Мы ограничимся случаем цилиндра, который представим координатами $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, отождествляя точки $(x,y),(x^{\prime },y)$, для которых $x^{\prime }-x$ — целое число. Диффеоморфизм $\phi :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ задан следующим образом
$$\phi :(x_0,y_0)\to (x_1,y_1)=(f(x_0,y_0),g(x_0,y_0)),$$

где $f,g-C^{\mathrm{\infty }}$-функции удовлетворяющие:

(I) условию периодичности:
$$f(x+1,y)=f(x,y)+1;g(x+1,y)=g(x,y),$$
(II) условию точной симплектичности:
$$\int y_{0}d{x}_0=\int y_{1}d{x}_1$$

для любой кривой $y_0=w\left(x_0\right)=w(x_0+1)$
(III) условию монотонности:
$$\frac{\partial f}{\partial y_0}>0.$$

Отметим, что теория Мезера применима к гомеоморфизмам, хотя мы ограничиваемся случаем $C^{\mathrm{\infty }}$-диффеоморфизмов.

Предположим, что для каждого фиксированного значения $x_0$, функция $f(x_0,\cdot )$ монотонно отображает $\mathbb{R}$ на себя, так что можно представить $y$ как функцию от $x$ и $x_1$. Это приводит к представлению (1) через производящую функцию $h=h(x_0,x_1)$ в виде
$$y_0=-h_1(x_0,x_1),y_1=h_2(x_0,x_1)$$

где $h_1,h_2$ обозначают частное дифференцирование $h$ по первому или второму аргументу. Условия (I)-(III) означают, что
$$\{\begin{array}{l}h(x_0+1,x_1+1)=h(x_0,x_1),\\ -h_{12}>0.\end{array}$$

Для простоты потребуем, чтобы это условие выполнялось равномерно, то есть
$$-h_{12}⩾\delta >0\text{ выполняется в }{\mathbb{R}}^2.$$

Из этого условия следует, что для фиксированного $y$ отображение $x_0\to -h_2(x_0,y)$ является монотонным из ${\mathbb{R}}^1$ на ${\mathbb{R}}^1$ и что
$$h(x_0,x_1)⩾\frac{\delta }{2}{(x_1-x_0)}^2-c$$

с постоянной $c$. Это следует из (2), (3) и тождества
$$h(x_0,x_1)=h(x_0,x_0)+{\int }_{x_0}^{x_1}{h}_2(\eta ,\eta )d\eta -{\iint }_{T(x_0,x_1)}{h}_{12}(\xi ,\eta )d\xi dh$$

где $T$ — прямоугольный треугольник, две стороны которого лежат на вертикальной и горизонтальной прямых, проходящих через точку $(x_0,x_1)$, а третья лежит на диагонали ( $x_0=x_1)$. В частности, $h$ ограничена снизу.

Задача заключается в нахождении замкнутых инвариантных кривых $y=w(x)$ с непрерывной $w$, удовлетворяющей условию $w(x+1)=$ $=w(x)$, или, более обще, инвариантных множеств, лежащих на такой кривой, представленной в виде графика. В случае инвариантной кривой отображение $\phi$ задает отображение окружности на $y=w(x)$, определенное через
$$x_0\to f(x_0,w\left(x_0\right))=x_1,$$

для которого число вращения $\alpha$ может быть найдено как
$$\alpha =\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_j}{j},$$

где $x_j$ является образом $x_0$ относительно $j$-й итерации ранее описанного отображения.

Для того чтобы найти инвариантное множество для заданного числа вращения, представим (следуя Мезеру) это множество параметрически
$$x=u(\theta );y=v(\theta ),$$

где $u(\theta )-\theta ,v(\theta )$ имеют период 1 и $u(\theta )$ монотонно возрастает так, что порожденное отображение задается вращением $\theta \to \theta +\alpha$. Аналитически это требует решения разностного уравнения
$$\begin{array}{c}u(\theta +\alpha )=f(u(\theta ),v(\theta )),\\ v(\theta +\alpha )=g(u(\theta ),v(\theta ))\end{array}$$

с данными выше ограничениями.
При сделанных предположениях, теорема Мезера [2] обеспечивает для каждого $\alpha \in \mathbb{R}$ существование решения разностного уравнения (7), для которого
a) $u(\theta )-\theta ,v(\theta )$ имеют период 1
b) $u(\theta )$ строго монотонно возрастает.

Такая монотонная функция $u$ имеет не более, чем счетное число разрывов. Если она непрерывна, то из (7) следует, что $v$ также непрерывна и представляет собой инвариантную кривую. Ее график $y=w(x)$ задается уравнением
$$w=v\circ u^{-1}.$$

Если $u$ в точке $x_0^{\ast }$ имеет скачок, тогда $u$ имеет также скачок в $x_0^{\ast }+j\alpha$, $j\in Z$ и для иррационального $\alpha$ разрывы плотны; $u(\theta )$ является обратной функцией Кантора, а область определения $u$ — одномерное канторово множество.

В этой работе рассматривается решение разностного уравнения (7), которое вместе с производящей функцией может быть записана в эквивалентной форме
$$v=-h_1(u,u^{+}),v^{+}=h_2(u,u^{+}),$$

где $u^{\pm }(\theta )=u(\theta \pm \alpha ),v^{\pm }(\theta )=v(\theta \pm \alpha )$. Исключая $v$, получаем разностное уравнение
$$h_1(u,u^{+})+h_2(u^{-},u)=0,$$

которое Мезер решил с помощью вариационного принципа
$${\int }_0^{1}h(u,u^{+})d\theta$$

предложенного Персивалем. Он получил решение уравнения (10) минимизируя этот функционал в классе функций, удовлетворяющих условию (8). Существование такого минимума устанавливается без особого труда. Главная сложность заключается в том, чтобы проверить, выполняется ли «уравнение Эйлера» (10) для такого класса функций (8).