a. Мы возвратимся к исследованию гамильтоновых систем вблизи точки равновесия и попытаемся найти для них критерий устойчивости. Интуитивно устойчивость означает, что все решения, начинающиеся достаточно близко к точке равновесия, будут оставаться вблизи нее в течение всего будущего времени. К примеру, из устойчивости точек равновесия $L_{4}$ и $L_{5}$ будет вытекать, что астероиды, находящиеся в начальный момент достаточно близко (в фазовом пространстве) к точке $L_{4}$, всегда будут оставаться около нее и, в частности, никогда не столкнутся с большими телами.

Точное определение устойчивости восходит к Ляпунову: точка равновесия, скажем $w=0$, называется $у$ стойчивой (относительно данной системы дифференциальных уравнений $\dot{w}=F(w)$ ), если для любой данной окрестности $|w|<\varepsilon(\varepsilon>0)$ точки $w=0$ существует (меньшая) окрестность $|w|<\delta(\varepsilon)$, такая, что все решения, у которых $|w(0)|<\delta(\varepsilon)$, продолжают оставаться в $\varepsilon$-окрестности при всех $t>0$.

Ясно, что это понятие весьма важно для приложений, поскольку в случае устойчивости можно предсказывать приблизительно положение решения в любой момент, если его положение в начальный момент известно. Легко видеть, что между понятиями устойчивости и непрерывности существует аналогия. Устойчивость означает по существу равномерную непрерывность при всех $t>0$ зависимости орбиты от начальных данных. В то время как стандартные теоремы о непрерывной зависимости от начальных данных устанавливают такую устойчивость для конечного промежутка времени, нас здесь будет интересовать более трудная задача для случая бесконечного промежутка.

Найти критерий устойчивости – значит найти условие, которое может быть проверено путем вычислений; им может служить, например, условие, выраженное в терминах конечного числа коэффициентов тейлоровского разложения гамильтониана. Мы видели в предыдущей главе, что такого критерия для интегрируемости не существует, поскольку последняя зависит от иррациональности некоторых величин и, кроме того, от бесконечного числа коэффициентов тейлоровского разложения. Замечателен факт, что вопрос об устойчивости может быть сведен к вопросу о выполнении конечного числа неравенств. Это и составляет предмет данной ілавы.
б. Простейшим и наиболее широко известным критерием устойчивости является следующий: если квадратичная часть гамильтониана положительно (или отрицательно) определена, то точка равновесия устойчива. В самом деле, если $H^{(2)}$ положительно определена, то существуют положительные константы $a, b$, такие, что
\[
a|w|^{2} \leqslant H^{(2)} \leqslant b|w|^{2} .
\]

Следовательно, при достаточно малом $|w|$ мы имеем
\[
\frac{a}{2}|w|^{2} \leqslant H \leqslant 2 b|w|^{2} \quad \text { при } \quad|w|<r .
\]

Если, далее, $|w(0)|<\delta(\varepsilon)$, то $H<2 b \delta^{2}$ при $t=0$. Но в силу того, что $H$ является интегралом, мы имеем
\[
\frac{a}{2}|w(t)|^{2} \leqslant H \leqslant 2 b \delta^{2},
\]

или
\[
|w(t)|<2 \sqrt{\frac{b}{a}} \delta .
\]

Таким образом, можно взять $\delta(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{2} \sqrt{\frac{a}{b}}$ при $0<\varepsilon<r$; устойчивость точки равновесия $w=0$ установлена.

Существует общая уверенность в том, что это условие является также и необходимым, по крайней мере для практических целей. В самом деле, для систем с гамильтонианом $H=T(y)+U(x)$, где кинетическая энергия $T$ является положительно определенной формой от переменных $y$, а потенциальная энергия $U$ – функцией от переменных $x$, это действительно так. Но уже в ограниченной задаче трех тел квадратичная часть гамильтониана $H$ не является положительно определенной, а устойчивость получить мы можем. Ограниченная задача трех тел имеет дело с движением частицы во вращающейся системе, и поэтому ее гамильтониан не может быть представлен в виде $T+U$.
в. В оставшейся части этой главы мы будем рассматривать системы с двумя степенями свободы и будем предполагать, как и прежде, что
\[
H=\sum_{
u=1}^{2} \frac{\alpha
u}{2}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)+H^{(3)}+\ldots .
\]

Как мы только что видели (в пункте б), устойчивость заведомо имеет место, если $\alpha_{1} \alpha_{2}>0$, поскольку тогда квадратичная часть $I I$ знакоопределена. Нас интересует, таким образом, случай $\alpha_{1} \alpha_{2}<0$ (с которым мы сталкиваемся при изучении ограниченной задачи трех тел).

Если $\alpha_{1} \alpha_{2}<0$, то, как мы увидим, устойчивость зависит от нелинейных инвариантов системы. Для того чтобы выразить условие устойчивости в доступном виде, воспользуемся результатами, полученными при изучении нормальной формы. Чтобы обойти тонкий вопрос о сходимости, мы построим преобразование, приводящее гамильтониан к нормальной форме только в членах порядка, меньшего или равного 4. Такое преобразование может быть найдено, если $j_{1} \alpha_{1}+j_{2} \alpha_{2}
eq 0$ при $0<\left|j_{1}\right|+$ $+\left|j_{2}\right|<4$ или если
\[
\left|\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}\right|
eq \frac{p}{q} \quad \text { при } \quad p, q=1,2,3,4 .
\]

Мы можем предположить теперь, что
\[
H=\sum_{
u=1}^{2} \frac{\alpha_{
u}}{2} R_{
u}+\sum_{
u, \mu=1}^{2} \frac{\beta_{
u \mu}}{4} R_{
u} R_{\mu}+O_{5}
\]

где $R_{
u}=x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}$ и через $O_{5}$ обозначен степенной ряд, содержащий члены порядка, не меньшего 5.

Теорема 7 (В.И.Арнольд [1]). Если детерминант из коэффициентов гамильтониана (3)
\[
D=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}
\beta_{11} & \beta_{12} & \alpha_{1} \\
\beta_{12} & \beta_{22} & \alpha_{2} \\
\alpha_{1} & \alpha_{2} & 0
\end{array}\right)=-\left(\beta_{11} \alpha_{2}^{2}-2 \beta_{12} \alpha_{1} \alpha_{2}+\beta_{22} \alpha_{1}^{2}\right)
\]

не равен нулю, то точка $x=y=0$ является устойчивой точкой равновесия системы, определяемой этим гамильтонианом.
г. Прежде чем перейти к изложению идеи доказательства, мы укажем на то, что условие (2), также как и условие $D
eq 0$, в принципе допускает проверку. Практически эта проверка включает в себя вычисление $\alpha_{
u}, \beta_{
u \mu}$ как функций коэффициентов при членах $2,3,4$-го порядка гамильтониана, что может оказаться делом весьма затруднительным. Для ограниченной задачи трех тел эти вычисления были проделаны м-ром и м-сс Депри [8] в 1966 г. вслед за А. М. Леонтовичем [16], который еще в 1962 г. доказал устойчивость точек $L_{4}, L_{5}$ с точностью до наличия некоторых исключительных значений, которые не были указаны конкретно.
Хорошо известно, что для достаточно малых $\mu$, а именно таких, что $0<$ $<\mu(1-\mu)<\frac{1}{27}$, т.е. при $0<\mu<\mu_{1}=$ $=0.0385$ линеаризованная в $L_{4}$ система устойчива. Частоты $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ оказываютея корнями уравнения $\alpha^{4}-\alpha^{2}+$ $+\frac{27}{4} \mu(1-\mu)=0$. Гамильтониан может быть преобразован к виду (1), где $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ имеют противоположные знаки! Депри нашли для детерминанта $D$ следующее выражение:
\[
D=-\frac{1}{8} \frac{36-541 \alpha_{1}^{2} \alpha_{2}^{2}+644 \alpha_{1}^{4} \alpha_{2}^{4}}{\left(1-4 \alpha_{1}^{2} \alpha_{2}^{2}\right)\left(4-25 \alpha_{1}^{2} \alpha_{2}^{2}\right)} .
\]

Рис. 5. Условие устойчивости для гамильтониана, имеющего нормальную форму в членах порядка $\leqslant 4$
Этот детерминант, рассматриваемый как функция от $\mu$, изображен на графике.

Отсюда видно, что интервал $0<\mu<\mu_{1}$ содержит единственное исключительное значение $\mu_{c}=0.0109$, где $D$ обращается в нуль; кроме того, следует исключить два других значения $\mu_{2}, \mu_{3}$, при которых нарушается условие $(2)^{1}$. Для случая системы, состоящей из Солнца и Юпитера, величина $\mu \sim 0.000954$ оказывается гораздо меньшей всех этих критических значений, и устойчивость, следовательно, гарантирована.
д. Две геометрические теоремы. Мы переходим к изложению двух геометрических теорем, существенных для последующего. Они относятся к отображениям плоского кольца, сохраняющим площадь. Мы уже знакомы с тем, как связаны такие отображения с дифференциальными уравнениями. Как проводится редукция к такому отображению в ситуации, возникающей при доказательстве теоремы 7 , мы увидим позднее.

Для описания плоского кольца мы воспользуемся полярными координатами: квадратом радиуса $R=x^{2}+y^{2}$ и полярным углом $\theta$. Кольцо при этом зададим неравенствами $1 \leqslant R \leqslant 2$. Элемент площади в таких координатах имеет вид
\[
d x d y=\frac{1}{4} d R d \theta .
\]

Рассмотрим сначала отображение $M_{0}$ простого вида, которое мы будем называть «закручивающим»:
\[
R_{1}=R, \quad \theta_{1}=\theta+\gamma(R) ;
\]

оно, понятно, сохраняет элемент площади и концентрические окружности переводит в себя. Каждая из этих окружностей поворачивается на угол $\gamma(R)$, который, вообще говоря, зависит от радиуса. Основным предположением в дальнейшем будет то, что $\gamma(R)$ непостоянен, точнее, что
\[
\frac{d \gamma}{d R}
ot 0 \quad \text { при } \quad 1 \leqslant R \leqslant 2 .
\]

Свойства этого отображения очевидны. Всякая окружность $R=$ const, для которой $\frac{\gamma}{2 \pi}=\frac{p}{q}$, состоит из неподвижных точек отображения $M_{0}^{q}$.

Всякая окружность, у которой $\gamma$ и $2 \pi$ несоизмеримы, плотно покрывается образами при итерациях $M_{0}^{q}(q=1,2, \ldots)$ любой точки этой окружности.

Главной нашей задачей будет изучение отображения $M_{\varepsilon}$, близкого к закручивающему отображению $M_{0}$. Мы рассмотрим, таким образом, отображение $M_{\varepsilon}$ :
\[
\left\{\begin{aligned}
R_{1} & =R+\varepsilon f(R, \theta, \varepsilon), \\
\theta_{1} & =\theta+\gamma(R)+\varepsilon g(R, \theta, \varepsilon),
\end{aligned}\right.
\]

где $f, g$ предполагаются периодичными по $\theta$ с периодом $2 \pi$. Это отображение определено в кольце $1 \leqslant R \leqslant 2$, но отображать его в себя не обязано.

Теорема 8 (Пуанкаре-Дж. Биркгоф).Іусть $\gamma^{\prime}(R)
eq 0$, и пусть $M_{\varepsilon}$ сохраняет площадь при всех в в том смысле, что
\[
\int_{C} R d \theta=\int_{M_{\varepsilon} C} R d \theta
\]

для любой замкнутой кривой $C$. Тогда для любого рационального числа $\frac{p}{q}$ лежащего между $\frac{\gamma(1)}{2 \pi}$ и $\frac{\gamma(2)}{2 \pi}$, существует $2 q$ неподвижных точек отображения $M_{\varepsilon}^{q}$, удовлетворяющих условиям
\[
\left\{\begin{aligned}
R_{q} & =R, \\
\theta_{q} & =\theta+2 \pi p,
\end{aligned}\right.
\]

при условии, что в достаточно мало.
Эта теорема на самом деле есть очень простой вариант знаменитой и гораздо более глубокой теоремы Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке, в которой никаких условий малости не налагается. В том же виде, как она сформулирована выше, теорема 8 почти непосредственно получается из теоремы о неявной функции. В самом деле, ясно, что $q$-я итерация $M_{\varepsilon}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
R_{q} & =R+O(\varepsilon), \\
\theta_{q} & =\theta+q \gamma(R)+O(\varepsilon),
\end{aligned}
\]

и – по теореме о неявной функции – для достаточно малого $\varepsilon$ существует единственное $R=F(\theta, \varepsilon)$, такое, что
\[
\theta_{q}=\theta+2 \pi p .
\]

График $R=F(\theta, \varepsilon)$ представляет собой звездообразную кривую $C$, точки которой при отображении $M^{q}$ смещаются вдоль радиусов, поскольку $\theta_{q}$ и $\theta$ отличаются друг от друга на целое кратное $2 \pi \cdot{ }^{1}$ Из того, что $M$, а следовательно, и $M^{q}$ сохраняют площадь $\int_{C} R d \theta$, вытекает, что кривая $C$ и ее образ $M^{q} C$ пересекутся по крайней мере дважды. Найденные точки пересечения являются, очевидно, неподвижными точками $M^{q}$. Остальные неподвижные точки $M^{q}$ могут быть получены из этих двух путем последовательного применения к ним отображения $M$. Понятно, что если $M^{q} P=P$, то тем же свойством обладают и $M P, \ldots, M^{q-1} P$. Доказательство теоремы 8 этим заканчивается.

Стоит заметить, что в то время как при $\varepsilon=0$ у $M^{q}$ имеется целый континуум неподвижных точек, при $\varepsilon>0$ мы можем гарантировать наличие только конечного числа их. И действительно, можно продемонстрировать на примерах, аналогичных приведенным в предыдущих лекциях, что кривая – геометрическое место неподвижных точек, распадается, вообще говоря, в конечное множество неподвижных точек.

Теперь мы обратимся к вопросу о том, что случится при возмущении с окружностями $R=$ const, у которых $\frac{\gamma(R)}{2 \pi}$ иррационально. Этот вопрос решает следующая теорема, которая здесь доказываться не будет ${ }^{2}$.

Теорема 9 (Мозер [22]). Пусть $\gamma^{\prime}(R)
eq 0$, и пусть всякая кривая $C$, охватывающая окружность $R=1$, пересекается со своим образом $М C$. Функции $f$ и предполагаются достаточно гладкими. В этих предположениях при достаточно малых $\varepsilon$ существует инвариантная кривая $\Gamma$, охватывающая окружность $R=1$. Точнее, для любого чис$л а$, лежащего между $\gamma(1)$ и $\gamma(2)$, несоизмеримого с $2 \pi$ и удовлетворяющего неравенствам
\[
\left|\frac{\omega}{2 \pi}-\frac{p}{q}\right| \geqslant c|q|^{-5 / 2}
\]

при всех целых $p, q$, существует при достаточно малых є гладкая замкнутая кривая
\[
\begin{aligned}
R & =F(\varphi, \varepsilon), \\
\theta & =\varphi+G(\varphi, \varepsilon),
\end{aligned}
\]

где $F, G$ периодичны по $\varphi$ с периодом $2 \pi$, инвариантная относительно отображения $M_{\varepsilon}$. Образ точки, лежащей на кривой $C$ и определяемой параметром $\varphi$, может быть получен из (7) заменой $\varphi$ на $\varphi+\omega$.

На самом деле эта теорема устанавливает существование не только одной, а бесконечной совокупности инвариантных кривых. Значение этого результата состоит в том, что ограничиваются образы при всех итерациях. Если точка лежит между двумя инвариантными кривыми указанного выше типа, то и все ее образы лежат между ними; иначе говоря, нами найдено внутри кольца $1 \leqslant R \leqslant 2$ кольцо, отображающееся на себя. Важность этого результата для вопросов устойчивости очевидна, поскольку им указывается область, в которой должны оставаться решения в продолжение всего будушего времени.

Заметим (это будет полезно длн последующих приложений), что условие на пересечение кривых в теореме 9 заведомо выполнено, если площадь $\int R d \theta$ сохраняется. Именно: если $C$ – кривая, охватывающая окружность $R=1$, то и ее образ $M C$ охватывает эту окружность. Если кривые $C$ и $M C$ не пересекаются, то одна лежит внутри другой и площади $\int_{C} r d \theta$ и $\int_{M C} R d \theta$ совпадать не могут.

Для последующих приложений нам понадобится также следующее обобщение предыдущей теоремы: ес.Іи отображение (6) заменить на
\[
\begin{aligned}
R_{1} & =R+\varepsilon^{\sigma} f(R, \theta, \varepsilon) \\
\theta_{1} & =\theta+\alpha+\varepsilon^{\rho} \gamma(R)+\varepsilon^{\sigma} g(R, \theta, \varepsilon),
\end{aligned}
\]

где $0 \leqslant \rho<\sigma$, то утверждение теоремы остается справедливым. Здесь существенно то, что возмущающий член мал по сравнению с «закручивающим», $\varepsilon^{\rho} \gamma(R)$.
е. Доказательство теоремы 7. Мы возвращаемся к системе дифференциальных уравнений, определяемой гамильтонианом (3). При замене $x, y$ на $\varepsilon^{-1} x, \varepsilon^{-1} y$ гамильтониан $H(x, y)$ заменится на
\[
F=\varepsilon^{-2} H(\varepsilon x, \varepsilon y)=\sum_{
u} \frac{\alpha_{
u}}{2} R_{
u}+\varepsilon^{2} \sum_{
u, \mu} \frac{\beta_{
u \mu}}{4} R_{
u} R_{\mu}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

а дифференциальные уравнения приобретут вид
\[
\dot{R}_{
u}=2 F_{\theta_{
u}}=O\left(\varepsilon^{3}\right), \quad \dot{\theta}_{
u}=-2 F_{R_{
u}}=-\left(\alpha_{
u}+\varepsilon^{2} \sum_{\mu=1}^{2} \beta_{
u \mu} R_{\mu}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Изоэнергетические поверхности $F=$ const некомпактны; $F=0$ определяет трехмерную поверхность, проходящую через точку равновесия $x=y=0$ (см. рис. 6).

Мы сосредоточим наше внимание на поверхностях постоянной энергии
\[
F=c, \quad \text { где } \quad|c|<\frac{\left|\alpha_{1}\right|}{2} .
\]

Рис. 6
Наша цель – показать, что решения не могут уйти далеко ни на одной из этих изоэнергетических поверхностей. Принимая $R_{1}=R, \theta_{1}=\theta, \theta_{2}$ за независимые переменные, выразим через них $R_{2}$ при помощи (11) и получим, что
\[
R_{2}=\Phi\left(R, \theta, \theta_{2}\right)=-\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}\left(R-\frac{2 c}{\alpha_{1}}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Это выражение положительно, согласно (11), при достаточно малых $\varepsilon$, если $R=R_{1}$ заключено в пределах
\[
1 \leqslant R \leqslant 2 .
\]
(С учетом того, что переменные растянуты в $\varepsilon^{-1}$ раз, это соответствует неравенству $\varepsilon^{2}<x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<2 \varepsilon^{2}$.)

Используя $\theta_{2}$ как независимую переменную вместо $t$, мы находим из (10)
\[
\frac{d R}{d \theta_{2}}=-\frac{F_{\theta}}{F_{R_{2}}} ; \quad \frac{d \theta}{d \theta_{2}}=\frac{F_{R}}{F_{R_{2}}} .
\]

Легко убедиться в том, что на поверхности $F=c$ эти уравнения приобретают вид
\[
\frac{d R}{d \theta_{2}}=\Phi_{\theta}, \quad \frac{d \theta}{d \theta_{2}}=-\Phi_{R},
\]

где $\Phi$ определено равенством (12).
Система (13) по-прежнему гамильтонова, имеет одну степень свободы, но не автономна. Для того чтобы исключить независимую переменную, мы рассмотрим отображение $M$ из плоскости $\theta_{2}=0$ в плоскость $\theta_{2}=2 \pi$, определяемое сдвигом по траекториям системы (13).

Рис. 7

К этому отображению, которое, согласно теореме Лиувилля, сохраняет площадь $\int R d \theta$, мы применим теорему 9. Ситуация, имеющая здесь место, может быть проиллюстрирована рисунком 7.

Для приближенного определения отображения $M$ проинтегрируем систему (13) с точностью до членов $O\left(\varepsilon^{3}\right)$. Поскольку $F_{\theta}=O\left(\varepsilon^{3}\right)$, то $R(2 \pi)=R(0)+O\left(\varepsilon^{3}\right)$. Отображение $M$, таким образом, дается формулами
\[
\left\{\begin{aligned}
R(2 \pi) & =R(0)+O\left(\varepsilon^{3}\right) \\
\theta(2 \pi) & =\theta(0)+2 \pi \frac{F_{R_{1}}}{F_{R_{2}}}+O\left(\varepsilon^{3}\right)= \\
& =\theta(0)+2 \pi \frac{\alpha_{1}+\varepsilon^{2}\left(\beta_{11} R_{1}+\beta_{12} R_{2}\right)}{\alpha_{2}+\varepsilon^{2}\left(\beta_{12} R_{1}+\beta_{22} R_{2}\right)}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}\right.
\]

Подставляя сюда $R_{2}=\Phi\left(R, \theta, \theta_{2}\right)$, получаем
\[
\theta(2 \pi)=\theta(0)+2 \pi \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}+\frac{4 \pi c \varepsilon^{2}}{\alpha_{2}^{3}}\left(\alpha_{2} \beta_{12}-\alpha_{1} \beta_{22}\right)-\frac{2 \pi \varepsilon^{2}}{\alpha_{2}^{3}} D R+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

где $D$ – детерминант, участвующий в формулировке теоремы 7 . Как видно отсюда, наше отображение – отображение типа (8), и к нему, следовательно, применима теорема 9 . Условие $\gamma^{\prime}
eq 0$ эквивалентно условию $D
eq 0$, которое, по предположению теоремы 7 , выполнено. Это

позволяет утверждать, что между окружностями $R=1$ и $R=2$ cуществует инвариантная кривая $\Gamma$. Как легко видеть, всякое решение, проходящее в момент $\theta_{2}=0$ через точку, лежащую внутри кривой $\Gamma$, за пределы последней никогда не выходит.

Желая убедиться в том, что положение равновесия действительно устойчиво, рассмотрим следующий рисунок, где изображена область
\[
|F|<\frac{\left|\alpha_{1}\right|}{2}, \quad 1 \leqslant R_{1} \leqslant 2,
\]

в которой для каждого значения $P$ можно указать инвариантную кривую $\Gamma$ (рис. 8 ). ${ }^{1}$

Напомним, что $R_{
u}=\varepsilon^{-2}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)$. Согласно определению устойчивости, нам требуется доказать, что решения не могут покинуть заранее заданной окрестности
\[
\sum_{
u=1}^{2}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)<\eta^{2},
\]

если их начальные значения заключены в некоторой $\delta=\delta(\eta)$-окрестности. С этой целью $\varepsilon$ и $\delta$ выберем достаточно малыми: $\varepsilon$ так, чтобы

область (15) (см. рис. 8) целиком попадала в окрестность (16), а $\delta$ так, чтобы в шаре радиуса $\delta$ с центром в начале координат выполнялось неравенство $F<\frac{\left|\alpha_{1}\right|}{2}$. Тогда инвариантные кривые $\Gamma$ препятствуют уходу решений, начинающихся в $\delta$-шаре и лежащих на изоэнергетических поверхностях $F=c$, из области $R_{1}<2$. Таким образом, решения вынуждены оставаться в области
\[
|F|<\frac{\left|\alpha_{1}\right|}{2}, \quad R_{1} \leqslant 2
\]

и покинуть $\eta$-шара поэтому не могут. Этим устойчивость положения равновесия, а следовательно, и теорема 7 доказаны.
ё. Смысл условия $D
eq 0$ можно уяснить из (14). Так как $F_{R_{1}}$, $F_{R_{2}}$ представляют собой частоты решений аппроксимирующей системы, условие $D
eq 0$ эквивалентно тому, что отношение частот $F_{R_{1}} / F_{R_{2}}$ на поверхности $F=c$ меняется при изменении $R$, иначе говоря, эквивалентно условию
\[
\left(F_{R_{2}} \frac{\partial}{\partial R_{1}}-F_{R_{1}} \frac{\partial}{\partial R_{2}}\right)\left(\frac{F_{R_{1}}}{F_{R_{2}}}\right)
eq 0 .
\]