Аргументы предыдущих разделов показывают, что для минимального $u$ из утверждения (I) имеем
\[
I_{
u}^{\alpha}(v) \geqslant I_{
u}^{\alpha}(u) \quad \text { для } v \in x .
\]

Мы хотим установить это соотношение методами вариационного исчисления, используя то, что функции $u=u(x+c), c \in \mathbb{R}$, образуют «поле экстремалей».
Обозначим подынтегральную функцию в $I_{
u}^{\alpha}$ через
\[
F\left(x_{0}, x_{1}, p\right)=\frac{
u}{2} p^{2}+h\left(x_{0}, x_{1}\right),
\]

где необходимо заменить $x_{0}, x_{1}, p$ на $u(\theta), u(\theta+\alpha)$ и $u_{\theta}(\theta)$ соответственно. Необычным в этой подынтегральной функции является то, что $F$ зависит от смещенного аргумента $x_{1}=u(\theta+\alpha)$. В этом случае условие Лежандра соответствует
\[
F_{p p}=
u>0 ; \quad F_{x_{0} x_{1}}=h_{12}<0 .
\]

Так как $F$ не зависит от независимой переменной $\theta$, имеем:
\[
I_{
u}^{\alpha}(v)=\int_{0}^{1} F\left(v, v^{+}, v_{\theta}\right) d \theta, \quad v \in X,
\]

инвариантен относительно сдвигов $\theta \rightarrow \theta+$ const.
Минимальные $u(\theta+c), c \in \mathbb{R}$, построенные в предыдущем разделе, дают поле экстремалей, то есть кривые $x=u(\theta+c)$ покрывают $(\theta-x)$-плоскость простым образом. Так как $u_{\theta}>0$ и $u$ принимает все значения в $\mathbb{R}$, можно определить две функции $\psi, \chi$ как $\psi=u^{+} \circ u^{-1}$, $\chi=u_{\theta} \circ u^{-} 1$ так, что
\[
u^{+}=\psi(u) ; \quad u_{\theta}=\chi(u),
\]

где $\psi(x)-x, \chi(x)$ имеют период 1 . И наоборот, семейство $u(\theta+c)$ определяется вторым отношением. Отметим, что $\psi^{\prime}(x)>0$.
Мы определим функцию
\[
E\left(x_{0}, x_{1}, p\right)=\frac{
u}{2}\left(p-\chi\left(x_{0}\right)\right)^{2}-\iint_{D\left(x_{0}, x_{1}\right)} h_{12}(\xi, \eta) d \xi d \eta \geqslant 0,
\]

где $D\left(x_{0}, x_{1}\right)$ является областью, ограниченной горизонтальным и вертикальным отрезками, проходящими через $\left(x_{0}, x_{1}\right)$, и частью кривой $x_{1}=\psi\left(x_{0}\right)$. Эта функция является обобщением функции избытка Вейерштрасса. Для всякой $v \in X$ имеем соотношение
\[
I_{
u}^{\alpha}(v)=I_{
u}^{\alpha}(u)+\int_{0}^{1} E\left(v, v^{+}, v_{\theta}\right) d \theta,
\]

устанавливающее минимальный характер $u$, так как $E \geqslant 0$.
Доказательство проводится стандартным способом. Вычтем из $F$ функцию
\[
F^{*}\left(x_{0}, x_{1}, p\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right) p+g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{0}\right)+c_{0},
\]

где $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ имеют период 1 , и $c_{0}$ – постоянная. Тогда для любого $v \in X$ соответствующий интеграл
\[
\int_{0}^{1} F^{*}\left(v, v^{+}, v_{\theta}\right) d \theta=\int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)+\alpha g^{\prime}(x)\right) d x+c_{0}
\]

не зависит от $v$, и, таким образом, $F$ и $F-F^{*}$ приводят к эквивалентным вариационным задачам. Выберем $f, g, c_{0}$ так, чтобы функция
\[
E\left(x_{0}, x_{1}, p\right)=F\left(x_{0}, x_{1}, p\right)-F^{*}\left(x_{0}, x_{1}, p\right) \geqslant 0
\]

для всех аргументов, и так, чтобы она равнялась нулю для $x_{1}=\psi\left(x_{0}\right)$, $p=\chi\left(x_{0}\right)$.Это требует
\[
E_{x_{0}}=E_{x_{1}}=E_{p}=0 \quad \text { при } \quad x_{1}=\psi\left(x_{0}\right), p=\chi\left(x_{0}\right) .
\]

Второе и третье уравнения дают
\[
g^{\prime}(x)=h_{2}\left(\psi^{-1}(x), x\right) ; \quad f^{\prime}(x)=
u \chi(x),
\]

в то же время первое уравнение получается из этого с помощью уравнения Эйлера. Очевидно, на кривой $x_{1}=\psi\left(x_{0}\right), p=\chi\left(x_{0}\right)$ функция $E$ постоянная, которая может быть приравнена к нулю подходящим выбором $c_{0}$. Это дает
\[
c_{0}=-\frac{
u}{2} \chi^{2}+h(x, \psi)-g(\psi)+g(x) .
\]

Учитывая (17), (18) и (19) получим
\[
F^{*}=
u \chi p-\frac{
u}{2} \chi^{2}+h\left(x_{0}, \psi\right)+\int_{\psi\left(x_{0}\right)}^{x_{1}} h_{2}\left(\psi^{-1}(\eta), \eta\right) d \eta
\]

и таким образом
\[
\begin{aligned}
E & =F-F^{*}=
u \frac{p^{2}}{2}+h\left(x_{0}, x_{1}\right)-F^{*}= \\
& =\frac{
u}{2}(p-\chi)^{2}+h\left(x_{0}, x_{1}\right)-h\left(x_{1}, \psi\right)-\int_{\psi\left(x_{0}\right)}^{x_{1}} h_{2}\left(\psi^{-1}(\eta), \eta\right) d \eta .
\end{aligned}
\]

Обобщая формулу (5), можно переписать это как уравнение (16).
Если обозначить интеграл, соответствующий подынтегральной функции $F^{*}$, через $\left(I_{
u}^{\alpha}\right)^{*}$, то этот интеграл не зависит от выбора $v \in X$, что следует из нашего предыдущего рассмотрения. Более того, $E=0$ для $x_{0}=u, x_{1}=u^{+}, p=u_{\theta}$. Поэтому имеем
\[
\begin{aligned}
I_{
u}^{\alpha}(v)-\left(I_{
u}^{\alpha}\right)^{*} & =\int_{0}^{1} E\left(v, v^{+}, v_{\theta}\right) d \theta \\
I_{
u}^{\alpha}(u)-\left(I_{
u}^{\alpha}\right)^{*} & =0,
\end{aligned}
\]

и исключая $\left(I_{
u}^{\alpha}\right)^{*}$, получим
\[
I_{
u}^{\alpha}(v)-I_{
u}^{\alpha}(u)=\int_{0}^{1} E\left(v, v^{+}, v_{\theta}\right) d \theta \geqslant 0,
\]

что и требовалось.

Отметим, что эти рассуждения могут быть немедленно обобщены на подынтегральные функции $F\left(x_{0}, x_{1}, p\right)$, для которых $F_{x_{1} p} \equiv 0$, $F_{p p}>0, F_{x_{0} x_{1}}<0$, то есть для подынтегральных функций вида $F=$ $=a\left(x_{0}, p\right)+b\left(x_{0}, x_{1}\right)$.