторам. Любая почти комплексная структура на $\mathbb{R}^{2 n}$ задается изоморфизмом $J(x)$ слоев $T_{x} \mathbb{R}^{2 n}$, удовлетворяющим соотношению $J^{2}=-i d$; мы определим структуру при помощи матрицы $\left(J_{
u \mu}\right)$, как это описано в (1.5). Структура проектируется на тор, если $J(x)$ является $\mathbb{Z}^{2 n}$-периодичной.

Почти комплексную структуру можно задать другим способом при помощи расщепления
\[
\mathbb{C} \otimes T M=T_{\mathbb{C}} M=E+\bar{E}, \quad E \cap \bar{E}=0,
\]

где $E=\operatorname{ker}(J+i I)$. Таким образом, $J$ соответствует отображению $\xi \rightarrow-i \xi$ для $\xi \in E$. Наконец, третье представление почти комплексной структуры задается при помощи расщепления комплексифицированного кокасательного расслоения
\[
T_{\mathbb{C}}^{*} M=E^{*}+\bar{E}^{*}, \quad E^{*} \cap \bar{E}^{*}=0,
\]

где $E^{*}(\bar{E})=0$. Все представления эквивалентны, и мы, в основном, будем пользоваться последним.
2. Выберем базис $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}$ комплексных 1-форм в $E^{*}$. Мы будем рассматривать структуры $J(x)$, близкие к постоянным матрицам, так что этот базис можно представить в виде
\[
\omega_{k}=\sum_{
u=1}^{2 n} C_{k
u}(x) d x_{
u}, \quad k=1,2, \ldots, n
\]

с $\mathbb{Z}^{2 n}$-периодическими коэффициентами $C_{k
u}$. Кроме того, поскольку $\omega_{k}$ и $\bar{\omega}_{k}$ порождают $T_{\mathbb{C}}^{*} M$, мы имеем $\omega_{1} \wedge \omega_{2} \wedge \ldots \wedge \omega_{n} \wedge \bar{\omega}_{1} \wedge \ldots \wedge \bar{\omega}_{n}
eq 0$, что эквивалентно
\[
\Delta=\operatorname{det}\left(\left(\frac{C}{C}\right)
eq 0,\right.
\]

где $C$ обозначает $(n \times 2 n)$-матрицу $\left(C_{k
u}\right)$. Очевидно, матрица $C=C(x)$ определяется не единственным образом, так как изменение базиса приводит к $A(x) C(x)$, где $A \in \mathrm{Gl}\left(\mathbb{C}^{n}\right)$. Изменение базиса в $\mathbb{Z}^{2 n}$ соответствует замене $C$ на $C U$, где $U$ – это унимодулярная матрица (т.е. целая матрица с $\operatorname{det} U=1$ ).
Двойственный базис $V_{\ell}, \bar{V}_{\ell} \kappa \omega_{k}, \bar{\omega}_{k}$, заданный равенствами
\[
\omega_{k}\left(V_{\ell}\right)=\delta_{k \ell}, \quad \omega_{k}\left(\bar{V}_{\ell}\right)=0,
\]

определяет базис в $E=\operatorname{span}\left(V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{n}\right)$. В координатах это запишется как
\[
V_{\ell}=\sum_{
u=1}^{2 n} B_{\ell_{
u}}(x) \partial_{x_{
u}} .
\]

В силу (2.4) имеем
\[
\left(\frac{C}{C}\right) \cdot\left(\frac{B}{B}\right)^{T}=I_{2 n}
\]

или
\[
C B^{T}=I_{n}, \quad C \bar{B}^{T}=0 .
\]

В случае, когда $C$ не зависит от $x$, формы $\omega_{k}$ являются точными формами, и они определяют комплексные координаты $z_{k}$ равенствами $\omega_{k}=$ $=d z_{k}$, где
\[
z=C x .
\]

Матрица $J=\left(J_{
u \mu}\right)$, определенная соотношением (1.5), связана с матрицей $C$ уравнением (1.6), где $T=\left(C^{T}, \bar{C}^{T}\right)$, другими словами, выполнено равенство
\[
C\left(J^{T}+i I\right)=0 .
\]
3. Для того чтобы написать дифференциальные уравнения псевдоголоморфной кривой из $\mathbb{C}$ со стандартной комплексной структурой $J_{\text {stand }}: \partial_{\zeta} \rightarrow \frac{1}{i} \partial_{\zeta}$, рассмотрим отображение
\[
f:\left(\mathbb{C}, J_{\text {stand }}\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{2 n}, J\right),
\]

заданное $\mathbb{R}^{2 n}$-значной функцией $x=f(\zeta)$. Это отображение является голоморфным, если отображение $f^{*}: T^{*}\left(\mathbb{R}^{2 n}, J\right) \rightarrow\left(T^{*} \mathbb{C}, J_{\text {stand }}\right)$ переводит $E^{*}$ в линейную оболочку дифференциала $d \zeta$, т. е. если
\[
f^{*} \omega_{k}=\lambda_{k} d \zeta,
\]

где $\lambda_{k}$ – это комплекснозначная функция переменной $x$. Поскольку
\[
f^{*} \omega_{k}=\sum C_{k
u}(f)\left(\partial_{\zeta} f_{
u} d \zeta+\partial_{\bar{\zeta}} f_{
u} d \bar{\zeta}\right),
\]

отсюда следует, что
\[
C(f) \partial_{\bar{\zeta}} f=0,
\]

где $C(f) \partial_{\zeta} f$ определяет вектор $\lambda=\left(\lambda_{k}\right)$.
Параметризованная кривая, определяемая системой (2.9) из $n$ комплексных уравнений для отображения $f$, является псевдоголоморфной. Эта система эллиптическая: если $\zeta=\xi+i \eta, 2 \partial_{\xi}=\partial_{\xi}+i \partial_{\eta}$, то, заменяя $\partial_{\xi}, \partial_{\eta}$ действительными переменными $\lambda, \mu$, мы можем записать матрицу системы
\[
\sigma(x, \lambda, \mu)=\left(\begin{array}{c}
C(\lambda+i \mu) \\
\bar{C}(\lambda-i \mu)
\end{array}\right) .
\]

Характеристическая форма есть
\[
\operatorname{det} \sigma(x, \lambda, \mu)=\left(\lambda^{2}+\mu^{2}\right)^{n} \Delta(x),
\]

где $\Delta$ – это определитель (2.3). Эта форма не имеет вещественных нулей, поэтому (2.9) – это эллиптическая система, ее решения будут построены в пятом разделе.