Рассмотрим на торе ${\mathrm{T}}^{n+1}={\mathbb{R}}^{n+1}/{\mathbb{Z}}^{n+1}$ вариационную задачу
$$\int F(x,u,u_x)dx,$$

где подынтегральная функция $F(x,u,p)$ непрерывна по $u,p$ и измерима по $x$. Кроме того, она должна удовлетворять неравенствам
$${\delta }_0|p{|}^2-c_0⩽F(x,u,p)⩽{\delta }_0^{-1}|p{|}^2+c_0$$

для всех $x,u,p$, где ${\delta }_0\in (0,1),c_0>0$ — константы. И последнее, положим, что $F$ имеет период 1 по $x_1,x_2,\dots ,x_n$ и $u$, поэтому (2.1) можно рассматривать как вариационную задачу на торе ${\mathrm{T}}^{n+1}$.

Нашей целью является получение свойств минимальных решений, определенных ранее и имеющих дополнительное свойство, заключающееся в том, что $u=u(x)$ не имеет самопересечений на ${\mathrm{T}}^{n+1}$. Будем говорить, что $u$ не имеет самопересечений на ${\mathrm{T}}^{n+1}$, если решение после переноса
$${\tau }_{\overline{j}}u=u(x+j)-j_{n+1}\text{ с }\overline{j}=(j_1,\dots ,j_{n+1})\in {\mathbb{Z}}^{n+1}$$

не пересекает $u$, т. е. если для любого $\overline{j}\in {\mathbb{Z}}^{n+1}$
$${\tau }_{\overline{j}}u-u$$

не меняет знак. Другими словами, эта разность либо положительна, либо отрицательна, либо тождественно равна нулю.

Для пояснения смысла определения рассмотрим пример интеграла Дирихле
$$\int {\left|u_x\right|}^{2}dx$$

для которого любая гармоническая функция $u$ является минимальным решением. Она не имеет самопересечений тогда и только тогда, когда является линейной функцией
$$u(x)=\alpha \cdot x+\beta ,\alpha \in {\mathbb{R}}^n,\beta \in \mathbb{R}.$$

Действительно, гармоническая функция $u(x+j)-u(x)$ должна быть константой, т.к. любая положительная в ${\mathbb{R}}^n$ гармоническая функция (по неравенству Харнака) является константой; т.е.
$$u(x+j)-u(x)=c(j).$$

Здесь константа $c(j)$ удовлетворяет $c(j+h)=c(j)+c(h)$ и поэтому имеет вид $c(j)=\alpha \cdot j$ с некоторым вектором $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$. Иначе говоря, функция
$$\hat{u}(x)=u(x)-\alpha \cdot x$$

гармоническая в ${\mathbb{R}}^n$ и удовлетворяет $\hat{u}(x+j)=\hat{u}(x)$, поэтому является константой, например $\beta$, что доказывает утверждение.

Вообще, для $n=1$ линейные функции являются единственными гармоническими функциями, и они автоматически не имеют самопересечений. Это выполняется в общем случае для вариационных задач (2.1), удовлетворяющих (2.2), если $n=1$. Однако для $n⩾2$ легко найти минимальные решения с самопересечениями, например, гармоническая функция $u=x_1{x}_2$. Другими словами, условие о том, что орбиты минимальной энергии не имеют самопересечений, нужно требовать лишь для $n⩾2$.
Главный результат этого параграфа заключается в следующем:
Теорема 2.1. Если $u=u(x),x\in {\mathbb{R}}^n-$ минимальное решение (2.1) без самопересечений, и если выполняется (2.2), то существует единственный вектор $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$ такой, что
$$|u(x)-\alpha \cdot x|$$

ограничено при всех $x\in {\mathbb{R}}^n$. Кроме того, существует константа $c_1$, зависяцая только от $c_0,{\delta }_0$ такая, что
$$|u(x+y)-u(x)-\alpha \cdot y|⩽c_1\sqrt{1+|\alpha {|}^2}$$

при всех $x,y$.
С геометрической точки зрения это означает, что расстояние между поверхностью $z=u(x)$ и гиперплоскостью $z=\alpha \cdot x+u(0)$ меньше либо равно $c_1$. Мы будем называть $\alpha$ вектором вращения $u$.

Доказательство сильно зависит от фундаментальных работ Де Джорджи, Ладыженской и Уральцевой, Джиаквинта и Джиусти, Трудингера и других. Прежде всего, согласно работе Джиаквинта и Джиусти, любое минимальное решение локально ограниченно и даже непрерывно по Гельдеру, поэтому имеет смысл говорить о его значении в точке. Джиаквинта и Джиусти доказали этот результат, проверив, что минимальные решения $u$ (и в более общем случае квазиминимумы) и $-u$ удовлетворяют неравенствам (см. [7], четвертый параграф; мы используем частный случай со значениями $m=2,g=c_0,\sigma =\mathrm{\infty }$ ).
$${\int }_{A_y(k,\rho )}{u}_x^{2}dx⩽\gamma \{(r-\rho {)}^{-2}{\int }_{A_y(k,r)}(u-k{)}^{2}dx+|A_y(k,r)|\}$$

для всех $0<\rho <r$ и всех вещественных $k$, где
$$A_y(k,\rho )=\{x\in {\mathbb{R}}^n,|x-y|<\rho ,u(x)>k\}$$

и $|A_y(k,\rho )|$ обозначает меру Лебега этого множества. Константа $\gamma$ зависит только от $c_0,{\delta }_0$. Функции $u\in W_{\text{loc }}^{1,2}\left({\mathbb{R}}^n\right)$, удовлетворяющие такому множеству неравенств (2.5), называются классом Де Джорджи $D{G}_2^{+}$, благодаря фундаментальной работе Де Джорджи о регулярности эллиптических дифференциальных уравнений [4]. По сути дела, если $u$ и -u принадлежат $D{G}_2^{+}$, следовательно, и локально ограничена и даже непрерывна по Гельдеру (см. [15], вторая глава, шестой параграф или [10], [11]). Кроме того, в соответствии с леммой 6.2 [15] (вторая глава) выполняется неравенство
$$\underset{|x|⩽r}{\mathrm{osc}}u⩽\theta (\underset{|x|⩽2r}{\mathrm{osc}}u+c_{2}r),$$

где $\theta \in (0,1),c_2>0$ зависит только от $\gamma$, но не от функции $u$ или от $r$.
В полученном выше результате сферы $|x|⩽r,|x|⩽2r$ можно заменить, например, кубами; возьмем
$$Q=\{x\in {\mathbb{R}}^n,\left|x_u\right|⩽\frac{1}{2}\},3Q=\{x\in {\mathbb{R}}^n,\left|x_u\right|⩽\frac{3}{2}\}.$$

Тогда выполнено
$$\underset{Q}{\mathrm{osc}}u⩽\theta \underset{3Q}{\mathrm{osc}}u+c_2)$$

с некоторыми другими константами $\theta \in (0,1),c_2>0$.
С другой стороны, мы используем то, что $u$ не имеет самопересечений. Рассмотрим для фиксированного $x\in {\mathbb{R}}^n$ счетное множество
$$S_x=\{u(x+j)-j_{n+1},\overline{j}\in {\mathbb{Z}}^{n+1}\}$$

и переносы ${\tau }_u:S_x\to S_x$, определяемые
$${\tau }_u(u(x+j)-j_{n+1})=u(x+e_u+j)-j_{n+1},$$

где $e_u$ является $u$-м единичным вектором. Тогда
$${\tau }_u(s+1)={\tau }_u(s)+1\text{ для }s\in S_x$$

и ${\tau }_u(s)<{\tau }_u\left(s^{\prime }\right)$ для $s<s^{\prime },s,s^{\prime }\in S_x$, т. к. $u$ не имеет самопересечений. Если ${\tau }_u$ был бы определен для всех вещественных $s$, он определял бы отображение окружности $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ в саму себя. Для такого отображения

можно определить число вращения Пуанкаре. Теми же самыми стандартными аргументами (см. ниже) покажем, что число вращения
$${\alpha }_u=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\tau }_u^m(s)}{m},s\in S_x$$

существует и не зависит от $s$. В более общем случае, поскольку ${\tau }_1,{\tau }_2,\dots ,{\tau }_n$ коммутируют, то верно следующее:
$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\tau }^{km}}{m}=\sum _{u=1}^n{k}_u{\alpha }_u=k\cdot \alpha ,\text{ где }{\tau }^k={\tau }_1^{k_1}\dots {\tau }_n^{k_n}.$$

Кроме того, для любого такого монотонного отображения ${\tau }^k={\tau }_1^{k_1}\dots {\tau }_n^{k_n}$ множества $S_x$ на себя выполняется
$$|{\tau }^k(s)-s-k\cdot \alpha |⩽1,$$

и, следовательно,
$$|u(x+k)-u(x)-k\cdot \alpha |⩽1\text{ для всех }k\in {\mathbb{Z}}^n.$$

Кроме того, $\alpha$ не зависит от $x$, т.к. отображения ${\tau }_u$ для различных значений $x\in {\mathbb{R}}^n$ сопряжены.

Для завершения доказательства необходимо проверить оценки, аналогичные (2.9), где $k\in {\mathbb{Z}}^n$, заменяется на произвольный вектор $y\in {\mathbb{R}}^n$. Для такого $y\in {\mathbb{R}}^n$ определим $k\in {\mathbb{Z}}^n$ такой, что
$$y-k\in Q,$$

следовательно, из (2.9) получим
$$|u(x+y)-u(x)-y\cdot \alpha |⩽\underset{x+k+Q}{\mathrm{osc}}u+\sum _{u=1}^n\left|{\alpha }_u\right|+1.$$

Так как все наши допущения инвариантны относительно переносов $x\to x+a$, достаточно найти оценку для osc $u$ в терминах $|\alpha |$.
Из (2.9) с $x\in Q$ и $k=\pm e_u$ можно вывести
$$\underset{3Q}{\mathrm{osc}}u⩽\underset{Q}{\mathrm{osc}}u+2\sum _{u=1}^n(1+\left|{\alpha }_u\right|).$$

Действительно, если
$$\underset{3Q}{max}u=u\left(x^{\ast }\right),\underset{3Q}{min}u=u\left(x_{\ast }\right),$$

можно найти точки $x^{(u)}\in 3Q,u=0,1,\dots ,n$ такие, что
$$x^{(0)}=x^{\ast },x^{(u)}-x^{(u-1)}={\eta }_u{e}_u;{\eta }_u=\pm 1\text{ или }0$$

и $x^{(n)}\in Q$ (см. рисунок).
Из (2.9) следует
$$\underset{3Q}{max}u=u\left(x^{(0)}\right)⩽u\left(x^{(n)}\right)+\sum _{u=1}^n|u\left(x^{(u)}\right)-u\left(x^{(u-1)}\right)|⩽\underset{Q}{max}u+\sum _{u=1}^n(1+\left|{\alpha }_u\right|).$$

Вместе с аналогичной оценкой снизу для $\underset{3Q}{min}u$ получаем для $\underset{3Q}{\mathrm{osc}}u=$ $=\underset{3Q}{max}u-\underset{3Q}{min}u$ оценку (2.11).
Объединив (2.11) с (2.7\»), находим, что
$$\underset{Q}{\mathrm{osc}}u⩽\theta (\underset{Q}{\mathrm{osc}}u+2\sum _{u=1}^n(1+\left|{\alpha }_u\right|)+c_2)$$

следовательно,
$$\underset{Q}{\mathrm{osc}}u⩽\frac{\theta }{1-\theta }(2\sum _{u=1}^n(1+\left|{\alpha }_u\right|)+c_2)⩽c_3\sqrt{1+{\left|{\alpha }_u\right|}^2}.$$

Так как эта оценка выполняется для всех кубов после переноса $x+Q$, из (2.10) получим искомую оценку, тем самым докажем теорему 2.1.

С помощью многократного применения неравенства ( ${2.7}^{\prime }$ ) получим непрерывность $u$ по Гельдеру в явном виде
$$\underset{|x|⩽r{2}^{-u}}{\mathrm{osc}}u⩽{\theta }^u\underset{|x|⩽r}{\mathrm{osc}}u+c_{2}r\frac{\theta }{2^u}(1+2\theta +\dots +(2\theta {)}^{u-1})⩽{\theta }^u\underset{|x|⩽r}{\mathrm{osc}}u+u{\theta }^u{c}_{2}r,$$

где, без потери общности, предположим, что $\theta \in (\frac{1}{2},1)$. Объединив это с теоремой 2.1, можно усилить теорему:

Теорема 2.2. Для любого минимального решения $и(x)$, не имеющего самопересечений, существуют показатель Гельдера $\epsilon >0$ и константа $c_4>0$, зависящая только от $c_0,{\delta }_0$ такие, что
$$|u(x+y)-u(x)-\alpha \cdot y|⩽c_4\sqrt{1+|\alpha {|}^2}min(1,|y{|}^{\epsilon })$$

выполняется для всех $x,y\in {\mathbb{R}}^n$.
Расширим описание минимальных решений без самопересечений в случае, когда $F=F(p)$ не зависит от $x,u$.
Теорема 2.3. Если $F=F(p)\in C^2\left({\mathbb{R}}^{n+1}\right)u$
$$\delta |\xi {|}^2⩽\sum _{u,\mu =1}^n{F}_{p_u{p}_{\mu }}(p){\xi }_u{\xi }_{\mu }⩽{\delta }^{-1}|\xi {|}^2\text{ для всех }\xi \in {\mathbb{R}}^n,$$

тогда любая минималь без самопересечений имеет вид $u(x)=\alpha \cdot x+\beta$.
ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.
Пусть $u$ будет такой минималью без самопересечений. Тогда для любых $(j,j_{n+1})\in {\mathbb{Z}}^{n+1}$
$$v(x)=u(x+j)-j_{n+1}$$

имеет те же самые свойства и $v(x)-u(x)$ либо $>0$, либо $<0$, либо $\equiv 0$ для всех $x$. Мы утверждаем, что $w(x)=v(x)-u(x)$ является константой. Действительно, т. к. и $u$ и $v$ являются слабыми решениями уравнения Эйлера
$$\sum _{u=1}^n\frac{\partial }{\partial x_u}{F}_{p_u}\left(u_x\right)=0,$$

получим для $w$ эллиптическое дифференциальное уравнение
$$\sum _{u=1}^n{(a_{u\mu }(x)w_{x_{\mu }})}_{x_u}=0,$$

где
$$a_{u\mu }(x)={\int }_0^1{F}_{p_u{p}_{\mu }}((1-t)u_x+t{v}_x)dt.$$

Из обобщенного неравенства Харнака (см. [19], замечания в конце §6) следует, что положительное решение $w$ такого уравнения должно быть константой. Следовательно,
$$u(x+j)-u(x)=c(j).$$

Как и раньше приходим к заключению, что $c(j)=\alpha \cdot j$ для некоторого $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$. Теперь $u_0(x)=\alpha \cdot x$, очевидно, является минималью без самопересечений для нашей вариационной задачи и
$$u(x)-u_0(x)=u(x)-\alpha \cdot x$$

имеет период 1 по всем переменным $x_1,\dots ,x_n$. Поскольку выражение $u-u_0$ также удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных, оно должно равняться константе, т. е. $u(x)=\alpha \cdot x+\beta$.