В соответствии с рассуждениями раздела 2 ожидается, что видоизмененные $\tilde{u}=u+v\left(v=u_{\theta} w\right)$, полученные с помощью ньютоновских итераций, дадут квадратичное улучшение погрешности. Следующая лемма уточняет это:

Лемма 10. Пусть и удовлетворяет предположениям леммы 8 $u$, кроме того, пусть $\widetilde{u}=u+v$ удовлетворяет $\left(\widetilde{u}, \widetilde{u}^{+}\right) \in \mathscr{D}_{R}$ при $|\operatorname{Im} \theta|<\rho$ для некоторого $0<\rho<r$. Тогда
\[
|E(\widetilde{u})|_{\rho} \leqslant \frac{c_{6}}{(r-\rho)^{4 \tau}}|E(u)|_{r}^{2},
\]

где $c_{6}=c_{6}(M, N, K, \kappa, \sigma)$.
ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.
При указанном $u$ оценим погрешность
\[
|E(\widetilde{u})|_{\rho} \equiv|E(u+v)|_{\rho}=\left|E(u)+E^{\prime}(u) v+Q\right|_{\rho},
\]

где $Q$ обозначает остаток. Из (13) получаем
\[
u_{\theta} E(u)+u_{\theta} E^{\prime}(u) v=v E^{\prime}(u) u_{\theta},
\]

или $E(u)+E^{\prime}(u) v=w E^{\prime}(u) u_{\theta}=w \frac{d}{d \theta} E(u)$. Используя (28) для $w$, вместе с оценкой Коши $\left|\frac{d}{d \theta} E(u)\right|_{\rho} \leqslant c \frac{|E(u)|_{r}}{r-\rho}$, можно получить
\[
\left|E(u)+E^{\prime}(u) v\right|_{\rho} \leqslant c_{4} \frac{|E(u)|_{r}^{2}}{(r-\rho)^{2 \tau+1}}<c_{4} \frac{|E(u)|_{r}^{2}}{(r-\rho)^{4 \tau}},
\]

где $c_{4}=c_{4}(M, N, K, \kappa, \sigma)$. Кроме того, ошибка $Q$ квадратично мала в смысле $|E(u)|_{r}$. Действительно, по формуле Тейлора для некоторого $0 \leqslant t \leqslant 1$ имеем:
\[
Q=\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} E(u+t v)
\]

Из (3) получаем
\[
|Q|_{\rho} \leqslant c_{5}|v|_{\rho}^{2},
\]

где $c_{5}$ зависит только от $|h|_{C^{3}}$. Отсюда из (18) и из (30) получаем требуемую оценку (29).