Для того чтобы построить минимальные решения для данного вектора вращения, начнем с рационального вектора $\alpha$, т. е. вектора с рациональными компонентами и построим первые минимальные подторы. Для других $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ минимальные решения находятся аппроксимацией с помощью минимальных решений с рациональными $\alpha$.

Данному минимальному решению $u$ сопоставим группу $\bar{\Gamma}$ всех периодов $\bar{\gamma}=\left(\gamma, \gamma_{n+1}\right)$, где $\gamma=\left(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}\right)$, т. е. множество $\bar{\gamma} \in \bar{\Gamma}$, для которого
\[
\tau_{\bar{\gamma}} u=u(x+\gamma)-\gamma_{n+1}=u(x) .
\]

Это подгруппа $\mathbb{Z}^{n+1}$, которая не содержит никаких точек на оси $x_{n+1}$, кроме начала координат. Поэтому $\operatorname{dim}_{\mathbb{Z}} \bar{\Gamma} \leqslant n$. Обозначим через $\bar{E}$ наименьшее линейное подпространство $\mathbb{R}^{n+1}$, содержащее $\bar{\Gamma}$ такое, что $\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \bar{E}=\operatorname{dim}_{\mathbb{Z}} \bar{\Gamma} \leqslant n$.

Ясно, что $\bar{\Gamma}$ – подгруппа $\mathbb{Z}^{n+1} \cap \bar{E}$, и мы будем называть $\bar{\Gamma}$ «максимальной», если $\Gamma=\mathbb{Z}^{n+1} \cap \bar{E}$. Очевидно, все $\bar{\Gamma}$ содержатся в максимальной решетке, а именно в $\mathbb{Z}^{n+1} \cap \bar{E}$.

Если вектор вращения $u$ обозначен $\alpha$, то $\bar{\alpha}=(\alpha,-1) \in \mathbb{R}^{n+1}$ ортогонален $\bar{E}$, т. к. при $\bar{\gamma} \in \bar{\Gamma}, m \in \mathbb{Z}$,
\[
\begin{array}{c}
u(x)=u(x+m \gamma)-m \gamma_{n+1}=m\left(\gamma \cdot \alpha-\gamma_{n+1}\right)+O(1), \\
\text { т.е. } \gamma \cdot \alpha-\gamma_{n+1}=\bar{\gamma} \cdot \bar{\alpha}=0 \quad \text { для всех } \quad \bar{\gamma} \in \bar{\Gamma} .
\end{array}
\]

Более обобщенно, если $\bar{\Gamma}$ является какой-либо подгруппой $\mathbb{Z}^{n+1}$, которая не содержит никаких точек на оси $x_{n+1}$, кроме начала координат, то $\operatorname{dim} \bar{\Gamma} \leqslant n$ и $\bar{\Gamma}$ имеет нормальный вектор вида $\bar{\alpha}=(\alpha,-1)$,

т. е. содержится в гиперплоскости $x_{n+1}=\alpha \cdot x$. Обозначив через $\pi$ проекцию $\pi\left(x, x_{n+1}\right)=x$ пространства $\mathbb{R}^{n+1}$ на $\mathbb{R}^{n}$, рассмотрим группу $\bar{\Gamma}=\pi \bar{\Gamma}$. Из Г и $\alpha$ получим
\[
\bar{\Gamma}=\left\{\bar{\gamma}=\left(\gamma, \gamma_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1}, \quad \gamma \in \Gamma, \quad \gamma_{n+1}=\gamma \cdot \alpha\right\} .
\]

Очевидно, что $\bar{\Gamma}$ максимальна тогда и только тогда, когда $\Gamma$ максимальна.

В особом случае интеграла Дирихле минимальными решениями без самопересечений являются линейные функции $u=\alpha \cdot x+\beta$. Таким образом, для заданного $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ существует $u \in \mathscr{M}$. Также соответствующая решетка периодов
\[
\bar{\Gamma}=\left\{\bar{\gamma} \in \mathbb{Z}^{n+1}, \gamma_{n+1}=\gamma \cdot \alpha\right\}
\]

максимальна. Установим оба факта для общих вариационных задач на тope.

Перед тем как приступить к доказательству этих фактов, заметим, что гиперплоскость
\[
x_{n+1}=\alpha \cdot x+\beta
\]

является плотной на торе $\mathrm{T}^{n+1}=\mathbb{R}^{n+1} / \mathbb{Z}^{n+1}$ тогда и только тогда, когда вектор $\alpha$ не рациональный, или, что равносильно, тогда и только тогда, когда
\[
\operatorname{dim} \bar{\Gamma}<n \text { или } \operatorname{dim} \Gamma<n .
\]

С другой стороны, гиперплоскость (5.1) является подтором $\mathrm{T}^{n+1}$ тогда и только тогда, когда вектор $\alpha$ рациональный. То есть
\[
\operatorname{dim} \bar{\Gamma}=n \quad \text { или } \quad \operatorname{dim} \Gamma=n .
\]

В этом случае $\mathbb{R}^{n} / \Gamma=\mathrm{T}^{n}(\Gamma)$ является тором и для всех $\gamma \in \Gamma$
\[
\alpha \cdot(x+\gamma)+\beta=\alpha \cdot x+\beta+\gamma_{n+1},
\]
т. к. $\gamma_{n+1}=\alpha \cdot \gamma \in \mathbb{Z}$.

Чтобы доказать, что гиперплоскость (5.1) плотна на торе $\mathrm{T}^{n+1}$, если выполняется (5.2), необходимо показать, что гиперплоскости
\[
x_{n+1}=\alpha \cdot x+\beta+\alpha \cdot j-j_{n+1}
\]

являются плотными на $\mathbb{R}^{n+1}$, т. е. множество $\alpha \cdot j-j_{n+1}$ является плотным на $\mathbb{R}^{1}$. Т.к. $\alpha$ не рационально, то существует как минимум один иррациональный $\alpha_{
u}$, например $\alpha_{1}$, и хорошо известно, что множество $\left\{\alpha_{1} j_{1}-j_{n+1}\right\}$ является плотным, что и доказывает наше утверждение.

Итак, запишем, что $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n},-1$ рационально независимы тогда и только тогда, когда
\[
\operatorname{dim} \bar{\Gamma}=\operatorname{dim} \Gamma=0 .
\]

Этот случай мы обсудим в следующем параграфе.
Обратимся к построению минимальных подторов для произвольной вариационной задачи (2.1), удовлетворяющей условиям (3.1). Зададим $\alpha=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ с рациональными компонентами и подгруппу $\Gamma^{\prime}$
\[
\left\{\begin{array}{c}
\Gamma=\left\{\gamma \in \mathbb{Z}^{n}, \alpha \cdot \gamma \in \mathbb{Z}\right\} \\
\operatorname{dim} \Gamma^{\prime}=\operatorname{dim} \Gamma=n .
\end{array}\right.
\]

Ищем подторы
\[
x_{n+1}=u(x)=\alpha \cdot x+\widehat{u}(x)
\]

с группой переносов
\[
\bar{\Gamma}^{\prime}=\left\{\bar{\gamma}=\left(\gamma, \gamma_{n+1}\right) \mid \gamma \in \Gamma^{\prime} ; \gamma_{n+1}=\alpha \cdot \gamma\right\} .
\]

Иначе говоря, мы требуем, чтобы
\[
\widehat{u}(x+\gamma)=\widehat{u}(x) \quad \text { для } \quad \gamma \in \Gamma^{\prime} .
\]

Пусть $\Omega^{\prime}$ – фундаментальная область $\mathbb{R}^{n} / \Gamma^{\prime}$ и рассмотрим
\[
\widehat{u} \in W^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n} / \Gamma^{\prime}\right),
\]
т. е. $\widehat{u}$ удовлетворяет (5.5) и
\[
\int_{\Omega^{\prime}}\left(\widehat{u}^{2}+\widehat{u}_{x}^{2}\right) d x<\infty .
\]

Теорема 5.1. Для заданного рационального вектора $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ и подгруппы $\Gamma^{\prime}$ в $\Gamma=\left\{\gamma \in \mathbb{R}^{n}, \alpha \cdot \gamma=\mathbb{Z}\right\}$, удовлетворяющих (5.4), существует элемент $\widehat{u}^{*} \in W^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n} / \Gamma^{\prime}\right)$ такой, что $u^{*}=\alpha \cdot x+\widehat{u}^{*}$ минимизирует
\[
I_{\Omega^{\prime}}(u)=\int_{\Omega^{\prime}} F\left(x, u, u_{x}\right) d x
\]

в классе и таких, что $u-\alpha \cdot x \in W^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n} / \Gamma\right)$, при условии, что $F$ удовлетворяет (3.1). Кроме того, $u^{*} \in C^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ удовлетворяет уравнению Эйлера.

ДоКАЗаТЕЛЬСТво.
Это стандартный результат, доказанный прямыми методами вариационного исчисления, где компактность $\Omega^{\prime}$ играет важную роль. Для доказательства существования необходимо лишь, чтобы $F(x, u, p)$ удовлетворяла (2.2) и условию выпуклости по $p$. Обратимся к главе 5 книги Ладыженской и Уральцевой [15], где рассматривается краевая задача. Так как мы требуем выполнения условий периодичности (5.5), то необходимо сделать дополнительные замечания.
Ввиду (2.2)
\[
I_{\Omega^{\prime}}(u) \geqslant \delta_{0} \int_{\Omega^{\prime}} u_{x}^{2} d x-c_{0}\left|\Omega^{\prime}\right|,
\]

поэтому $I_{\Omega^{\prime}}(u)$ ограничена снизу. Класс допустимых функций не является пустым, т.к. к нему принадлежит $u=\alpha \cdot x$. Теперь выберем минимизирующую последовательность
\[
u_{m}=\alpha \cdot x+\widehat{u}_{m}
\]

так, что
\[
I_{\Omega^{\prime}}\left(u_{m}\right) \rightarrow \inf I_{\Omega^{\prime}}(u) .
\]

Из (5.7) получаем, что
\[
\int_{\Omega^{\prime}}\left|\widehat{u}_{m x}\right|^{2} d x \leqslant c
\]

ограничен. Можно заменить $\widehat{u}$ на $\widehat{u}+k, k \in \mathbb{Z}$. Получим, что среднее значение
\[
0 \leqslant\left|\Omega^{\prime}\right|^{-1} \int_{\Omega^{\prime}} \widehat{u}_{m} d x=\mu_{m}<1 .
\]

По неравенству Пуанкаре получаем
\[
\int_{\Omega^{\prime}}\left(u_{m}-\mu_{m}\right)^{2} d x \leqslant b^{2} \int_{\Omega^{\prime}}\left|u_{m x}\right|^{2} d x,
\]

где $b$ обозначает диаметр $\Omega^{\prime}$. Отсюда
\[
\int_{\Omega^{\prime}} \widehat{u}_{m}^{2} d x \leqslant 2\left(\left|\Omega^{\prime}\right| \mu_{m}^{2}+b^{2} \int_{\Omega^{\prime}}\left|u_{m x}\right|^{2} d x\right) \leqslant 2\left(\left|\Omega^{\prime}\right|+b^{2} c\right)=c^{\prime} .
\]

Таким образом,
\[
\left\|\widehat{u}_{m}\right\|_{W^{1,2}\left(\Omega^{\prime}\right)} \leqslant c^{\prime}
\]

ограничена.
Выбирая подпоследовательность, которая слабо сходится в $W^{1,2}\left(\Omega^{\prime}\right)$ и используя полунепрерывность снизу, получим искомую $\widehat{u}^{*} \in W^{1,2}\left(\Omega^{\prime}\right)$ как и в [15], гл. 5.

Для доказательства регулярности можно применить результаты гл. 6 в [15], предположив выполнение условий (3.1). Фактически, т. к. $\mathbb{R}^{m} / \Gamma^{\prime}$ является тором, можно забыть о гораздо более сложном доказательстве регулярности на границе и рассматривать только «внутреннюю регулярность».

Давайте временно обозначим через $\mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$ минимальные периодические решения, соответствущие $\alpha, \Gamma^{\prime}$, которые минимизируют $I_{\Omega^{\prime}}$. Тогда:

Теорема 5.2. Множество $\mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$ минимальных периодических решений $u(x)=\alpha \cdot x+\widehat{u}(x)$ является вполне упорядоченным, т. е. если $u, v \in \mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$, то для всех $x$ либо $u(x)<v(x)$, либо $u(x)>v(x)$, либо $и(x) \equiv v(x)$.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.

Для $u, v \in \mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$ выполнено
\[
I_{\Omega^{\prime}}(u)=I_{\Omega^{\prime}}(v)=d,
\]

где $d$ обозначает минимум $I_{\Omega^{\prime}}(u)$ в этом классе функций. Положим
\[
\begin{array}{c}
w^{+}(x)=\max (u(x), v(x))=\left\{\begin{array}{l}
u(x) \text { в } A, \\
v(x) \text { в } B,
\end{array}\right. \\
w^{-}(x)=\min (u(x), v(x))=\left\{\begin{array}{l}
v(x) \text { в } A, \\
u(x) \text { в } B,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A=\left\{x \in \Omega^{\prime}, u(x)>v(x)\right\} \\
B=\left\{x \in \Omega^{\prime}, u(x) \leqslant v(x)\right\} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
I_{\Omega^{\prime}}\left(w^{+}\right)=I_{A}(u)+I_{B}(v) \\
I_{\Omega^{\prime}}\left(w^{-}\right)=I_{A}(v)+I_{B}(u)
\end{array}
\]

и, складывая, получаем
\[
I_{\Omega^{\prime}}\left(w^{+}\right)+I_{\Omega^{\prime}}\left(w^{-}\right)=I_{\Omega^{\prime}}(u)+I_{\Omega^{\prime}}(v)=2 d .
\]

Ввиду минимальности $d$ также $I_{\Omega^{\prime}}\left(w^{ \pm}\right) \geqslant d$, получим, что
\[
I_{\Omega^{\prime}}\left(w^{+}\right)=I_{\Omega^{\prime}}\left(w^{-}\right)=d .
\]
Т.к. $w^{ \pm}$принадлежит также к классу допустимых функций, то
\[
w^{+}, w^{-} \in \mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right) .
\]

Используя доказательство леммы 4.2 , из $u \leqslant w^{+}$получаем, что либо $u<w^{+}$, либо $u \equiv w^{+}$. Во втором случае $v \leqslant u$, следовательно, либо $v<u$, либо $v \equiv u$, как и утверждалось. В первом случае $u<v$, что завершает доказательство теоремы.

Следствие 5.3. Если $u \in \mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$, то оно не имеет самопересечений.

Действительно, $\tau_{\bar{j}} u=u(x+j)-j_{n+1}$ также принадлежит $\mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$, следовательно, либо $\tau_{\bar{j}} u>u$, либо $<u$, либо $\equiv u$.

Теорема 5.4. $\mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)=\mathscr{M}(\alpha, \Gamma)$, где $\Gamma \supset \Gamma^{\prime}$ максимальна.
Следовательно, класс минимальных периодических орбит характеризуется только с помощью $\alpha$, поэтому с этого момента будем обозначать его $\mathscr{M}_{\text {per }}(\alpha)$.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВО.
Заметим, что для $u \in \mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$ и $\gamma \in \Gamma$
\[
v(x)=u(x+\gamma)-\alpha \cdot \gamma
\]

тоже принадлежит к $\mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$. Действительно, $\alpha \cdot \gamma$ – целое число, и $\gamma \in \mathbb{Z}^{n}$. Записав
\[
v(x)=\alpha \cdot x+\widehat{v}(x),
\]

имеем $\widehat{v}(x)=\widehat{u}(x+\gamma)$, отсюда
\[
\int_{\Omega^{\prime}} \widehat{v} d x=\int_{\Omega^{\prime}} \widehat{u} d x .
\]

Следовательно, выражение $\widehat{v}-\widehat{u}=v-u$ должно иметь нули, и по теореме $5.2 v=u$ или
\[
u(x+\gamma)=u(x)+\alpha \cdot \gamma \quad \text { для всех } \gamma \in \Gamma,
\]

доказывая, что $u \in \mathscr{M}(\alpha, \Gamma)$. Кроме того, $\min \left\{I_{\Omega^{\prime}}, \mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)\right\}=$ $=\frac{\left|\Omega^{\prime}\right|}{|\Omega|} \min \left\{I_{\Omega}, \mathscr{M}(\alpha, \Gamma)\right\}$, упрощая теорему 5.4.

Следствие 5.5. $\mathscr{M}_{\mathrm{per}}(\alpha) \subset \mathscr{M}(\alpha)$.

Пока что элементы $u$ в $\mathscr{M}_{\text {per }}(\alpha)$ характеризовались минимальностью относительно класса $u$, для которого $u-\alpha \cdot x$ имеет фиксированную периодическую решетку, и не вполне очевидно, что они являются минимальными решениями, по определению из параграфа 1. В этом смысл приведенного выше следствия. Отметим, однако, что вышеприведенное включение, в общем смысле, явлнется собственным, и $\mathscr{M}(\alpha)$ может включать $u$, для которой $u-\alpha \cdot x$ не является периодической.

Для того чтобы доказать следствие, отметим, что по следствию 5.3 $u \in \mathscr{M}_{\text {per }}(\alpha)$ не имеет самопересечений, и т. к. $u-\alpha \cdot x$ – периодическая, $\alpha$ является вектором вращения для $u$. Остается показать, что
\[
I_{B}(u+\varphi) \geqslant I_{B}(u)
\]

для произвольного $\varphi \in W_{\text {comp }}^{1,2}$, где $B$ является шаром, $|x|<R$, содержащим supp $\varphi$.
Для этого положим
\[
\Gamma^{\prime}=N \Gamma=\left\{\gamma, \gamma N^{-1} \in \Gamma\right\}
\]

для большого целого числа $N$. Тогда, согласно теореме 5.4, функцию $u \in \mathscr{M}_{\text {per }}(\alpha)$ можно рассматривать как элемент $\mathscr{M}\left(\alpha, \Gamma^{\prime}\right)$, т. е.
\[
I_{\Omega^{\prime}}(u+\psi) \geqslant I_{\Omega^{\prime}}(u)
\]

для всех $\psi \in W^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n} / \Gamma^{\prime}\right)$ и $\Omega^{\prime}$ обозначает фундаментальную область $\mathbb{R}^{n} / \Gamma^{\prime}$. Возьмем $N$ настолько большое, что $\operatorname{supp} \varphi \subset B \subset \Omega^{\prime}$, тогда (5.9) вытекает из (5.10).

После того как мы показали, что $\mathscr{M}(\alpha)$ не является пустым для рациональных $\alpha$ (т.к. оно содержит $\mathscr{M}_{\text {per }}(\alpha)$ ), несложно построить минимальные решения без самопересечений для произвольного $\alpha$.

Теорема 5.6. При условиях (3.1) вариационная задача имеет минимальные решения без самопересечений для всех заданных $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$, т.е.
\[
\mathscr{M}(\alpha)
eq \varnothing \quad \text { для всех } \quad \alpha \in \mathbb{R}^{n} .
\]

ДоКаЗатЕЛЬСтво.

Для данного $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ положим $A=|\alpha|+1$ и возьмем последовательность рациональных $\alpha^{(s)} \in \mathbb{R}^{n}$ таких, что $\alpha^{(s)} \rightarrow \alpha$ при $s \rightarrow \infty$. Возьмем $u^{(s)} \in \mathscr{M}_{\mathrm{per}}\left(\alpha^{(s)}\right)$ такую, что $u^{(s)} \in \mathscr{M}_{A}$ для больших $s$. По следствию 3.3 $\mathscr{M}_{A} / \mathbb{Z}$ компактно, и существует подпоследовательность $u^{\left(s_{
u}\right)}-m_{
u}$, которая сходится к элементу $u \in \mathscr{M}_{A}$ в $C^{1}$-топологии на компактных множествах. Согласно лемме $3.4 u \in \mathscr{M}(\alpha)$.