Мы покажем, как методы, развитые в гл. 1, применяются в теории дифференциальных уравнений в частных производных при изучении класса так называемых положительных симметричных систем, введенных Фридрихсом [14] в связи с задачами управления. Такие системы могут быть эллиптическими в одних областях и гиперболическими в других, как это происходит, например, в задачах, связанных со сверхзвуковыми потоками газа. С другой стороны, для этих уравнений имеют место некоторые оценни, которые позволяют доказывать существование решений.

В этой главе мы будем исследовать такие системы в нелинейном случае, применяя методы предыдущей главы. Основной особенностью нашего метода является то, что мы обходимся без предварительного понятия слабого решения, а строим решения с помощью аппроксимаций, которые сходятся в каждой точке вместе с несколькими производными.

В линейном случае положительные симметричные системы определяются следующим образом: пусть $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ принадлежат некоторой области, $u(x)=\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)$ – вектор, а $a^{(
u)}(x)$ и $b(x)$ – квадратные матрицы порядка $m$. Общая система первого порядка в частных производных имеет вид
\[
L u \equiv \sum_{
u=1}^{n} a^{(
u)} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} u+b u=f(x) .
\]

Такая система называется положительной симметричной, если все матрицы $a^{(
u)}(x)$ симметричны, а матрица
\[
b+b^{T}-\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} a^{(
u)}
\]

положительно определена. Нужно наложить еще граничные условия, но мы будем изучать простую задачу, в которой предполагается, что

$a^{(
u)}(x), b(x), f(x)$ и искомое решение $u(x)$ имеют период, равный, скажем, $2 \pi$ по всем переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Можно сказать, что мы рассматриваем задачу на торе. Название «положительные симметричные» имеет, например, следующее оправдание: при сделанных выше предположениях квадратичная форма
\[
(u, L u)=\int\left(u \sum_{
u=1}^{n} a^{(
u)} \frac{\partial u}{\partial x_{
u}}+u b u\right) d x,
\]

где интегрирование ведется по тору $\Omega: 0 \leqslant x_{
u} \leqslant 2 \pi,
u=1, \ldots, n$, положительно определена.
В самом деле, интегрирование по частям дает
\[
(u, L u)=\int_{\Omega} u\left(b-\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{
u}}\right) u d x
\]

и в силу (1.1) подынтегральное выражение положительно. Введем матрицу
\[
b_{0}=b-\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{
u}} .
\]

С помощью этой матрицы систему можно записать в такой форме (следуя Фридрихсу):
\[
\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{n}\left(a^{(
u)} \frac{\partial u}{\partial x_{
u}}+\frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{
u}} u\right)+b_{0} u=f,
\]

которая показывает, что первый член антисимметричен ${ }^{1}$ и поэтому не влияет на квадратичную форму $(u, L u)$.

В отличие от типа системы, который определяется матрицами $a^{(
u)}$, положительность системы существенно зависит от $b$ и только от первых производных от $a^{(
u)}$.

Установим некоторые нужные для дальнейшего априорные оценки высших производных, т.е. оценки снизу для скалярных произведений $(L u, u)_{l}$, при достаточно больших целых значениях $l$. В особенности нас будет интересовать то, как эти оценни зависят от высших производных от коэффициентов системы.

Лемма 1. Если для любых векторов $\xi=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), \eta=\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{m}\right)$, $|\xi|=|\eta|=1$, выполнено неравенство
\[
\left\langle\left(l \sum \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{\mu}} \xi_{
u} \xi_{\mu}+b_{0}|\xi|^{2}\right) \eta, \eta\right\rangle>2 \gamma>0,
\]

то для $v \in V^{l}$
\[
\|v\|_{l}^{2} \leqslant \gamma(L v, v)_{l}+c\left(1+\|a\|_{l}+\|b\|_{l}\right)^{2},
\]

где константа с зависит от $\gamma$, от $|v|_{0}^{2}$ и от верхней грани $\left(|a|_{0}+|a|_{2}+\right.$ $+|b|_{0}+|b|_{1}$ ) (где $|a|_{2},|b|_{1}$ суть максимумы норм производных порядков 2 и 1 соответственно ${ }^{1}$ ).

Доказательство этой леммы мы дадим ниже (см. §5). Здесь мы заметим только, что при $l=0$ формула (1.3) следует из (1.1). Формулу (1.3) можно записать сокращенно в символической форме
\[
l\left\langle a_{x}\right\rangle+\left\langle b_{0}\right\rangle>2 \gamma .
\]

Заметим, что для данных матриц $a, b$ на торе эти условия могут быть выполнены лишь для ограниченного множества значений $l$, за исключением тривиального случая системы с постоянными коэффициентами. Чтобы доказать это, заметим, что форма $\left\langle\left(\sum_{
u, \mu} a_{x_{\mu}}^{(
u)} \xi_{
u} \xi_{\mu}\right) \eta, \eta\right\rangle$ при некоторых $x$ принимает отрицательные значения. В самом деле, из периодичности $a^{(
u)}$ следует, что интеграл от этой формы по тору при фиксированных $\xi$ и $\eta$ равен нулю, т.е. найдется значение $x$, при котором форма имеет отрицательное значение, за исключением того случая, когда $\frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{\mu}}$ тождественно равны нулю (случай системы с постоянными коэффициентами).

Это замечание показывает, что можно получить априорные оценки только для конечного числа производных от $v$. Это объясняется не грубым характером оценок, а соответствует тому явлению, что даже решение системы с аналитическими коэффициентами может иметь лишь конечное число производных.
${ }^{1}$ То есть, например, $|a(x)|_{2}=\max _{
u, i, j}\left|\frac{\partial^{2} a^{(
u)}(x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right|_{0}$ – Прим. перев.

Простой пример такого рода можно получить при $n=1, m=1$, т.е. в случае одного обыкновенного дифференциального уравнения на окружности
\[
-u_{x} \sin x+b u=(\sin x)^{b} .
\]

Это уравнение имеет единственное периодическое решение
\[
u=-\left(\operatorname{tg} \frac{x}{2}\right)^{b} \int_{\pi / 2}^{x / 2} \frac{(\cos t)^{2 b-1}}{\sin t} d t \quad \text { при } \quad 0<x<2 \pi,
\]

при $x \rightarrow 0$ эта функция ведет себя так же, как $-c x^{b} \log x$, и, следовательно, производная порядка $b$ не ограничена, а производная порядка $b+\frac{1}{2}$ не имеет интегрируемого квадрата.

Условие (1.4) означает в этом случае, что при всех $x$ должно выполняться неравенство $-l \cos x+\left(b+\frac{1}{2} \cos x\right)>0$. Это неравенство выполнено при $l<b+\frac{1}{2}$, что согласуется с ожидаемым числом квадратично интегрируемых производных.