a) Рассмотрим какие-нибудь два семейства пространств, удовлетворяющих условиям $\alpha$ ) и $\beta)$ из $\S 2: V^{\rho}(0 \leqslant \rho \leqslant r)$ с нормами $\|v\|_{\rho}$ для $v \in V^{\rho}$ и $G^{\sigma}(0 \leqslant \sigma \leqslant s)$ с нормами $\|g\|_{\sigma}$ для $g \in G^{\sigma}$.

Пусть $L$ – линейный оператор, отображающий пространство $V^{r}$ в $G^{s}$. Обычно мы будем иметь дело с дифференциальными операторами первого порядка. В таких случанх можно было бы положить $s=r-1$ и отождествить $G^{s}$ и $V^{r-1}$. Однако мы предпочитаем сохранить различные обозначения для области определения и области значений дифференциального оператора.

В теории эллиптических дифференциальных уравнений доказательства существования решений основываются на построении пространств, которые дифференциальный оператор отображает друг на друга взаимно однозначно (биективно). Для дифференциальных уравнений, которые мы будем рассматривать, такой метод неприменим. Для пояснения рассмотрим простой пример
\[
L v=v_{x_{1}}+2 v_{x_{2}}+v .
\]

Этот оператор отображает пространство $V^{r}$ в $V^{r-1}=G^{r-1}$. Но не всякий элемент $g \in G^{r-1}$ является образом элемента $v \in V^{r}$. Если, например, $g_{0} \in G^{r-1}$ зависит только от $2 x_{1}-x_{2}$, то, положив $v=g_{0}$, получим $L v=v$ и, следовательно, из $g_{0} \in G^{r-1}$ следует, что ${ }^{1} v_{0} \in G^{r-1}=V^{r-1}$.

В этом частном случае вопрос о разрешимости уравнения $L v=g$ решается, конечно, весьма просто, так как это уравнение имеет постоянные коэффициенты.

Для изучения подобных уравнений более общего вида мы введем понятие приближенного решения. Именно, мы скажем, что уравнение $L v=g$ имеет приближенное решение, если для каждого $Q>1$ существует функция $w_{Q} \in V^{r}$ такая, что
\[
\left\|L w_{Q}-g\right\|_{0} \leqslant K \eta(Q), \quad\left\|w_{Q}\right\|_{r} \leqslant K Q,
\]

если $\|g\|_{0} \leqslant 1,\|g\|_{r} \leqslant K$, а $\eta(Q) \rightarrow 0$ при $Q \rightarrow \infty$. Обычно мы будем требовать еще выполнения неравенства
\[
\eta(Q) \leqslant C Q^{-\mu}
\]

при некотором $\mu>0$ и называть $\mu$ порядком аппроксимации.
Пусть, например, $L$ – тождественное вложение пространства $V^{r}$ в пространство $V^{s}$, где $0<s<r$. Тогда задача приближенного решения уравнения $L v=g$ сводится к лемме 1 и мы можем выбрать $\mu=\frac{s}{r-s}$.
b) Предложение. Если оператор L допускает оценку
\[
\|v\|_{0} \leqslant\|L v\|_{0} \leqslant c\|v\|_{\alpha}
\]

при всех $v \in V^{r}$, то из существования приближенного решения уравнения $L v=g$, где $g \in G^{s}$ с порядком аппроксимации $\mu>\frac{\alpha}{r-\alpha}$, следует существование точного решения этого уравнения.

Доказательство этого предложения аналогично доказательству леммы 2 из $§ 1$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Выберем $Q=Q_{n}=2^{-n}$ и обозначим приближенные решения $w_{Q_{n}}=w_{n} ;$ в силу (3.1) имеем
\[
\left\|w_{n}-w_{n+1}\right\|_{0} \leqslant\left\|L\left(w_{n}-w_{n+1}\right)\right\| \leqslant 2 c K Q_{n}^{-\mu} \quad \text { и } \quad\left\|w_{n}-w_{n+1}\right\|_{r} \leqslant 3 K Q_{n} .
\]

Следовательно, $\left\|w_{n}-w_{n+1}\right\|_{\rho} \leqslant c^{\prime} K Q_{n}^{-q}$, где $q=\mu\left(1-\frac{\rho}{r}\right)-\frac{\rho}{r}$.
Если $q>0$, то из этого неравенства следует, что последовательность $w_{n}$ сходится в пространстве $V^{\rho}$ к элементу $v \in V^{\rho}$. Положив $\rho=\alpha$ так, что $q=\mu \frac{r-\alpha}{r}-\frac{\alpha}{r}>0$, видим, что $L w_{n}$ сходится к $L w$ в $G^{s}$. Следовательно, $L v=g$ и $v$ является искомым точным решением.

Это предложение показывает, что при известных предположениях требование существования приближенных решений оказывается даже более сильным, чем наличие точного решения.
с) Мы покажем теперь, как можно построить приближенные решения в случае, когда $L$ – оператор, обладающий некоторыми свойствами, сходными со свойствами положительно определенных симметричных операторов.

Предположим, что $V^{r}$ – пространство Соболева из $\S 1$, в котором определено скалярное произведение $(v, w)_{\rho}$. То же самое предположим относительно пространства $G^{s}$.

Пусть $L$ – линейный оператор, отображающий $V^{r}$ в $G^{s}$ и переводящий функции класса $C^{\infty}$ в функции класса $C^{\infty}$. Пусть, кроме того, при $s=r-1$ для всех $v \in V^{r}$ выполнены неравенства
\[
\|v\|_{0}^{2} \leqslant(L v, v)_{0}, \quad\|v\|_{s}^{2} \leqslant c\left((L v, v)_{s}+K_{1}^{2}\|v\|_{0}^{2}\right) .
\]

Здесь $K_{1}$ – число, большее 1 и зависящее от оператора $L$. Пусть, кроме того,
\[
\|L v\|_{s} \leqslant c\|v\|_{r} .
\]

Для построения приближенных решений уравнения $L v-g=0$ можно применять различные методы. Здесь мы сведем эту задачу к решению эллиптического уравнения, добавив к $L$ член, обеспечивающий «искусственную вязкость». Этот прием хорошо известен в численном анализе (П. Д. Лакс), а Л. Ниренберг [21] использовал его и в других ситуациях. Нужно отметить, однако, что для конкретных уравнений обычно удается свести задачу нахождения приближенных решений к конечномерной задаче, и поэтому излагаемый ниже метод сложнее, чем это бывает необходимо для конкретных уравнений.

Основная идея метода состоит в следующем: чтобы получить приближенное решение уравнения
\[
L v=g
\]

с максимально возможной гладкостью, будем точно решать измененное уравнение
\[
L_{h} w=\left(h^{2 \alpha}(-\Delta)^{\alpha}+L\right) w=g,
\]

где $h$ – малый параметр $0<h<1$ и
\[
1 \leqslant \alpha \leqslant \frac{s}{2} .
\]

Уравнение (3.5) эллиптическое, и дальше будет показано, что оператор $L_{h}$ удовлетворяет почти таким же неравенствам, как и оператор $L$. Существование и единственность решения для этого эллиптического уравнения устанавливается стандартным способом с помощью метода проекций или используя соображения Лакса-Мильграма, или какимлибо другим известным методом. Если функция $g$ и коэффициенты уравнения $L$ принадлежат классу $C^{\infty}$, то решение уравнения (3.5) также принадлежит классу $C^{\infty}$. Можно ожидать, что при $h \rightarrow 0$ решения уравнения (3.5) сходятся к точному решению уравнения $L v=g$. Однако мы не будем полагать $h=0$, а будем считать параметр $h$ не слишком малым, что позволит нам получить оценки для старших производных. Покажем теперь, как с помощью решений уравнения (3.5) получить приближенные решения уравнения $L w=g$ с порядком аппроксимации
\[
\mu=2 \alpha \text {. }
\]

Для этого применим оценку (3.2) и получим
\[
h^{2 \alpha}\|w\|_{\alpha}^{2}+\|w\|_{0}^{2} \leqslant\left(L_{h} w, w\right)_{0}=(g, w)_{0} \leqslant \frac{1}{2}\left(\|g\|_{0}^{2}+\|w\|_{0}^{2}\right),
\]

откуда следует, что $\|w\|_{0} \leqslant c_{0}\|g\|_{0}$. Аналогично находим для старших производных
\[
\begin{aligned}
h^{2 \alpha}\|w\|_{\alpha+s}^{2}+\|w\|_{s}^{2} \leqslant c\left(\left(L_{h} w, w\right)_{s}\right. & \left.+K_{1}^{2}\|w\|_{0}^{2}\right) \leqslant \\
& \leqslant \frac{1}{2}\left(\|w\|_{s}^{2}+c^{2}\|g\|_{s}^{2}\right)+c K_{1}^{2}\|w\|_{0}^{2} .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
h^{2 \alpha}\|w\|_{\alpha+s}^{2}+\frac{1}{2}\|w\|_{s}^{2} \leqslant c^{2}\left(K^{2}+K_{1}^{2}\right)<2 c^{2} K^{2},
\]

считая, что $K \geqslant K_{1}$. Таким образом, получаем $\|w\|_{\alpha+s} \leqslant c^{\prime} h^{-\alpha} K$, $\|w\|_{s} \leqslant c^{\prime} K$, и так как $r=s+1 \leqslant s+\alpha$, из (1.3) получаем
\[
\|w\|_{r} \leqslant c_{1} h^{-1} K \text {. }
\]

Из (3.6) вытекает, что $\left\|(-\Delta)^{\alpha} w\right\|_{0}=\|w\|_{2 \alpha} \leqslant c_{2} K$. Следовательно,
\[
\|L w-g\|_{0}=h^{2 \alpha}\left\|(-\Delta)^{\alpha} w\right\|_{0} \leqslant c_{2} K h^{2 \alpha} .
\]

Соотношения (3.8) и (3.9) показывают, что $w$ является приближенным решением уравнения $L v=g$ в смысле (3.1). Положив $Q=\frac{c_{1}}{h}$, имеем $\eta(Q)=c_{2} c_{1}^{2 \alpha} Q^{-2 \alpha}$.

Если $s$ – четное число, наибольший порядок аппроксимации получается при $\alpha=\frac{s}{2}$; тогда $\mu=s$. При нечетном $s$ можно взять $\alpha=\frac{s-1}{2}$ и получить $\mu=s-1$.
d) Рассмотрим теперь ситуацию, когда оператор $L$ удовлетворяет неравенствам, аналогичным (3.2) с той лишь разницей, что выражение $K_{1}^{2}\|v\|_{0}^{2}$ во второй из формул (3.2) заменяется на $K_{1}^{2}|v|_{0}^{2}$ (где $|v|_{0}=$ $\left.=\sup _{x}|v|\right)$, т. е. если имеют место неравенства
\[
\|v\|_{0}^{2} \leqslant(L v, v)_{0}, \quad\|v\|_{s}^{2} \leqslant c\left((L v, v)_{s}+K_{1}^{2}|v|_{0}^{2}\right) .
\]

Мы покажем, что в этом случае также можно построить приближенные решения линейного уравнения $L v=g$, удовлетворяющие соотношениям (3.1) при условии, что
\[
\|g\|_{0} \leqslant K^{-n /(2 s-n)}, \quad\|g\|_{s} \leqslant K, \quad s>\frac{n}{2} .
\]

Для доказательства мы снова будем строить $w$ как решение уравнения $L_{h} w=g$. Нужно только показать, тто выполнены соотношения (3.1). Это доказывается так же, как и выше, если мы докажем предварительно, что дополнительный член $K_{1}^{2}|v|_{0}^{2}$ оценивается величиной $K^{2}$. Другими словами, нам нужно доказать, что из (3.11) следует неравенство
\[
K_{1}|w|_{0} \leqslant K \quad \text { для } \quad K>c h .
\]

Для доказательства заметим, что имеют место оценки
\[
\begin{array}{c}
\|w\|_{0} \leqslant c_{0}\|g\|_{0}, \\
\|w\|_{s}^{2} \leqslant c\left(\left(L_{h} w, w\right)_{s}+K_{1}^{2}|w|_{0}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}\left(\|w\|_{s}^{2}+c^{2}\|g\|_{s}^{2}\right)+c K_{1}^{2}|w|_{0}^{2},
\end{array}
\]

которые получаются так же, как в п. с). Следовательно,
\[
\|w\|_{s} \leqslant c_{1}\left(\|g\|_{s}+K_{1}|w|_{0}\right) .
\]

Мы будем пользоваться этими оценками в сочетании с общим неравенством Соболева $|w|_{0} \leqslant c_{2}\|w\|_{0}^{1-\frac{n}{2 s}}\|w\|_{s}^{\frac{n}{2 s}}$ при $s>\frac{n}{2}$. Получаем
\[
|w|_{0} \leqslant c_{2}\left(c_{0}\|g\|_{0}\right)^{1-\frac{n}{2 s}}\|w\|_{s}^{\frac{n}{2 s}} .
\]

Используем теперь неравенства (3.11) и (3.13)
\[
|w|_{0} \leqslant c_{2} c_{0}^{1-\frac{n}{2 s}}\left(K^{-1}\|w\|_{s}\right)^{\frac{n}{2 s}} \leqslant\left(c_{3}\left(1+\frac{K_{1}}{K}|w|_{0}\right)\right)^{\frac{n}{2 s}} .
\]

Здесь $c_{3}$ – некоторая новая константа. Предположим, что соотношение (3.12) не выполнено. Тогда
\[
|w|_{0}<\left(2 c_{3} \frac{K_{1}}{K}|w|_{0}\right)^{\frac{n}{2 s}}<\left(|w|_{0}\right)^{\frac{n}{2 s}},
\]

если только $K>2 c_{3} K_{1}$. Но это неравенство противоречиво. Следовательно, соотношение (3.12) справедливо при $c=2 c_{3}$.