В качестве еще одного приложения наших методов рассмотрим следующую задачу о векторных полях на торе: пусть $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Рассмотрим векторное поле
\[
\dot{x}=f(x),
\]

где $f(x)-n$-мерный вектор, компоненты которого имеют период $2 \pi$ по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Мы можем рассматривать (5.1) как векторное поле на торе, который получается из евклидова пространства отождествлением точек, координаты которых отличаются на целые, кратные $2 \pi$.

Простейшая система дифференциальных уравнений рассматриваемого вида возникает, когда $f(x)$ на самом деле от $x$ не зависит
\[
\dot{x}=\omega .
\]

Хорошо известно, что такой поток эргодичен относительно инвариантной меры $d x=d x_{1} \ldots d x_{n}$ тогда и только тогда, когда компоненты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ вектора $\omega$ рационально независимы.

Мы хотим выяснить, будет ли поток (5.2) грубым, т. е. приводит ли малое возмущение уравнений (5.2) к уравнениям, которые можно преобразовать в (5.2) с помощью замены переменных $x=u(\xi)=\xi+\widehat{u}(\xi)$, где $u(\xi)-\xi$ имеет период $2 \pi$ по всем составляющим $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ вектоpa $\xi$.

Ответ на этот вопрос, очевидно, отрицательный, так как даже замена $\omega$ на близкий постоянный вектор приводит к потоку $\dot{x}=\beta$ который не сопряжен к потоку (5.2). Для доказательства этого предположим, что существует преобразование $u(\xi)$, переводящее решение $\xi=\beta t$ в решение системы (5.2), т.е.
\[
\omega t+c=\beta t+\widehat{u}(\beta t) .
\]

Так как функция $\widehat{u}$ периодична по $t$ и, следовательно, ограничена, то $\omega=\beta$. Таким образом, при изучении сопряженности векторных полей на торе мы должны допускать изменение векторного поля на постоянный вектор, т.е. пытаться найти постоянный вектор $\lambda$ такой, что векторное поле $\dot{x}=f(x)+\lambda$ сопряжено с векторным полем вида (5.2). Сформулируем эту мысль точнее. Пусть у системы уравнений
\[
\dot{x}=f(x, \varepsilon)=\omega+\varepsilon \widehat{f}(x, \varepsilon)
\]
$f(x, \varepsilon)$ вещественна, аналитична по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n} \varepsilon$ и имеет период $2 \pi$ по переменным $x_{
u}$. Предположим также, что компоненты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ вектора $\omega$ не только рационально независимы, но также удовлетворяют бесконечному множеству неравенств
\[
\left|\sum_{
u=1}^{n} j_{
u} \omega_{
u}\right|^{-1} \leqslant c_{0}\left(\sum_{
u=1}^{n}\left|j_{
u}\right|\right)^{\tau}
\]

для всевозможных наборов целых чисел $j_{1}, \ldots, j_{n}$, не равных одновременно нулю. Если выбрать $c_{0}$ достаточно большим и $\tau>n$, то эти неравенства будут выполнены для большинства $\omega$, точнее, при $\tau>n$ для почти каждого $\omega$ можно выбрать $c_{0}$ так, что неравенства (5.4) будут выполняться.

Теорема 1. При выполнении сформулированных выше условий существуют вещественно-аналитическое преобразование
\[
x=u(\xi, \varepsilon)=\xi+\widehat{u}(\xi, \varepsilon)
\]

и постоянный вектор $\lambda=\lambda(\varepsilon), \lambda(0)=0$, такие, что преобразование (5.5) переводит систему
\[
\dot{x}=\omega+\varepsilon \widehat{f}(x, \varepsilon)+\lambda(\varepsilon)
\]

в систему $\dot{\xi}=\omega$.
Эта теорема принадлежит В. И. Арнольду (см. [11]), который доказал ее, пользуясь методом, полностью совпадающим с методом, изложенным в §2. Сама по себе эта теорема не кажется полезной при изучении заданной системы дифференциальных уравнений, так как теорема касается не заданной, а измененной системы. Однако эта теорема является шагом в направлении более общей теоремы о дифференциальных уравнениях, в которых благодаря наличию достаточного числа параметров возникает ситуация, когда $\lambda=0$. Мы сформулируем эту теорему, принадлежащую А.Н.Колмогорову [9] и В. И. Арнольду [13].
Рассмотрим гамильтонову систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=H_{y}(x, y, \varepsilon), \quad \dot{y}=-H_{x}(x, y, \varepsilon),
\]

у которой гамильтониан $H(x, y, \varepsilon)$ вещественно-аналитичен и имеет период $2 \pi$ по переменным $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Предположим, что $H(x, y, 0)=$ $=\stackrel{0}{H}(y)$. Следовательно, при $\varepsilon=0$ система (5.6) принимает простой вид
\[
\dot{x}=\stackrel{0}{H}_{y}(y), \quad \dot{y}=0
\]

и легко интегрируется: $x=\stackrel{0}{H}_{y}(\stackrel{0}{y})+\stackrel{0}{x}, y=\stackrel{0}{y}$, где $\stackrel{0}{x}, \stackrel{0}{y}$ – начальные условия. Составляющая $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ в уравнениях (5.6) соответствует уравнениям (5.3). Для того чтобы параметры $\stackrel{0}{y}$ могли эффективно управлять векторами $\stackrel{0}{H}_{y}(\stackrel{0}{y}$ ) (чтобы в теореме 1 можно было добиться $\lambda=0$ ), потребуем, чтобы гессиан системы не обращался в нуль:
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} H(y)}{\partial y^{2}}
eq 0 .
\]

Теорема 2. При сделанных выше предположениях и при достаточно малом $|\varepsilon|$ существует вещественно-аналитическое каноническое преобразование
\[
x=u(\xi, \eta, \varepsilon), \quad y=v(\xi, \eta, \varepsilon),
\]

где $и-\xi$ и имеют период $2 \pi$ по переменным $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, такое, что $n p u \varepsilon=0$
\[
u=\xi, \quad v=\eta,
\]

и преобразующее систему (5.6) в систему
\[
\dot{\xi}=\omega, \quad \dot{\eta}=0
\]

при $\eta=0$. Следовательно, система (5.6) имеет при достаточно малых $|\varepsilon|$ условно-периодические решения
\[
x=u(\omega t+\stackrel{0}{\xi}, 0, \varepsilon), \quad y=v(\omega t+\stackrel{0}{\xi}, 0, \varepsilon) .
\]

Этот результат имеет фундаментальное значение при изучении гамильтоновых систем и в приложениях к небесной механике (см. В. И. Арнольд [12]). Мы не будем здесь доказывать теорему 2 (доказательство можно найти в [13]), а проведем доказательство теоремы 1 и рассмотрим ее обобщение на случай дифференцируемых векторных полей.