Рассмотрим конформное отображение
\[
z \rightarrow z_{1}=f(z)
\]

около неподвижной точки, например $z=0$. В этом случае $f(0)=0$ и мы можем записать
\[
z_{1}=\lambda z+\widehat{f}(z)
\]

где $\widehat{f}(z)$ — степенной ряд, начинающийся с члена второй степени. Предположим, что $\lambda
eq 0$.

Задача, которую мы будем рассматривать, состоит в нахождении преобразования координат
\[
z=u(\zeta)=\zeta+\widehat{u}(\zeta)
\]

где $\widehat{u}(\zeta)$ — также степенной ряд, начинающийся с члена второй степени такого, что относительно новой координаты $\zeta$ преобразование (1.1) становится линейным преобразованием
\[
\zeta_{1}=\lambda \zeta .
\]

Если такое преобразование координат (1.2) существует, преобразование (1.1) называется «сопряженным» к линейному.

Очень просто определить коэффициенты искомого степенного ряда $u$ с помощью формального разложения в ряд, при условии, что $\lambda$ не является корнем из единицы. В самом деле, задача состоит в решении функционального уравнения
\[
u(\lambda \zeta)=f(u(\zeta)) .
\]

Пусть $u(\zeta)=\zeta+u_{2} \zeta^{2}+\ldots$ Предположим, что коэффициенты $u_{2}, u_{3}, \ldots, u_{k-1}$ уже найдены так, что выполнено уравнение (1.3) $\left(\bmod \zeta^{k}\right)$. Тогда из (1.3) можно найти коэффициент при $\zeta^{k}$
\[
u_{k} \lambda^{k} \zeta^{k}-\lambda u_{k} \zeta^{k}=g_{k} \zeta^{k} \quad(k=2,3, \ldots) .
\]

Здесь коэффициент $g_{k}$ известен, так как он зависит только от $u_{2}, u_{3}, \ldots, u_{k-1}$ и от коэффициентов $f$. Следовательно,
\[
\left(\lambda^{k}-\lambda\right) u_{k}=g_{k},
\]

а это уравнение однозначно разрешимо, если $\lambda$ не является корнем из единицы.

Вопрос состоит в том, будет ли еходиться найденный формальный ряд для $u$. Если $|\lambda|
eq 1$, сходимость можно установить немедленно, пользуясь методом мажорант Коши (см., например, [27]). С другой стороны, на окружности $|\lambda|=1$ всюду плотно исключенное из рассмотрения множество корней из единицы и, более того, существует всюду плотное на единичной окружности множество чисел $\lambda$, не являющихся корнями из 1 , для которых найденный ряд расходится [28]. Но все эти исключительные значения $\lambda$ можно очень хорошо приблизить корнями из 1. Если же мы потребуем, чтобы число $\lambda$ удовлетворяло бесконечному множеству неравенств
\[
\left|\lambda^{q}-1\right|^{-1} \leqslant c_{0} q^{2} \quad \text { при } \quad q=1,2, \ldots,
\]

то ряд для $u$ будет сходиться в некоторой окрестности точки $\zeta=0$. Это утверждение и составляет содержание теоремы Зигеля.

Первоначальное доказательство Зигеля основано на тонких оценках, которые учитывают, что число $\left|\lambda^{q}-1\right|^{-1}$, как правило, намного меньше, чем $c_{0} q^{2}$. Доказательство, которое мы приведем, носит гораздо более грубый характер и приложимо к более трудным задачам небесной механики. В § 2 мы изложим метод доказательства для более общей ситуации, чтобы выявить его основные черты. Детальные оценки, необходимые для доказательства будут проведены в $\S 3$.

Здесь же мы просто рассмотрим линеаризованное уравнение для (1.3). Пусть $u=w+\varepsilon v$. Продифференцировав (1.3) при $\varepsilon=0$, получим
\[
v(\lambda \zeta)=f^{\prime}(w(\zeta)) v(\zeta) .
\]

Заменив $f(z)$ и $w(z)$ их линейными частями $\lambda z$ и $\zeta$, придем к уравнению
\[
v(\lambda \zeta)-\lambda v(\zeta)=g(\zeta)
\]

где $g(\zeta)$ — данный степенной ряд, не содержащий постоянного и линейного членов. Это уравнение легко решить с помощью разложения в степенной ряд. Если
\[
g(\zeta)=\sum_{k>1} g_{k} \zeta^{k},
\]

то
\[
v(\zeta)=\sum_{k>1} \frac{g_{k}}{\lambda^{k}-\lambda} \zeta^{k} .
\]

Если ряд $g$ сходится при $|\zeta|<\rho$, то $\left|g_{k}\right| \leqslant c \rho^{-k}$, и в силу (1.5)
\[
\left|\frac{g_{k}}{\lambda^{k}-\lambda}\right| \leqslant c_{0} c \rho^{-k} k^{2},
\]

следовательно, ряд для $v(\zeta)$ также сходится при $|\zeta|<\rho$. Уравнение (1.7) соответствует линеаризованному уравнению при $w=\zeta$, и, повидимому, безнадежно решать соответствующее уравнение, в котором левая часть (1.7) заменена на выражения (1.6). Следовательно, в данном случае мы имеем дело с ситуацией, в которой можно гарантировать существование решения линеаризованного уравнения (1) (из введения к гл. 3) только, когда $w$ — тождественное преобразование.