a) В этом параграфе обсуждается особый случай $n=1$, когда
\[
F(t, x, \dot{x})=\frac{1}{2} \dot{x}^{2}+\lambda V(t, x), \quad V \in C^{\infty}\left(T^{2}\right) .
\]

Здесь мы будем пользоваться обозначениями из механики, заменив $x, u$ на $t, x$. Уравнение Эйлера имеет вид
\[
\ddot{x}=\lambda V_{x}(t, x) .
\]

Исходя из теоремы 6.1 , для любого диофантова числа $\alpha$ существует гладкое минимальное слоение с числом вращения $\alpha$, если $|\lambda|$ достаточно мал. Другими словами, существует гладкое решение $U$ дифференциального уравнения
\[
\left(\partial_{t}+\alpha \partial_{\theta}\right)^{2} U=\lambda V_{x}(t, U)
\]

с $U(t, \theta)-\theta$ периода 1 по обеим переменным и $U_{\theta}>0$.

Как обсуждалось в $\S 3$, такое слоение приводит к инвариантному тору
\[
x=U(t, \theta), \quad \dot{x}=p=\left(\partial_{t}+\alpha \partial_{\theta}\right) U(t, \theta)
\]

в трехмерном фазовом пространстве. Из-за большой важности этих торов для теории устойчивости были проведены численные исследования для вычисления таких инвариантных торов и получения реальных оценок критических значений $\lambda$, при которых такой тор распадается. Кратко опишем результат одной из таких попыток.
б) В численной работе Эсканде (ссылка, приведена в работе [5]) изучалась потенциальная функция
\[
V(t, x)=\frac{1}{2 \pi}\{\cos (2 \pi x)+\cos (2 \pi(x-t))\} .
\]

Ожидается, что инвариантные торы сохранятся для относительно больших $\lambda$, если число вращения $\alpha$ плохо аппроксимируется рациональными числами. Стандартный пример такого типа — число
\[
\alpha=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1),
\]

разложение которого в непрерывную дробь состоит из одних единиц. В работе Эсканде, с помощью продолжения орбит, приведены численные свидетельства, что при $\lambda \sim \lambda_{*}=0,169$ инвариантные торы распадаются. С другой стороны, Челлетти и Кьёркиа построили инвариантные торы аналитически и показали существование гладких торов с числом вращения $\alpha$ при $|\lambda| \leqslant 0,069$. Эти два числа по-прежнему достаточно отдалены друг от друга, но необходимо помнить, что более ранние попытки давали различие около 10 порядков величины между значениями $\lambda$, для которых существование инвариантных торов может быть установлено, и между теми, для которых наблюдается распад.
в) Вернемся к вопросу о динамической устойчивости для (7.2), обсуждавшейся в §3. Нас интересовал вопрос, может ли для какогонибудь решения (7.2) производная $|\dot{x}(t)|$ быть неограниченной? В действительности, это не так, и чтобы показать, что все решения имеют ограниченные производные, достаточно построить инвариантные торы для произвольно больших чисел вращения. Можно предположить, что $\lambda=1$ и, прибавив некоторую функции, зависящую только от $t$,

можно получить
\[
\int_{0}^{1} V(t, x) d x=0,
\]

поэтому существует периодичная функция $W \in C^{\infty}\left(T^{2}\right)$ и $V=W_{x}(t, x)$.
Оказывается, что функция
\[
U^{0}(t, \theta)=\theta+\alpha^{-2} W(t, \theta)
\]

является приближенным решением нашего уравнения (7.3) при $\lambda=1$ и большого $|\alpha|$. Это становится ясным, если заменить дифференциальный оператор $\partial_{t}+\alpha \partial_{\theta}$ на $\alpha \partial_{\theta}$ и заметить, что
\[
\alpha^{2} \partial_{\theta}^{2} U^{0}=V_{x}(t, \theta) .
\]

Если также выбрать $\alpha$ так, чтобы выполнялось диофантово условие, например, $\alpha_{m}=\alpha_{0}+m, m \in \mathbb{Z}$, где $\alpha_{0}$ — фиксированное число такого типа, скажем, $\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$, тогда можно сделать вывод, что дифференциальное уравнение (7.3) имеет гладкое решение для достаточно большого $m$. (Я хотел бы поблагодарить Л. Кьёркиа за дискуссии по этому вопросу.)

Такое решение приводит к инвариантному тору вида (7.4). Исключив $\theta$, получим инвариантный тор вида
\[
\dot{x}=\psi(t, x),
\]

где $\psi=\alpha_{m}+o(1) \rightarrow \infty$ при $m \rightarrow \infty$.
Эти торы определяют границы для $\dot{x}$ при всех $t \in \mathbb{R}$ для любого произвольного решения $x=x(t)$ уравнения (7.2). Для заданного решения выберем $\alpha_{m}$ настолько большое, что $\dot{x}(0) \leqslant \min _{t, x} \psi(t, x)$. Тогда $\dot{x}(t) \leqslant \max _{t, x} \psi(t, x)$ для всех $t$.
г) Для подынтегральных выражений вида (7.1) достаточно легко построить такие потенциалы $V$, что для $|\lambda| \geqslant \lambda^{*}(A)$ не существует гладких инвариантных слоений для числа вращения $\alpha$, где $|\alpha| \leqslant A$, (см. [18]). Просто построим потенциалы $V$ с носителем в маленькой окрестности, содержащей шар, в котором $V \geqslant 1$, следовательно, произведение $\lambda V \geqslant \lambda$ является большим при больших $\lambda$. Поэтому минималь

не будет проходить через такой шар, т. к. можно уменьшить вариационный функционал, обходя это препятствие. Такая же идея лежит в основе контрпримера Бангерта [2], который, однако, требует нетривиальных оценок, не зависящих от $\lambda$ для минималей в компактной области вне носителя $V$.

Отметим, что эти примеры гарантируют для любого фиксированного $\lambda \geqslant \lambda^{*}(A)$ разрушение всех гладких слоений только для $|\alpha| \leqslant A$, а не для всех $\alpha$. Ранее сделанное замечание в) показывает, что для этих примеров такого разрушения не следует ожидать, т. к. для любого заданного $\lambda$ существуют гладкие минимальные слоения для достаточно больших $\alpha$. Это сильно отличается от случая разностного уравнения
\[
x_{i+1}-2 x_{i}+x_{i-1}=\lambda V_{x}\left(x_{i}\right),
\]

где $V=V(x)$ имеет период 1. Например, если $V(x)=-\frac{1}{2 \pi} \cos 2 \pi x$, можно показать (см. [22]), что разностное уравнение
\[
U(\theta+\alpha)-2 U(\theta)+U(\theta-\alpha)=\lambda \sin (2 \pi U(\theta))
\]

имеет монотонное решение $U(\theta)$, удовлетворяющее $U(\theta+1)=U(\theta)+1$, которое терпит разрыв при $\lambda>\lambda^{*}=\frac{2}{3 \pi}$, независимо от значения $\alpha$. Это разностное уравнение связано с особым монотонным закручивающим отображением, так называемым стандартным отображением. Это замечание показывает что, несмотря на то, что разностное уравнение (7.5) кажется похожим на дифференциальное уравнение (7.2), они демонстрируют различное поведение при больших частотах $\alpha$.