В этом разделе мы уточним детали процесса итераций ньютоновского шага (15) и покажем, что он сходится к решению уравнения $E(u)=0$.

Выберем последовательность $r=r_{0}>r_{1}>\ldots$ с $r_{n} \rightarrow r_{\infty}>0$, в соответствии с $r_{n}=r_{\infty}+2^{-n}\left(r_{0}-r_{\infty}\right)$, и построим последовательность $u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{n}, \ldots$ с помощью $u_{n}=u_{n-1}+\left(u_{n-1}\right)_{\theta} w_{n-1}$, где $w_{n-1} \in W_{r_{n}}$ – решение гомологического уравнения (14) при $u=u_{n-1}$.

Сперва покажем,что решение уравнения $E(u)=0$ существует (при условии, что $\delta$ достаточно мало), несколько раз применяя леммы 8 и 10; их применимость будет обоснована ниже.

Применяя оценки (18) из леммы 8 к $u=u_{n}, r=r_{n}, N=2 N_{0}$, получим оценки для поправок $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ :
\[
\left|v_{n}\right|_{r_{n+1}} \leqslant \frac{c_{1}}{\left(r_{n}-r_{n+1}\right)^{2 \tau}} \varepsilon_{n},
\]

где $\varepsilon_{n}=\left|E\left(u_{n}\right)\right|_{r_{n}}$ и $c_{1}=c\left(M, 2 N_{0}, K, \sigma\right)$ – константа из леммы 8 , и
\[
\left|\left(v_{n}\right)_{\theta}\right|_{r_{n+1}} \leqslant \frac{c_{1}}{\left(r_{n}-r_{n+1}\right)^{2 \tau+1}} \varepsilon_{n} .
\]

По лемме 10, см. (29), $\varepsilon_{n}$ удовлетворяет неравенству
\[
\varepsilon_{n+1} \leqslant c_{6} \frac{\varepsilon_{n}^{2}}{\left(r_{n}-r_{n+1}\right)^{4 \tau}}=c_{7} a^{n} \varepsilon_{n}^{2},
\]

где $a=2^{4 \tau}$ и $c_{7}=c_{6} \frac{2^{4 \tau}}{\left(r_{0}-r_{\infty}\right)^{4 \tau}}$. Таким образом, геометрический рост $a^{n}$ компенсируется квадратичным уменьшением $\varepsilon_{n}^{2}$; при $\varepsilon_{0} \equiv \delta$, выбранным достаточно малым (именно здесь вступает в действие выбор $\delta$ в теореме 6) преобладает квадратичное уменьшение: $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$. Действительно, для последовательности, определенной как
\[
\eta_{n}=a^{n+1} c_{7} \varepsilon_{n}
\]

получаем $\eta_{n+1} \leqslant \eta_{n}^{2}$. Следовательно, если $\eta_{0}=a c_{7} \varepsilon_{0}<1$, то $\eta_{n} \leqslant \eta_{0}^{2^{n}} \rightarrow 0$ и $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$. Согласно (32) имеем, что $\left|v_{n}\right|_{r_{\infty}} \rightarrow 0$ быстрее, чем экспоненциально, и предел $u_{\infty}=\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=u_{0}+\sum_{0}^{n-1} v_{k}$ вполне определен в $|\operatorname{Im} \theta|<r_{\infty}$. Отсюда можно сделать вывод: $E\left(u_{\infty}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} E\left(u_{n}\right)=0$.

Теперь докажем, что предположения (16) и (17) лемм 8 и 10 выполняются при $u=u_{n}, N=2 N_{0}, r=r_{n}$ на $n$-м шаге при всех $n \geqslant 1$. Достаточно показать, что при всех $n \geqslant 1$
\[
\left|u_{n}-u_{0}\right|_{i_{n}}<\frac{R}{2}
\]

и
\[
\left|\left(u_{n}-u_{0}\right)_{\theta}\right|_{r_{n}}<\frac{1}{2 N_{0}},
\]

при всех $n=1,2, \ldots$ Действительно, можно проверить, что (36) вместе с (7) приводит к (16) при $u=u_{n}, r=r_{n}$, в то время как (37) с (8) приводят к (17) при $u=u_{n}, N=2 N_{0}$ и $r=r_{n}$. Таким образом, константа $c_{1}$ в (32) и (33) определяется как $c_{1}=c\left(M, 2 N_{0}, K, \kappa, \sigma\right)$, где $c$ берется из леммы 8. Аналогично, $c_{6}=c_{6}\left(M, 2 N_{0}, K, \kappa, \sigma\right)$. Таким образом, осталось доказать (36) и (37).

Для этого сперва проверим при $\lambda \leqslant 4 \tau$, следовательно, при $2^{\lambda} \leqslant a$, оценку
\[
\begin{aligned}
\sum_{0}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{\left(r_{n}-r_{n+1}\right)^{\lambda}} \leqslant c_{7}^{-1}\left(r_{0}-r_{\infty}\right)^{-\lambda} & \sum_{0}^{\infty} \eta_{n} \leqslant \\
& \leqslant \frac{2 \eta_{0}}{c_{7}\left(r_{0}-r_{\infty}\right)^{\lambda}}=\frac{2 a \varepsilon_{0}}{\left(r_{0}-r_{\infty}\right)^{\lambda}},
\end{aligned}
\]

при $\eta_{0}<1 / 2$, где использовано $\eta_{n}<\eta_{0}^{n+1}$. Эта сумма может быть сделана малой путем выбора $\varepsilon_{0}=\delta$.

Для доказательства (36) и (37) предположим, что $n \geqslant 1$ – наименьшее целое, для которого по крайней мере одно из этих неравенств нарушается. Тогда при $
u<n$ эти неравенства выполняются, и можно использовать оценку (32), и с учетом (38) получаем
\[
\left|u_{n}-u_{0}\right|_{r_{n}}<\sum_{
u=0}^{n-1}\left|v_{
u}\right|_{r_{
u}} \leqslant \sum_{
u=0}^{n-1} \frac{c_{1} \varepsilon_{
u}}{\left(r_{
u}-r_{
u+1}\right)^{2 \tau}}<c_{1} 2 a \frac{\varepsilon_{0}}{\left(r_{0}-r_{\infty}\right)^{2 \tau}} .
\]

Аналогично из (33) находим
\[
\left|\left(u_{n}-u_{0}\right)_{\theta}\right|_{r_{n}}<c_{1} 2 a \frac{\varepsilon_{0}}{\left(r_{0}-r_{\infty}\right)^{2 \tau+1}} .
\]

Дальнейшее уменьшение $\delta=\varepsilon_{0}$, если это необходимо, гарантирует, что неравенства (36) и (37) выполняются при всех $n$. Этим завершается доказательство основной теоремы.

ЗАмечание 11. Одновременно мы доказали, что если $\frac{\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}}{(r-\rho)^{4 \tau}}<\delta^{\prime}$ (при $\delta^{\prime}$, независящем от $r, \rho$ ), то существует решение $u \in W_{\rho}$ уравнения $E(u)=0$, удовлетворяющее оценкам
\[
\left|u-u_{0}\right|_{\rho}<c_{1} 2 a \frac{\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}}{(r-\rho)^{2 \tau}}, \quad\left|\left(u-u_{0}\right)_{\theta}\right|_{\rho}<c_{1} 2 a \frac{\left|E\left(u_{0}\right)\right|_{r}}{(r-\rho)^{2 \tau+1}} .
\]