В соответствии с рассуждениями раздела 2 ожидается, что видоизмененные $\tilde{u}=u+v(v=u_{\theta }w)$, полученные с помощью ньютоновских итераций, дадут квадратичное улучшение погрешности. Следующая лемма уточняет это:

Лемма 10. Пусть и удовлетворяет предположениям леммы 8 $u$, кроме того, пусть $\tilde{u}=u+v$ удовлетворяет $(\tilde{u},{\tilde{u}}^{+})\in {\mathcal{D}}_R$ при $|\mathrm{Im}\theta |<\rho$ для некоторого $0<\rho <r$. Тогда
$$|E(\tilde{u}){|}_{\rho }⩽\frac{c_6}{(r-\rho {)}^{4\tau }}|E(u){|}_r^2,$$

где $c_6=c_6(M,N,K,\kappa ,\sigma )$.
ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.
При указанном $u$ оценим погрешность
$$|E(\tilde{u}){|}_{\rho }\equiv |E(u+v){|}_{\rho }={|E(u)+E^{\prime }(u)v+Q|}_{\rho },$$

где $Q$ обозначает остаток. Из (13) получаем
$$u_{\theta }E(u)+u_{\theta }{E}^{\prime }(u)v=v{E}^{\prime }(u)u_{\theta },$$

или $E(u)+E^{\prime }(u)v=w{E}^{\prime }(u)u_{\theta }=w\frac{d}{d\theta }E(u)$. Используя (28) для $w$, вместе с оценкой Коши ${|\frac{d}{d\theta }E(u)|}_{\rho }⩽c\frac{|E(u){|}_r}{r-\rho }$, можно получить
$${|E(u)+E^{\prime }(u)v|}_{\rho }⩽c_4\frac{|E(u){|}_r^2}{(r-\rho {)}^{2\tau +1}}<c_4\frac{|E(u){|}_r^2}{(r-\rho {)}^{4\tau }},$$

где $c_4=c_4(M,N,K,\kappa ,\sigma )$. Кроме того, ошибка $Q$ квадратично мала в смысле $|E(u){|}_r$. Действительно, по формуле Тейлора для некоторого $0⩽t⩽1$ имеем:
$$Q=\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{t}^2}E(u+tv)$$

Из (3) получаем
$$|Q{|}_{\rho }⩽c_5|v{|}_{\rho }^2,$$

где $c_5$ зависит только от $|h{|}_{C^3}$. Отсюда из (18) и из (30) получаем требуемую оценку (29).