Мы покажем, как методы, развитые в гл. 1, применяются в теории дифференциальных уравнений в частных производных при изучении класса так называемых положительных симметричных систем, введенных Фридрихсом [14] в связи с задачами управления. Такие системы могут быть эллиптическими в одних областях и гиперболическими в других, как это происходит, например, в задачах, связанных со сверхзвуковыми потоками газа. С другой стороны, для этих уравнений имеют место некоторые оценни, которые позволяют доказывать существование решений.

В этой главе мы будем исследовать такие системы в нелинейном случае, применяя методы предыдущей главы. Основной особенностью нашего метода является то, что мы обходимся без предварительного понятия слабого решения, а строим решения с помощью аппроксимаций, которые сходятся в каждой точке вместе с несколькими производными.

В линейном случае положительные симметричные системы определяются следующим образом: пусть $x=(x_1,\dots ,x_n)$ принадлежат некоторой области, $u(x)=(u_1,\dots ,u_m)$ — вектор, а $a^{(u)}(x)$ и $b(x)$ — квадратные матрицы порядка $m$. Общая система первого порядка в частных производных имеет вид
$$Lu\equiv \sum _{u=1}^n{a}^{(u)}\frac{\partial }{\partial x_u}u+bu=f(x).$$

Такая система называется положительной симметричной, если все матрицы $a^{(u)}(x)$ симметричны, а матрица
$$b+b^T-\sum _{u=1}^n\frac{\partial }{\partial x_u}{a}^{(u)}$$

положительно определена. Нужно наложить еще граничные условия, но мы будем изучать простую задачу, в которой предполагается, что

$a^{(u)}(x),b(x),f(x)$ и искомое решение $u(x)$ имеют период, равный, скажем, $2\pi$ по всем переменным $x_1,\dots ,x_n$. Можно сказать, что мы рассматриваем задачу на торе. Название «положительные симметричные» имеет, например, следующее оправдание: при сделанных выше предположениях квадратичная форма
$$(u,Lu)=\int (u\sum _{u=1}^n{a}^{(u)}\frac{\partial u}{\partial x_u}+ubu)dx,$$

где интегрирование ведется по тору $\mathrm{\Omega }:0⩽x_u⩽2\pi ,u=1,\dots ,n$, положительно определена.
В самом деле, интегрирование по частям дает
$$(u,Lu)={\int }_{\mathrm{\Omega }}u(b-\frac{1}{2}\sum _{u=1}^n\frac{\partial a^{(u)}}{\partial x_u})udx$$

и в силу (1.1) подынтегральное выражение положительно. Введем матрицу
$$b_0=b-\frac{1}{2}\sum _{u=1}^n\frac{\partial a^{(u)}}{\partial x_u}.$$

С помощью этой матрицы систему можно записать в такой форме (следуя Фридрихсу):
$$\frac{1}{2}\sum _{u=1}^n(a^{(u)}\frac{\partial u}{\partial x_u}+\frac{\partial a^{(u)}}{\partial x_u}u)+b_{0}u=f,$$

которая показывает, что первый член антисимметричен ${}^1$ и поэтому не влияет на квадратичную форму $(u,Lu)$.

В отличие от типа системы, который определяется матрицами $a^{(u)}$, положительность системы существенно зависит от $b$ и только от первых производных от $a^{(u)}$.

Установим некоторые нужные для дальнейшего априорные оценки высших производных, т.е. оценки снизу для скалярных произведений $(Lu,u{)}_l$, при достаточно больших целых значениях $l$. В особенности нас будет интересовать то, как эти оценни зависят от высших производных от коэффициентов системы.

Лемма 1. Если для любых векторов $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),\eta =({\eta }_1,\dots ,{\eta }_m)$, $|\xi |=|\eta |=1$, выполнено неравенство
$$⟨(l\sum \frac{\partial a^{(u)}}{\partial x_{\mu }}{\xi }_u{\xi }_{\mu }+b_0|\xi {|}^2)\eta ,\eta ⟩>2\gamma >0,$$

то для $v\in V^l$
$$\Vert v{\Vert }_l^2⩽\gamma (Lv,v{)}_l+c{(1+\Vert a{\Vert }_l+\Vert b{\Vert }_l)}^2,$$

где константа с зависит от $\gamma$, от $|v{|}_0^2$ и от верхней грани $(|a{|}_0+|a{|}_2+$ $+|b{|}_0+|b{|}_1$ ) (где $|a{|}_2,|b{|}_1$ суть максимумы норм производных порядков 2 и 1 соответственно ${}^1$ ).

Доказательство этой леммы мы дадим ниже (см. §5). Здесь мы заметим только, что при $l=0$ формула (1.3) следует из (1.1). Формулу (1.3) можно записать сокращенно в символической форме
$$l⟨a_x⟩+⟨b_0⟩>2\gamma .$$

Заметим, что для данных матриц $a,b$ на торе эти условия могут быть выполнены лишь для ограниченного множества значений $l$, за исключением тривиального случая системы с постоянными коэффициентами. Чтобы доказать это, заметим, что форма $⟨\left(\sum _{u,\mu }{a}_{x_{\mu }}^{(u)}{\xi }_u{\xi }_{\mu }\right)\eta ,\eta ⟩$ при некоторых $x$ принимает отрицательные значения. В самом деле, из периодичности $a^{(u)}$ следует, что интеграл от этой формы по тору при фиксированных $\xi$ и $\eta$ равен нулю, т.е. найдется значение $x$, при котором форма имеет отрицательное значение, за исключением того случая, когда $\frac{\partial a^{(u)}}{\partial x_{\mu }}$ тождественно равны нулю (случай системы с постоянными коэффициентами).

Это замечание показывает, что можно получить априорные оценки только для конечного числа производных от $v$. Это объясняется не грубым характером оценок, а соответствует тому явлению, что даже решение системы с аналитическими коэффициентами может иметь лишь конечное число производных.
${}^1$ То есть, например, $|a(x){|}_2=\underset{u,i,j}{max}{\left|\frac{{\partial }^2{a}^{(u)}(x)}{\partial x_i\partial x_j}\right|}_0$ — Прим. перев.

Простой пример такого рода можно получить при $n=1,m=1$, т.е. в случае одного обыкновенного дифференциального уравнения на окружности
$$-u_x\sin x+bu=(\sin x{)}^b.$$

Это уравнение имеет единственное периодическое решение
$$u=-{\left(\mathrm{tg}\frac{x}{2}\right)}^b{\int }_{\pi /2}^{x/2}\frac{(\cos t{)}^{2b-1}}{\sin t}dt\text{ при }0<x<2\pi ,$$

при $x\to 0$ эта функция ведет себя так же, как $-c{x}^b\log x$, и, следовательно, производная порядка $b$ не ограничена, а производная порядка $b+\frac{1}{2}$ не имеет интегрируемого квадрата.

Условие (1.4) означает в этом случае, что при всех $x$ должно выполняться неравенство $-l\cos x+(b+\frac{1}{2}\cos x)>0$. Это неравенство выполнено при $l<b+\frac{1}{2}$, что согласуется с ожидаемым числом квадратично интегрируемых производных.