Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Излагаемая здесь теорема об инвариантной кривой является, по существу, теоремой о неявной функции, утверждающей, что в окрестности приближенного решения $E\left(u_{0}\right) \approx 0$ существует точное решение: $E(u)=0$, в частности, при условии, что $\omega$ диофантово. Обозначения. Пусть $W_{r}$ — множество 1-периодических вещественно-аналитических функций $\theta$, ограниченных в полосе $|\operatorname{Im} \theta| \leqslant r$. Введем максимальную норму Предположения. Положим, что $h$ аналитична при $\left(x_{1}, x_{2}\right) \in$ $\in \mathscr{D} \subset \mathbb{C}^{2}$, действительна на ( $x_{1}, x_{2}$ ) и инвариантна при трансляциях, упомянутых в теореме 1 . Для $R>0$ пусть $\mathscr{D}_{R} \subset \mathscr{D}$ обозначает наибольшее множество, чья $R$-окрестность лежит в $\mathscr{D}$, рис. 2. Таким образом, точки в $\mathscr{D}_{R}$ обязательно содержатся в $\mathscr{D}(h)$. Положим, что и существует $M>0$ такое, что Рис. 2. Схематическое изображение области определения $h$ Пусть $u_{0}(\theta)-\theta \in W_{r}$ при некоторых $0<r<1$. Будем считать, кроме того, что так что $\left(u_{0}, u_{0}^{+}\right)$обязательно принадлежит области определения $h$, рис. 2 , и что при некотором $N_{0}>0$ (достаточно большом) Теорема 6 (Основная теорема). Предположим, что $\omega$ диофантово, т.е. существуют $К>0$ и $\sigma>0$ такие, что Предположим, что $h$ и $u_{0}$ удовлетворяют приведенным условиям. Тогда существует $\delta=\delta\left(r, h, M, N_{0}, K, \sigma, \kappa\right)$ такое, что если $\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}<\delta$, то найдется единственное решение и вблизи и $u_{0}$ уравнения $E(u)=0$, для которого $и(\theta)-\theta \in W_{r / 2}$ и среднее значение и $\theta$ — $\theta$ равно нулю. Применение к почти интегрируемому закручивающему отображению. Рассмотрим малое возмущение линейного закручи- вающего отображения: которое считается сохраняющим площадь и точным. Отображение задается производящей функцией $h\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\varepsilon H\left(x_{1}, x_{2}, \varepsilon\right)$, которая считается определенной на $\mathscr{D}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right): a<\operatorname{Re}\left(x_{2}-x_{1}\right)<b\right.$, $\left.\left|\operatorname{Im} x_{1}\right|<1,\left|\operatorname{Im} x_{2}\right|<1\right\}$. Для того чтобы применить основную теорему, выберем диофантово $a<\omega<b$ и примем $u_{0}(\theta)=\theta$. Легко проверить условия (5)-(8), вместе с $\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}=O(\varepsilon)$. Теорема 6 дает инвариантную кривую в кольце $a<y<b$ при условии, что $\varepsilon$ достаточно мало. ЗАмЕчаниЕ 7. Важно заметить, что предположение о малости $\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}<\delta$ в основной теореме более общее, чем стандартное предположение о почти интегрируемости, требующее, чтобы отображение имело вид (10).
|
1 |
Оглавление
|