Мы ограничимся случаем цилиндра, который представим координатами $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, отождествляя точки $(x, y),\left(x^{\prime}, y\right)$, для которых $x^{\prime}-x$ – целое число. Диффеоморфизм $\varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ задан следующим образом
\[
\varphi:\left(x_{0}, y_{0}\right) \rightarrow\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(f\left(x_{0}, y_{0}\right), g\left(x_{0}, y_{0}\right)\right),
\]

где $f, g-C^{\infty}$-функции удовлетворяющие:

(I) условию периодичности:
\[
f(x+1, y)=f(x, y)+1 ; \quad g(x+1, y)=g(x, y),
\]
(II) условию точной симплектичности:
\[
\int y_{0} d x_{0}=\int y_{1} d x_{1}
\]

для любой кривой $y_{0}=w\left(x_{0}\right)=w\left(x_{0}+1\right)$
(III) условию монотонности:
\[
\frac{\partial f}{\partial y_{0}}>0 .
\]

Отметим, что теория Мезера применима к гомеоморфизмам, хотя мы ограничиваемся случаем $C^{\infty}$-диффеоморфизмов.

Предположим, что для каждого фиксированного значения $x_{0}$, функция $f\left(x_{0}, \cdot\right)$ монотонно отображает $\mathbb{R}$ на себя, так что можно представить $y$ как функцию от $x$ и $x_{1}$. Это приводит к представлению (1) через производящую функцию $h=h\left(x_{0}, x_{1}\right)$ в виде
\[
y_{0}=-h_{1}\left(x_{0}, x_{1}\right), \quad y_{1}=h_{2}\left(x_{0}, x_{1}\right)
\]

где $h_{1}, h_{2}$ обозначают частное дифференцирование $h$ по первому или второму аргументу. Условия (I)-(III) означают, что
\[
\left\{\begin{array}{l}
h\left(x_{0}+1, x_{1}+1\right)=h\left(x_{0}, x_{1}\right), \\
-h_{12}>0 .
\end{array}\right.
\]

Для простоты потребуем, чтобы это условие выполнялось равномерно, то есть
\[
-h_{12} \geqslant \delta>0 \quad \text { выполняется в } \mathbb{R}^{2} .
\]

Из этого условия следует, что для фиксированного $y$ отображение $x_{0} \rightarrow-h_{2}\left(x_{0}, y\right)$ является монотонным из $\mathbb{R}^{1}$ на $\mathbb{R}^{1}$ и что
\[
h\left(x_{0}, x_{1}\right) \geqslant \frac{\delta}{2}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}-c
\]

с постоянной $c$. Это следует из (2), (3) и тождества
\[
h\left(x_{0}, x_{1}\right)=h\left(x_{0}, x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x_{1}} h_{2}(\eta, \eta) d \eta-\iint_{T\left(x_{0}, x_{1}\right)} h_{12}(\xi, \eta) d \xi d h
\]

где $T$ – прямоугольный треугольник, две стороны которого лежат на вертикальной и горизонтальной прямых, проходящих через точку $\left(x_{0}, x_{1}\right)$, а третья лежит на диагонали ( $\left.x_{0}=x_{1}\right)$. В частности, $h$ ограничена снизу.

Задача заключается в нахождении замкнутых инвариантных кривых $y=w(x)$ с непрерывной $w$, удовлетворяющей условию $w(x+1)=$ $=w(x)$, или, более обще, инвариантных множеств, лежащих на такой кривой, представленной в виде графика. В случае инвариантной кривой отображение $\varphi$ задает отображение окружности на $y=w(x)$, определенное через
\[
x_{0} \rightarrow f\left(x_{0}, w\left(x_{0}\right)\right)=x_{1},
\]

для которого число вращения $\alpha$ может быть найдено как
\[
\alpha=\lim _{j \rightarrow \infty} \frac{x_{j}}{j},
\]

где $x_{j}$ является образом $x_{0}$ относительно $j$-й итерации ранее описанного отображения.

Для того чтобы найти инвариантное множество для заданного числа вращения, представим (следуя Мезеру) это множество параметрически
\[
x=u(\theta) ; \quad y=v(\theta),
\]

где $u(\theta)-\theta, v(\theta)$ имеют период 1 и $u(\theta)$ монотонно возрастает так, что порожденное отображение задается вращением $\theta \rightarrow \theta+\alpha$. Аналитически это требует решения разностного уравнения
\[
\begin{array}{c}
u(\theta+\alpha)=f(u(\theta), v(\theta)), \\
v(\theta+\alpha)=g(u(\theta), v(\theta))
\end{array}
\]

с данными выше ограничениями.
При сделанных предположениях, теорема Мезера [2] обеспечивает для каждого $\alpha \in \mathbb{R}$ существование решения разностного уравнения (7), для которого
a) $u(\theta)-\theta, v(\theta)$ имеют период 1
b) $u(\theta)$ строго монотонно возрастает.

Такая монотонная функция $u$ имеет не более, чем счетное число разрывов. Если она непрерывна, то из (7) следует, что $v$ также непрерывна и представляет собой инвариантную кривую. Ее график $y=w(x)$ задается уравнением
\[
w=v \circ u^{-1} .
\]

Если $u$ в точке $x_{0}^{*}$ имеет скачок, тогда $u$ имеет также скачок в $x_{0}^{*}+j \alpha$, $j \in Z$ и для иррационального $\alpha$ разрывы плотны; $u(\theta)$ является обратной функцией Кантора, а область определения $u$ – одномерное канторово множество.

В этой работе рассматривается решение разностного уравнения (7), которое вместе с производящей функцией может быть записана в эквивалентной форме
\[
v=-h_{1}\left(u, u^{+}\right), \quad v^{+}=h_{2}\left(u, u^{+}\right),
\]

где $u^{ \pm}(\theta)=u(\theta \pm \alpha), v^{ \pm}(\theta)=v(\theta \pm \alpha)$. Исключая $v$, получаем разностное уравнение
\[
h_{1}\left(u, u^{+}\right)+h_{2}\left(u^{-}, u\right)=0,
\]

которое Мезер решил с помощью вариационного принципа
\[
\int_{0}^{1} h\left(u, u^{+}\right) d \theta
\]

предложенного Персивалем. Он получил решение уравнения (10) минимизируя этот функционал в классе функций, удовлетворяющих условию (8). Существование такого минимума устанавливается без особого труда. Главная сложность заключается в том, чтобы проверить, выполняется ли «уравнение Эйлера» (10) для такого класса функций (8).