Рассмотрим на торе $\mathrm{T}^{n+1}=\mathbb{R}^{n+1} / \mathbb{Z}^{n+1}$ вариационную задачу
\[
\int F\left(x, u, u_{x}\right) d x,
\]

где подынтегральная функция $F(x, u, p)$ непрерывна по $u, p$ и измерима по $x$. Кроме того, она должна удовлетворять неравенствам
\[
\delta_{0}|p|^{2}-c_{0} \leqslant F(x, u, p) \leqslant \delta_{0}^{-1}|p|^{2}+c_{0}
\]

для всех $x, u, p$, где $\delta_{0} \in(0,1), c_{0}>0$ – константы. И последнее, положим, что $F$ имеет период 1 по $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ и $u$, поэтому (2.1) можно рассматривать как вариационную задачу на торе $\mathrm{T}^{n+1}$.

Нашей целью является получение свойств минимальных решений, определенных ранее и имеющих дополнительное свойство, заключающееся в том, что $u=u(x)$ не имеет самопересечений на $\mathrm{T}^{n+1}$. Будем говорить, что $u$ не имеет самопересечений на $\mathrm{T}^{n+1}$, если решение после переноса
\[
\tau_{\bar{j}} u=u(x+j)-j_{n+1} \quad \text { с } \quad \bar{j}=\left(j_{1}, \ldots, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1}
\]

не пересекает $u$, т. е. если для любого $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}$
\[
\tau_{\bar{j}} u-u
\]

не меняет знак. Другими словами, эта разность либо положительна, либо отрицательна, либо тождественно равна нулю.

Для пояснения смысла определения рассмотрим пример интеграла Дирихле
\[
\int\left|u_{x}\right|^{2} d x
\]

для которого любая гармоническая функция $u$ является минимальным решением. Она не имеет самопересечений тогда и только тогда, когда является линейной функцией
\[
u(x)=\alpha \cdot x+\beta, \quad \alpha \in \mathbb{R}^{n}, \beta \in \mathbb{R} .
\]

Действительно, гармоническая функция $u(x+j)-u(x)$ должна быть константой, т.к. любая положительная в $\mathbb{R}^{n}$ гармоническая функция (по неравенству Харнака) является константой; т.е.
\[
u(x+j)-u(x)=c(j) .
\]

Здесь константа $c(j)$ удовлетворяет $c(j+h)=c(j)+c(h)$ и поэтому имеет вид $c(j)=\alpha \cdot j$ с некоторым вектором $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Иначе говоря, функция
\[
\widehat{u}(x)=u(x)-\alpha \cdot x
\]

гармоническая в $\mathbb{R}^{n}$ и удовлетворяет $\widehat{u}(x+j)=\widehat{u}(x)$, поэтому является константой, например $\beta$, что доказывает утверждение.

Вообще, для $n=1$ линейные функции являются единственными гармоническими функциями, и они автоматически не имеют самопересечений. Это выполняется в общем случае для вариационных задач (2.1), удовлетворяющих (2.2), если $n=1$. Однако для $n \geqslant 2$ легко найти минимальные решения с самопересечениями, например, гармоническая функция $u=x_{1} x_{2}$. Другими словами, условие о том, что орбиты минимальной энергии не имеют самопересечений, нужно требовать лишь для $n \geqslant 2$.
Главный результат этого параграфа заключается в следующем:
Теорема 2.1. Если $u=u(x), x \in \mathbb{R}^{n}-$ минимальное решение (2.1) без самопересечений, и если выполняется (2.2), то существует единственный вектор $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ такой, что
\[
|u(x)-\alpha \cdot x|
\]

ограничено при всех $x \in \mathbb{R}^{n}$. Кроме того, существует константа $c_{1}$, зависяцая только от $c_{0}, \delta_{0}$ такая, что
\[
|u(x+y)-u(x)-\alpha \cdot y| \leqslant c_{1} \sqrt{1+|\alpha|^{2}}
\]

при всех $x, y$.
С геометрической точки зрения это означает, что расстояние между поверхностью $z=u(x)$ и гиперплоскостью $z=\alpha \cdot x+u(0)$ меньше либо равно $c_{1}$. Мы будем называть $\alpha$ вектором вращения $u$.

Доказательство сильно зависит от фундаментальных работ Де Джорджи, Ладыженской и Уральцевой, Джиаквинта и Джиусти, Трудингера и других. Прежде всего, согласно работе Джиаквинта и Джиусти, любое минимальное решение локально ограниченно и даже непрерывно по Гельдеру, поэтому имеет смысл говорить о его значении в точке. Джиаквинта и Джиусти доказали этот результат, проверив, что минимальные решения $u$ (и в более общем случае квазиминимумы) и $-u$ удовлетворяют неравенствам (см. [7], четвертый параграф; мы используем частный случай со значениями $m=2, g=c_{0}, \sigma=\infty$ ).
\[
\int_{A_{y}(k, \rho)} u_{x}^{2} d x \leqslant \gamma\left\{(r-\rho)^{-2} \int_{A_{y}(k, r)}(u-k)^{2} d x+\left|A_{y}(k, r)\right|\right\}
\]

для всех $0<\rho<r$ и всех вещественных $k$, где
\[
A_{y}(k, \rho)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n},|x-y|<\rho, u(x)>k\right\}
\]

и $\left|A_{y}(k, \rho)\right|$ обозначает меру Лебега этого множества. Константа $\gamma$ зависит только от $c_{0}, \delta_{0}$. Функции $u \in W_{\text {loc }}^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, удовлетворяющие такому множеству неравенств (2.5), называются классом Де Джорджи $D G_{2}^{+}$, благодаря фундаментальной работе Де Джорджи о регулярности эллиптических дифференциальных уравнений [4]. По сути дела, если $u$ и -u принадлежат $D G_{2}^{+}$, следовательно, и локально ограничена и даже непрерывна по Гельдеру (см. [15], вторая глава, шестой параграф или [10], [11]). Кроме того, в соответствии с леммой 6.2 [15] (вторая глава) выполняется неравенство
\[
\underset{|x| \leqslant r}{\operatorname{osc}} u \leqslant \theta\left(\underset{|x| \leqslant 2 r}{\operatorname{osc}} u+c_{2} r\right),
\]

где $\theta \in(0,1), c_{2}>0$ зависит только от $\gamma$, но не от функции $u$ или от $r$.
В полученном выше результате сферы $|x| \leqslant r,|x| \leqslant 2 r$ можно заменить, например, кубами; возьмем
\[
Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{n},\left|x_{
u}\right| \leqslant \frac{1}{2}\right\}, \quad 3 Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{n},\left|x_{
u}\right| \leqslant \frac{3}{2}\right\} .
\]

Тогда выполнено
\[
\left.\underset{Q}{\operatorname{osc}} u \leqslant \theta \underset{3 Q}{\operatorname{osc}} u+c_{2}\right)
\]

с некоторыми другими константами $\theta \in(0,1), c_{2}>0$.
С другой стороны, мы используем то, что $u$ не имеет самопересечений. Рассмотрим для фиксированного $x \in \mathbb{R}^{n}$ счетное множество
\[
S_{x}=\left\{u(x+j)-j_{n+1}, \bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}\right\}
\]

и переносы $\tau_{
u}: S_{x} \rightarrow S_{x}$, определяемые
\[
\tau_{
u}\left(u(x+j)-j_{n+1}\right)=u\left(x+e_{
u}+j\right)-j_{n+1},
\]

где $e_{
u}$ является $
u$-м единичным вектором. Тогда
\[
\tau_{
u}(s+1)=\tau_{
u}(s)+1 \quad \text { для } \quad s \in S_{x}
\]

и $\tau_{
u}(s)<\tau_{
u}\left(s^{\prime}\right)$ для $s<s^{\prime}, s, s^{\prime} \in S_{x}$, т. к. $u$ не имеет самопересечений. Если $\tau_{
u}$ был бы определен для всех вещественных $s$, он определял бы отображение окружности $\mathbb{R} / \mathbb{Z}$ в саму себя. Для такого отображения

можно определить число вращения Пуанкаре. Теми же самыми стандартными аргументами (см. ниже) покажем, что число вращения
\[
\alpha_{
u}=\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\tau_{
u}^{m}(s)}{m}, \quad s \in S_{x}
\]

существует и не зависит от $s$. В более общем случае, поскольку $\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{n}$ коммутируют, то верно следующее:
\[
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\tau^{k m}}{m}=\sum_{
u=1}^{n} k_{
u} \alpha_{
u}=k \cdot \alpha, \quad \text { где } \quad \tau^{k}=\tau_{1}^{k_{1}} \ldots \tau_{n}^{k_{n}} .
\]

Кроме того, для любого такого монотонного отображения $\tau^{k}=\tau_{1}^{k_{1}} \ldots \tau_{n}^{k_{n}}$ множества $S_{x}$ на себя выполняется
\[
\left|\tau^{k}(s)-s-k \cdot \alpha\right| \leqslant 1,
\]

и, следовательно,
\[
|u(x+k)-u(x)-k \cdot \alpha| \leqslant 1 \quad \text { для всех } k \in \mathbb{Z}^{n} .
\]

Кроме того, $\alpha$ не зависит от $x$, т.к. отображения $\tau_{
u}$ для различных значений $x \in \mathbb{R}^{n}$ сопряжены.

Для завершения доказательства необходимо проверить оценки, аналогичные (2.9), где $k \in \mathbb{Z}^{n}$, заменяется на произвольный вектор $y \in \mathbb{R}^{n}$. Для такого $y \in \mathbb{R}^{n}$ определим $k \in \mathbb{Z}^{n}$ такой, что
\[
y-k \in Q,
\]

следовательно, из (2.9) получим
\[
|u(x+y)-u(x)-y \cdot \alpha| \leqslant \underset{x+k+Q}{\operatorname{osc}} u+\sum_{
u=1}^{n}\left|\alpha_{
u}\right|+1 .
\]

Так как все наши допущения инвариантны относительно переносов $x \rightarrow x+a$, достаточно найти оценку для osc $u$ в терминах $|\alpha|$.
Из (2.9) с $x \in Q$ и $k= \pm e_{
u}$ можно вывести
\[
\underset{3 Q}{\operatorname{osc}} u \leqslant \underset{Q}{\operatorname{osc}} u+2 \sum_{
u=1}^{n}\left(1+\left|\alpha_{
u}\right|\right) .
\]

Действительно, если
\[
\max _{3 Q} u=u\left(x^{*}\right), \quad \min _{3 Q} u=u\left(x_{*}\right),
\]

можно найти точки $x^{(
u)} \in 3 Q,
u=0,1, \ldots, n$ такие, что
\[
x^{(0)}=x^{*}, \quad x^{(
u)}-x^{(
u-1)}=\eta_{
u} e_{
u} ; \quad \eta_{
u}= \pm 1 \text { или } 0
\]

и $x^{(n)} \in Q$ (см. рисунок).
Из (2.9) следует
\[
\max _{3 Q} u=u\left(x^{(0)}\right) \leqslant u\left(x^{(n)}\right)+\sum_{
u=1}^{n}\left|u\left(x^{(
u)}\right)-u\left(x^{(
u-1)}\right)\right| \leqslant \max _{Q} u+\sum_{
u=1}^{n}\left(1+\left|\alpha_{
u}\right|\right) .
\]

Вместе с аналогичной оценкой снизу для $\min _{3 Q} u$ получаем для $\underset{3 Q}{\operatorname{osc}} u=$ $=\max _{3 Q} u-\min _{3 Q} u$ оценку (2.11).
Объединив (2.11) с (2.7\”), находим, что
\[
\underset{Q}{\operatorname{osc}} u \leqslant \theta\left(\underset{Q}{\operatorname{osc}} u+2 \sum_{
u=1}^{n}\left(1+\left|\alpha_{
u}\right|\right)+c_{2}\right)
\]

следовательно,
\[
\underset{Q}{\operatorname{osc}} u \leqslant \frac{\theta}{1-\theta}\left(2 \sum_{
u=1}^{n}\left(1+\left|\alpha_{
u}\right|\right)+c_{2}\right) \leqslant c_{3} \sqrt{1+\left|\alpha_{
u}\right|^{2}} .
\]

Так как эта оценка выполняется для всех кубов после переноса $x+Q$, из (2.10) получим искомую оценку, тем самым докажем теорему 2.1.

С помощью многократного применения неравенства ( $2.7^{\prime}$ ) получим непрерывность $u$ по Гельдеру в явном виде
\[
\underset{|x| \leqslant r 2^{-
u}}{\operatorname{osc}} u \leqslant \theta^{
u} \underset{|x| \leqslant r}{\operatorname{osc}} u+c_{2} r \frac{\theta}{2^{
u}}\left(1+2 \theta+\ldots+(2 \theta)^{
u-1}\right) \leqslant \theta^{
u} \underset{|x| \leqslant r}{\operatorname{osc}} u+
u \theta^{
u} c_{2} r,
\]

где, без потери общности, предположим, что $\theta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$. Объединив это с теоремой 2.1, можно усилить теорему:

Теорема 2.2. Для любого минимального решения $и(x)$, не имеющего самопересечений, существуют показатель Гельдера $\varepsilon>0$ и константа $c_{4}>0$, зависящая только от $c_{0}, \delta_{0}$ такие, что
\[
|u(x+y)-u(x)-\alpha \cdot y| \leqslant c_{4} \sqrt{1+|\alpha|^{2}} \min \left(1,|y|^{\varepsilon}\right)
\]

выполняется для всех $x, y \in \mathbb{R}^{n}$.
Расширим описание минимальных решений без самопересечений в случае, когда $F=F(p)$ не зависит от $x, u$.
Теорема 2.3. Если $F=F(p) \in C^{2}\left(\mathbb{R}^{n+1}\right) u$
\[
\delta|\xi|^{2} \leqslant \sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}}(p) \xi_{
u} \xi_{\mu} \leqslant \delta^{-1}|\xi|^{2} \quad \text { для всех } \quad \xi \in \mathbb{R}^{n},
\]

тогда любая минималь без самопересечений имеет вид $u(x)=\alpha \cdot x+\beta$.
ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.
Пусть $u$ будет такой минималью без самопересечений. Тогда для любых $\left(j, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1}$
\[
v(x)=u(x+j)-j_{n+1}
\]

имеет те же самые свойства и $v(x)-u(x)$ либо $>0$, либо $<0$, либо $\equiv 0$ для всех $x$. Мы утверждаем, что $w(x)=v(x)-u(x)$ является константой. Действительно, т. к. и $u$ и $v$ являются слабыми решениями уравнения Эйлера
\[
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} F_{p_{
u}}\left(u_{x}\right)=0,
\]

получим для $w$ эллиптическое дифференциальное уравнение
\[
\sum_{
u=1}^{n}\left(a_{
u \mu}(x) w_{x_{\mu}}\right)_{x_{
u}}=0,
\]

где
\[
a_{
u \mu}(x)=\int_{0}^{1} F_{p_{
u} p_{\mu}}\left((1-t) u_{x}+t v_{x}\right) d t .
\]

Из обобщенного неравенства Харнака (см. [19], замечания в конце §6) следует, что положительное решение $w$ такого уравнения должно быть константой. Следовательно,
\[
u(x+j)-u(x)=c(j) .
\]

Как и раньше приходим к заключению, что $c(j)=\alpha \cdot j$ для некоторого $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Теперь $u_{0}(x)=\alpha \cdot x$, очевидно, является минималью без самопересечений для нашей вариационной задачи и
\[
u(x)-u_{0}(x)=u(x)-\alpha \cdot x
\]

имеет период 1 по всем переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Поскольку выражение $u-u_{0}$ также удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных, оно должно равняться константе, т. е. $u(x)=\alpha \cdot x+\beta$.