1. Занимаясь ограниченной задачей трех тел, Пуанкаре [1] пришел к исследованию отображений кольца на себя, сохраняющих площадь. Он сформулировал теорему о существовании неподвижных точек таких отображений; эта теорема может быть использована для доказательства существования бесконечного числа периодических решений ограниченной задачи трех тел. Позже Дж. Д. Биркгоф [2] дополнил эти исследования рядом глубоких доказательств.

Изучение колец важно для многих видов нелинейных дифференциальных уравнений; ограниченную задачу трех тел можно рассматривать как модель для таких уравнений, выявляющую основные трудности в простой форме. Сохраняющие п.ощадь отображения возникают из обычных дифференциальных уравнений, описывающих движение без трения.

В этой статье мы доказываем теорему, гарантирующую существование замкнутых инвариантных кривых такого отображения. Замкнутые инвариантные кривые соответствуют почти периодическим решениям дифференциального уравнения, порождающего отображение. Они важны для изучения устойчивости периодических решений. Мы сформулируем задачу об отображениях точнее.
2. Пусть $r,\theta$ — полярные координаты на плоскости; рассмотрим кольцо
$$0<a⩽r⩽b.$$

Рассмотрим сначала простое отображение
$$\{\begin{array}{l}{\theta }_1=\theta +\alpha (r),\\ r_1=r\end{array}$$

и предположим, что угол вращения $\alpha (r)$ монотонно зависит от $r$ :
$$\frac{d\alpha }{dr}>0.$$

Это отображение сохраняет окружности, поворачивая их на угол, возрастающий вместе с возрастанием радиуса. Мы будем называть отображение (1.1) «кручением».
Рассмотрим теперь возмущение кручения:
$$\{\begin{array}{l}{\theta }_1=\theta +\alpha (r)+F(r,\theta ),\\ r_1=r+G(r,\theta ),\end{array}$$

где функции $F$ и $G$ предполагаются малыми и периодическими по $\theta$ с периодом $2\pi$. Вопрос состоит в том, существуют ли для этого отображения замкнутые инвариантные кривые, близкие к окружностям, инвариантным относительно кручения.

Очевидно, что без дополнительных предположений такие инвариантные кривые не существуют. Если, например, $G$ положительна, то после применения отображения $r$ возрастает, что исключает замкнутые инвариантные кривые. Поэтому мы сделаем следующее предположение: всякая замкнутая кривая, близкая к окружности $r=$ const, т. е. кривая с уравнением
$$r=f(\theta )=f(\theta +2\pi ),$$

где $f^{\prime }(\theta )$ достаточно мала, пересекается со своим образом. Если мы потребуем, чтобы отображение (1.2) сохраняло площадь и окружность $r=a$, то вышеупомянутое предположение будет, очевидно, выполнено ${}^1$. Отметим, что, в частности, образ окружности $r=$ const должен пересекаться с этой окружностью, т.е. $G(r,\theta )$ при каждом фиксированном значении $r$ имеет по крайней мере один нуль.

В теореме 1 утверждается, что при указанных выше условиях и для достаточно малых $F$ и $G$ замкнутая инвариантная кривая действительно существует, если только функции $F,G$ достаточное число раз дифференцируемы. В формулировке теоремы мы используем следующее обозначение: если $h(r,\theta )$ есть $s$ раз непрерывно дифференцируемая функция, то мы определим $s$-ю дифференциальную норму, положив
$$|h{|}_s=sup|{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}^{{\sigma }_1}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}^{{\sigma }_2}h(r,\theta )|,{\sigma }_1+{\sigma }_2⩽s,$$

где $r,\theta$ изменяются внутри области определения $h$.

Теорема 1. Для данного $\epsilon >0$ и данного иелого $s⩾1$ при нижеследуюших предположениях отображение (1.2) имеет замкнутую инвариантную кривую
$$\{\begin{array}{l}\theta ={\theta }^{\prime }+p\left({\theta }^{\prime }\right),\\ r=r_0+q\left({\theta }^{\prime }\right),\end{array}$$

такую, что периодические с периодом $2\pi$ и в раз непрерывно дифференцируемые функции р и ұ удолетворяют неравенству
$$|p{|}_s+\mid q_s<\epsilon \text{. }$$

Упомянутые предположения состоят в следующем. Пусть отображение (1.2) таково, что любая замкнутая кривая (1.3), близкая к окружности, пересекается со своим образом. Предположим далее, что $b-a⩾1$ и что для некоторой постоянной $c_0>1$
$$c_0^{-1}⩽\frac{d\alpha (r)}{dr}⩽c_0.$$

Наконеи, для некоторого положительного ${\delta }_0={\delta }_0(\epsilon ,s,c_0)$ и целого $l=$ $=l(s)$ функиии $F$ и $G$ имеют непрерывные производные до порядка $l$ включительно и удовлетворяют неравенствам
$$\begin{array}{c}|F{|}_0+|G{|}_0<{\delta }_0,\\ |\alpha {|}_l+|F{|}_l+|G{|}_l<c_0.\end{array}$$

Кроме того, мы утверждаем, что отображение, индуцированное на кривой (1.4), задается равенством
$${\theta }_1^{\prime }={\theta }^{\prime }+\alpha \left(r_0\right)$$

ЗАмЕчАниЕ. В действительности существует много инвариантных кривых, и их можно различать с помощью (1.8) по их числам вращения $\alpha \left(r_0\right)=\omega$. В самом деле, будет показано, что для произвольного наперед заданного $\omega$ из интервала
$$\alpha (a)+\epsilon <\omega <\alpha (b)-\epsilon$$

и такого, что число $\omega /2\pi$ не может быть хорошо приближено рациональными числами
$$|n\omega -m2\pi |⩾\epsilon n^{-3/2}\text{ длн всех целых }n>0,m,$$

существует кривая (1.4) с числом вращения $\omega =\alpha \left(r_0\right)$.
3. В 1954 г. А.Н.Колмогоровым [6], [7] была сформулирована теорема, аналогичная теореме 1. В утверждении Колмогорова речь идет о существовании почти периодических решений аналитических гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым. Настоящая работа возникла из попытки проверить справедливость теоремы Колмогорова, доказательство которой еще не опубликовано ${}^1$. Мы предпочли сформулировать это утверждение в его простейшей форме, в которой оно может быть описано геометрически. Обобщение на случай высших размерностей не должно привести к новым трудностям.

Настоящий результат отличается от [7] в следующем пункте. В работе А.Н.Колмогорова дифференциальные уравнения предполагаются аналитическими по всем переменным, в то время как мы предполагаем существование только конечного числа производных. Этот факт не имеет, конечно, практического значения, так как число $l$ в (1.7′) очень велико (формула (2.4) дает $l=333$ для $\sigma =4,s=1$ ), но он может быть интересен в принципе.

В связи с этим отметим, что нахождение инвариантных кривых с любой степенью точности не представляет труда, если доказано их существование. В аналитическом случае, например, нетрудно получить разложение по степеням малого параметра. Основной вопрос состоит в том, сходятся ли полученные ряды. В нашем случае мы построим итерационный процесс, который будет сходиться очень быстро. Быстрая

сходимость итераций существенна для нейтрализации влияния малых знаменателей (см. также [11]).

4. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать полное доказательство теоремы 1. Ряд применений этой теоремы и ее естественных обобщений к уравнениям Дуффинга и ограниченной задаче трех тел упоминаются в [12] и здесь не будут обсуждаться.

Некоторое значение имеет тот факт, что теорема 1 в ее усиленном варианте может быть использована для доказательства устойчивости периодических решений. Следуя Дж. Биркгофу (см. [3], [4]), мы придем к изучению сохраняющих меру отображений (1.2) в окрестности неподвижной точки, в которой мы положим $r=0$. Для доказательства устойчивости неподвижной точки нужно показать, что в произвольной близости от $r=0$ существуют окружающие эту точку инвариантные кривые (эти идеи изложены в $[5{]}^1$ ). Последнее требует обобщения теоремы 1 на отображения, для которых угол $\alpha (r)$ изменяется только внутри малого интервала. Такой результат рассматривается в $\mathrm{\S }5$.

Эта работа была доложена на семинаре в Нью-йоркском университете, в ходе которого Йон, Ланг, Л. Ниренберг и другие высказали много полезных замечаний. Я благодарен К.Л.Зигелю за стимулирующее влияние на мою работу в этой области, которое я испытывал во время предшествующих контактов.