Излагаемая здесь теорема об инвариантной кривой является, по существу, теоремой о неявной функции, утверждающей, что в окрестности приближенного решения $E\left(u_{0}\right) \approx 0$ существует точное решение: $E(u)=0$, в частности, при условии, что $\omega$ диофантово.

Обозначения. Пусть $W_{r}$ – множество 1-периодических вещественно-аналитических функций $\theta$, ограниченных в полосе $|\operatorname{Im} \theta| \leqslant r$. Введем максимальную норму
\[
|f|_{r} \equiv \sup _{\mid \operatorname{Im} \theta \leqslant r}|f(\theta)| .
\]

Предположения. Положим, что $h$ аналитична при $\left(x_{1}, x_{2}\right) \in$ $\in \mathscr{D} \subset \mathbb{C}^{2}$, действительна на ( $x_{1}, x_{2}$ ) и инвариантна при трансляциях, упомянутых в теореме 1 . Для $R>0$ пусть $\mathscr{D}_{R} \subset \mathscr{D}$ обозначает наибольшее множество, чья $R$-окрестность лежит в $\mathscr{D}$, рис. 2. Таким образом, точки в $\mathscr{D}_{R}$ обязательно содержатся в $\mathscr{D}(h)$. Положим, что
\[
\min _{\mathscr{D}}\left|h_{12}\right|>\kappa, \quad \kappa>0,
\]

и существует $M>0$ такое, что
\[
|h|_{C^{3}(\mathscr{D})}<M .
\]

Рис. 2. Схематическое изображение области определения $h$

Пусть $u_{0}(\theta)-\theta \in W_{r}$ при некоторых $0<r<1$. Будем считать, кроме того, что
\[
\left(u_{0}, u_{0}^{+}\right) \in \mathscr{D}_{R}, \quad|\operatorname{Im} \theta|<r,
\]

так что $\left(u_{0}, u_{0}^{+}\right)$обязательно принадлежит области определения $h$, рис. 2 , и что при некотором $N_{0}>0$ (достаточно большом)
\[
\left|\left(u_{0}\right)_{\theta}\right|_{r}<N_{0}, \quad\left|\left(u_{0}\right)_{\theta}^{-1}\right|_{r}<N_{0} .
\]

Теорема 6 (Основная теорема). Предположим, что $\omega$ диофантово, т.е. существуют $К>0$ и $\sigma>0$ такие, что
\[
\left|\omega-\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{K}{q^{2+\sigma}} \text { для любых целых } p, q
eq 0 .
\]

Предположим, что $h$ и $u_{0}$ удовлетворяют приведенным условиям. Тогда существует $\delta=\delta\left(r, h, M, N_{0}, K, \sigma, \kappa\right)$ такое, что если $\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}<\delta$, то найдется единственное решение и вблизи и $u_{0}$ уравнения $E(u)=0$, для которого $и(\theta)-\theta \in W_{r / 2}$ и среднее значение и $\theta$ – $\theta$ равно нулю.

Применение к почти интегрируемому закручивающему отображению. Рассмотрим малое возмущение линейного закручи-

вающего отображения:
\[
\begin{array}{l}
x_{2}=x_{1}+y_{1}+\varepsilon f\left(x_{1}, y_{1}, \varepsilon\right) \\
y_{2}=y_{1}+\varepsilon g\left(x_{1}, y_{1}, \varepsilon\right),
\end{array}
\]

которое считается сохраняющим площадь и точным. Отображение задается производящей функцией $h\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\varepsilon H\left(x_{1}, x_{2}, \varepsilon\right)$, которая считается определенной на $\mathscr{D}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right): a<\operatorname{Re}\left(x_{2}-x_{1}\right)<b\right.$, $\left.\left|\operatorname{Im} x_{1}\right|<1,\left|\operatorname{Im} x_{2}\right|<1\right\}$. Для того чтобы применить основную теорему, выберем диофантово $a<\omega<b$ и примем $u_{0}(\theta)=\theta$. Легко проверить условия (5)-(8), вместе с $\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}=O(\varepsilon)$. Теорема 6 дает инвариантную кривую в кольце $a<y<b$ при условии, что $\varepsilon$ достаточно мало.

ЗАмЕчаниЕ 7. Важно заметить, что предположение о малости $\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}<\delta$ в основной теореме более общее, чем стандартное предположение о почти интегрируемости, требующее, чтобы отображение имело вид (10).