В приложении мы приведем доказательство леммы 5.5 и итерационное построение решения нелинейного уравнения (5.3), которое дает доказательство теоремы 5.1.
1. Доказательство леммы 5.3. Пусть $\lambda=\alpha^{r-1}, \mu=\beta^{r-1}$, где $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$ и пусть
\[
\sigma_{j k}^{\prime}=\frac{\lambda|j-k|^{s}|k|^{r}+\mu|j-k|^{r}|k|^{s}}{[j]^{r}}, \quad[k]=\max (|k|, 1) .
\]
Коэффициенты $\lambda, \mu$ выбраны так, что $(x+y)^{r} \leqslant \lambda x^{r}+\mu y^{r}$ для $x, y \geqslant 0$ и $r \geqslant 1$. Тогда по неравенству Шварца
\[
\left|\sum_{k} x_{k}\right|^{2} \leqslant \sum_{k} \frac{1}{\sigma_{j k}^{2 r}} \sum_{k} \sigma_{j k}^{2 r} x_{k}^{2 r}
\]
для каждого $j$. Поскольку $[j]^{r} \leqslant([k]+[j-k])^{r} \leqslant \lambda[k]^{r}+\mu[j-k]^{r}$, мы имеем
\[
\frac{1}{\sigma_{j k}^{r}} \leqslant \frac{\lambda[k]^{r}+\mu[j-k]^{r}}{\lambda[j-k]^{s}[k]^{r}+\mu[j-k]^{r}[k]^{s}} \leqslant \frac{1}{[j-k]^{s}}+\frac{1}{[k]^{s}}
\]
и, таким образом,
\[
\sum_{k} \frac{1}{\sigma_{j k}^{2 r}} \leqslant \sum_{k} \frac{4}{[k]^{2 s}}=4 S_{s}^{2}
\]
для любого $j$. Для немасштабированных соболевских норм мы получаем
\[
\begin{aligned}
\|\phi \psi\|_{r}^{2} & =\sum_{j}[j]^{2 r}\left|\sum_{k} \widehat{\phi}_{j-k} \widehat{\psi}_{k}\right|^{2} \leqslant \\
& \leqslant \sum_{j}[j]^{2 r}\left(\sum_{k} \frac{1}{\sigma_{j k}^{2 r}}\right)\left(\sum_{k} \sigma_{j k}^{2 r}\left|\widehat{\phi}_{j-k}\right|^{2}\left|\widehat{\psi}_{k}\right|^{2}\right) \leqslant \\
& \leqslant 4^{2} S_{s}^{2} \sum_{j, k}\left(\lambda^{2}[j-k]^{2 s}[k]^{2 r}+\mu^{2}[j-k]^{2 r}[k]^{2 s}\right)\left|\widehat{\phi}_{j-k}\right|^{2}\left|\widehat{\psi}_{k}\right|^{2}= \\
& =4^{2} S_{s}^{2}\left(\lambda^{2}\|\phi\|_{s}^{2}\|\psi\|_{r}^{2}+\mu^{2}\|\phi\|_{r}^{2}\|\psi\|_{s}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]
Этот результат для масштабированных соболевских норм доказывает лемму 5.3.
2. Доказательство леммы 5.4.
Лемма 8.1. Для целых $r>n$ выполнено
\[
\|\phi \circ u\|_{r} \leqslant c_{r}\|\phi\|_{r+n+1}\left(1+\|u-i d\|_{r}\right),
\]
где $u: T^{2 n} \rightarrow T^{2 n}$ такое, что $u-i d \in H^{r}\left(T^{2 n}\right)$.
Эта лемма следует из неравенства (2.4) в [19] и стандартной соболевской оценки.
В дальнейшем без оговорок будем считать, что $r \geqslant q>n$ – целые числа. Мы будем также писать $\|F\|_{r+1}$ вместо $\left\|F-F^{0}\right\|_{r+1}$ для краткости. Наконец, для упрощения записи мы пишем $\|X\| \lessdot .$. , если $\|X\| \leqslant c(\ldots)$, где константа $c$ зависит только от порядков норм, включенных в неравенство.
Напомним, что $P_{
u}=\left(C(F) F_{y}-C^{0}\right) A_{
u}$ для $
u=1,2$, где $A_{1}=A$ и $A_{2}=\bar{A}$.
Лемма 8.2. $Е с л и\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1} \leqslant 1$, то
\[
\left\|P_{
u}\right\|_{q} \lessdot\left\|C-C^{0}\right\|_{q+n+1}+\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1} .
\]
Кроме того, $\left\|P_{
u}\right\|_{r} \lessdot 1+\gamma_{r}\|F\|_{r+1}$ для $r \geqslant q$, где $\gamma_{r}=\|C\|_{r+n+1}$.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВО.
Мы имеем $C(F) F_{y}-C^{0}=\left(C(F)-C^{0}\right) F_{y}+C^{0}\left(F_{y}-I\right)$. Поскольку $C^{0}$ — постоянная матрица, мы можем применить лемму 8.1. Получим
\[
\begin{aligned}
\left\|C(F) F_{y}-C^{0}\right\|_{q} & \leqslant\left\|\left(C-C^{0}\right)(F)\right\|_{q}\|F\|_{q+1}+\left|C^{0}\right| \cdot\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1} \lessdot \\
& \lessdot\left\|C-C^{0}\right\|_{q+n+1}+\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1} \cdot
\end{aligned}
\]
Вторая оценка следует из
\[
\begin{array}{c}
\left\|C(F) F_{y}\right\|_{r} \lessdot\|C(F)\|_{r}\left\|F_{y}\right\|_{q}+\|C(F)\|_{q}\left\|F_{y}\right\|_{r} \lessdot \\
\lessdot\|C(F)\|_{r}+\gamma_{q}\|F\|_{r+1} \lessdot \gamma_{r}\|F\|_{r+1} .
\end{array}
\]
Напомним, что $Q=\left(I+P_{1}\right)^{-1} P_{2}$ и $G=-\left(I+P_{1}\right)^{-1} E$. В дальнейшем символ « будет означать оценку с константами, которые зависят также от норм матрицы $C$.
Лемма 8.3. Если для некоторого $q>n$ имеет место
\[
\left\|P_{
u}\right\|_{q} \leqslant \frac{\vartheta}{1+\vartheta}, \quad
u=1,2
\]
то $\|Q\|_{q} \leqslant \vartheta$. Более того, $\|Q\|_{r} \lessdot 1+\mid F\left\|_{r+1} u\right\| G\left\|_{r} \lessdot\right\| E\left\|_{r}+\right\| F\left\|_{r+1}\right\| E \|_{q}$ для $r \geqslant q$.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Записывая ряды Ньюмана (Neumann) для $\left(I+P_{1}\right)^{-1}$ и используя свойство банаховой алгебры, мы получим
\[
\left\|\left(I+P_{1}\right)^{-1}\right\|_{q} \leqslant \frac{1}{1-\left\|P_{1}\right\|_{q}} \leqslant 1+\vartheta,
\]
следовательно, $\|Q\|_{q} \leqslant(1+\vartheta)\left\|P_{2}\right\|_{q} \leqslant \vartheta$. Для общей оценки заметим, что $\left\|\left(I-P_{1}\right)^{-1}\right\|_{r} \lessdot 1+\left\|P_{1}\right\|_{r} \lessdot 1+\|F\|_{r+1}$ по лемме 8.1 и лемме 8.2. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\|G\|_{r} \lessdot\left\|\left(I+P_{1}\right)^{-1}\right\|_{q}\|E\|_{r}+\left\|\left(I+P_{1}\right)^{-1}\right\|_{r}\|E\|_{q} \lessdot \\
\lessdot\|E\|_{r}+\left(1+\|F\|_{r+1}\right)\|E\|_{q} \lessdot\|E\|_{r}+\|F\|_{r+1}\|E\|_{q} .
\end{array}
\]
То же самое выполняется для $\|Q\|_{r}$.
Лемма 8.4. В предположениях леммы 8.3 с константой $\vartheta \leqslant \frac{1}{4}$ решение $Z$ системы (5.19) существует и удовлетворяет неравенству $\|Z\|_{r} \lessdot\|E\|_{r}+\|F\|_{r+1}\|E\|_{q}$ для $r \geqslant q$.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
По лемме 5.4 и предыдущей лемме
\[
\begin{aligned}
\|Z\|_{r} & \lessdot\|G\|_{r}+\|Q\|_{r}\|G\|_{q} \lessdot \\
& \lessdot\|E\|_{r}+\|F\|_{r+1}\|E\|_{q}+\left(1+\|F\|_{r+1}\right)\|E\|_{q} \lessdot \\
& \lessdot\|E\|_{r}+\|F\|_{r+1} \|\left. E\right|_{q} .
\end{aligned}
\]
ДоКАЗаТЕЛЬСТВо ЛЕМмЫ 5.5.
По лемме 8.2 мы можем зафиксировать $q>n+\tau$ и $\vartheta<\frac{1}{4}$ и выбрать $\delta$ настолько малым, что выполнено условие малости в лемме 8.3. Таким образом, можно применить две предыдущие леммы. Мы можем
определить $\widehat{F}=F_{y}(V+R)$, где $R=-\left[F_{y}\right]^{-1}\left[F_{y} V\right]$. Применяя неравенство Шварца к среднему значению, получим
\[
|R| \leqslant\left|\left[F_{y}\right]^{-1}\right| \cdot\left|\left[F_{y} V\right]\right| \leqslant \frac{\|F\|_{1}\|V\|_{0}}{1-\left\|F-F^{0}\right\|_{1}} \lessdot\|V\|_{0} .
\]
Следовательно, $\|V+R\|_{s} \lessdot\|V\|_{s}$ для всех $s \geqslant 0$. Мы уже заметили в разделе 5, что $\|V\|_{r-\tau}+|\widehat{\alpha}| \lessdot\|Z\|_{r}$. Поскольку $q-\tau>n$ и $r \geqslant q$, мы получим
\[
\begin{aligned}
\|\widehat{F}\|_{r-\tau} & \lessdot\left\|F_{y}\right\|_{q-\tau}\|V+R\|_{r-\tau}+\left\|F_{y}\right\|_{r-\tau}\|V+R\|_{q-\tau} \lessdot \\
& \lessdot\|V\|_{r-\tau}+\|F\|_{r+1}\|V\|_{q-\tau} \lessdot \\
& \lessdot\|Z\|_{r}+\|F\|_{r+1}\|Z\|_{q} \lessdot \\
& \lessdot\|E\|_{r}+\|F\|_{r+1}\|E\|_{q}
\end{aligned}
\]
по лемме 8.4. Оценка для $\left\|\left(\partial_{y} E\right) V\right\|_{r-\tau}$ доказывается аналогично.
3. Следующее приближение. Для заданных оценок для линеаризованного уравнения существуют стандартная процедура в теории малых знаменателей и обобщенные теоремы о неявной функции, которые позволяют построить решение нелинейной задачи и показать его локальную единственность. Для полноты повествования и для удобства читателя мы предложим способ действия в этом частном случае.
Для нормированного решения $\widehat{F}, \widehat{\alpha}$ уравнения (5.21) определим следующее приближение
\[
F_{+}=F+S_{N} \widehat{F}, \quad \alpha_{+}=\alpha+\widehat{\alpha}
\]
к нулю функционала $E$, где $S_{N}$ определено в (5.22) и $N$ выбрано соответствующим образом.
Лемма 8.5. Если $\left\|C-C^{0}\right\|_{q+n+1}+\left\|F-F_{0}\right\|_{q+1}<\delta$, где $\delta-$ достаточно малое и $\left|E(F, \alpha) \|_{q}+\right| \alpha-\alpha^{0} \mid \leqslant 1$, то следующее приближение $F_{+}, \alpha_{+}$является вполне определенным и удовлетворяет
\[
\left\|F_{+}-F\right\|_{r+1} \lessdot N^{r-q+\tau+1}\|E\|_{q}, \quad\left|\alpha_{+}-\alpha\right| \lessdot\|E\|_{q}
\]
\[
\begin{array}{l}
\text { для } r \geqslant q u \\
\qquad \begin{array}{l}
\left\|E\left(F_{+}, \alpha_{+}\right)\right\|_{q} \lessdot N^{-s}\left(1+\|F\|_{q+s+\tau+2}\right)+ \\
\\
\quad+\|F\|_{q+s+\tau+2}^{\lambda}\|E\|_{q}^{2-\lambda}+N^{2 r+2}\|E\|_{q}^{2}
\end{array}
\end{array}
\]
\[
\text { для } s \geqslant 0 \text {, где } \lambda=\frac{q+\tau}{s+\tau+1} \text {. }
\]
Перед тем как представить доказательство, мы соберем несколько общих оценок. Первая из них показывает, что $E$ – это смягченный (tamed) функционал, в смысле [10]: если $\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1}+\left|\alpha-\alpha^{0}\right| \leqslant 1$, то
\[
\begin{aligned}
\|E(F, \alpha)\|_{r} & \lessdot 1+\|F\|_{r+1}, \\
\left\|E^{\prime}(F, \alpha)(V)\right\|_{r} & \lessdot\|F\|_{r+1}\|V\|_{q+1}+\|V\|_{r+1}, \\
\left\|E^{\prime \prime}(F, \alpha)(V, W)\right\|_{r} & \lessdot\|F\|_{r+1}\|V\|_{q+1}\|W\|_{q+1}+ \\
& +\|V\|_{q+1}\|W\|_{r+1}+\|V\|_{r+1}\|W\|_{q+1}
\end{aligned}
\]
для $r \geqslant q$. Первая оценка следует из определения, вторая – из (5.9), последняя – из стандартных вычислений.
Сглаживающий оператор $S_{N}$, определенный в (5.22), удовлетворяет соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\left\|S_{N} \phi-\phi\right\|_{s} \leqslant N^{s-r}\|\phi\|_{r}, \quad s \leqslant r, \\
\left\|S_{N} \phi\right\|_{s} \leqslant N^{s-r}\|\phi\|_{r}, \quad s \geqslant r
\end{array}
\]
для $N \geqslant 1$, проверяется непосредственно. Наконец, мы имеем логарифмическую выпуклость соболевских норм:
\[
\|\phi\|_{\lambda r+(1-\lambda) s} \lessdot\|\phi\|_{r}^{\lambda}\|\phi\|_{s}^{1-\lambda}
\]
для $r, s>n$ и $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$. Для доказательства запишем $\|\phi\|_{t} \leqslant$ $\leqslant\left\|\phi-S_{N} \phi\right\|_{t}+\left\|S_{N} \phi\right\|_{t}$, где $t=\lambda r+(1-\lambda) s$, применим сглаживающие оценки и определим минимум правой части по $N$.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 8.5.
Первая оценка вытекает из (8.2) и леммы 5.5, поскольку
\[
\left\|F_{+}-F\right\|_{r+1}=\left\|S_{N} \widehat{F}\right\|_{r+1} \leqslant N^{r-q+\tau+1}\|\widehat{F}\|_{q-r} \lessdot N^{r-q+\tau+1}\|E\|_{q} .
\]
Используя формулу Тейлора с квадратичным остаточным членом $R_{2}=R_{2}(\widehat{F}, \widehat{\alpha})$ и равенство (5.21), мы можем записать
\[
\begin{aligned}
E\left(F_{+}, \alpha_{+}\right) & =E(F, \alpha)+E^{\prime}(F, \alpha) \widehat{F}+E_{\alpha}(F, \alpha) \widehat{\alpha}+ \\
& +E^{\prime}(F, \alpha)\left(S_{N}-I\right) \widehat{F}+R_{2}= \\
& =E^{\prime}(F, \alpha)\left(S_{N}-I\right) \widehat{F}+\left(\partial_{y} E\right) V+R_{2} .
\end{aligned}
\]
В первом члене смягченные оценки для $E$ и (8.2) дают
\[
\left\|E^{\prime}(F, \alpha)\left(S_{N}-I\right) \widehat{F}\right\|_{q} \lessdot\left\|\left(S_{N}-I\right) \widehat{F}\right\|_{q+1} \lessdot N^{-s}\|\widehat{F}\|_{q+s+1}
\]
и $\|\widehat{F}\|_{q+s+1} \lessdot\|E\|_{q+s+\tau+1} \lessdot 1+\|F\|_{q+s+\tau+2}$ по лемме 5.5. Во втором члене мы имеем из леммы 5.5, где $r=q+\tau$, неравенство
\[
\left\|\left(\partial_{y} E\right) V\right\|_{q} \lessdot\|E\|_{q+\tau}\|E\|_{q}+\|F\|_{q+\tau+1}\|E\|_{q}^{2} .
\]
Из (8.3) и смягченных оценок вытекает
\[
\begin{aligned}
\|E\|_{q+\tau} & \lessdot\|E\|_{q}^{1-\lambda}|| E\left\|_{q+s+\tau+1}^{\lambda} \lessdot\right\| E \|_{q}^{1-\lambda}\left(1+\|F\|_{q+s+\tau+2}\right)^{\lambda}, \\
\|F\|_{q+\tau+1} & \lessdot\|F\|_{q+1}^{1-\lambda}\|F\|_{q+s+\tau+2}^{\lambda} \lessdot\|F\|_{q+s+\tau+2}^{\lambda},
\end{aligned}
\]
здесь $\lambda$ такое же, как и в лемме. Из последних трех неравенств получаем
\[
\left\|\left(\partial_{y} E\right) V\right\|_{q} \lessdot\left(1+\|F\|_{q+s+\tau+2}\right)^{\lambda}\|E\|_{q}^{2-\lambda} .
\]
Квадратичный остаточный член $R_{2}$ оценивается стандартным образом. Он дает третий вклад $N^{2 \tau+2}\|E\|_{q}^{2}$ в неравенство (8.0).
4. Итерационный процесс. Мы не будем давать детальных оценок, укажем лишь как получить сходящуюся итерационную схему. Положим
\[
F_{
u+1}=F_{
u}+S_{N_{
u}} \widehat{F}_{
u}, \quad \alpha_{
u+1}=\alpha_{
u}+\widehat{\alpha}_{
u},
\]
где $F_{0}=F^{0}, \alpha_{0}=\alpha^{0}$. Выберем параметры $N_{0}, \kappa$ и $w$ так, что $N_{0} \gg 1$, $1<\kappa<2, w>2 \tau+2$. Положим
\[
N_{
u}=N_{0}^{\kappa^{
u}} .
\]
Покажем по индукции, что
\[
\begin{array}{c}
\left\|E_{
u}\right\|_{q} \lessdot N_{
u}^{-w}, \\
\left\|F_{
u+1}-F_{
u}\right\|_{r+1} \lessdot N_{
u}^{r-q-a}, \quad r \geqslant q,
\end{array}
\]
где $E_{
u}=E\left(F_{
u}, \alpha_{
u}\right)$ и $a=\tau+1$.
Для $
u=0$ мы имеем
\[
\left\|E_{0}\right\|_{q} \leqslant\left|\alpha^{0}\right| \cdot\left\|C-C^{0}\right\|_{q} .
\]
Таким образом, достаточно предположить, что $\left\|C-C^{0}\right\|_{q}$ мало, отсюда, применяя лемму 8.5, мы получим $F_{1}$ вместе с оценкой $F_{1}-F_{0}$.
Чтобы продолжить итерационный процесс, мы, во-первых, должны удостовериться, что $\left\|F_{
u}-F_{0}\right\|_{q+1}$ остается достаточно малым. По индукции, используя (8.5), мы получим
\[
\left\|F_{
u}-F_{0}\right\|_{q+1} \leqslant \sum_{\mu=0}^{
u-1}\left\|F_{\mu+1}-F_{\mu}\right\|_{q+1} \lessdot \sum_{\mu=0}^{\infty} N_{\mu}^{-a} \lessdot N_{0}^{-a},
\]
а это можно сделать сколь угодно малым, потребовав, чтобы $N_{0}$ было достаточно большим. Снова применяем лемму 8.5 и сразу получаем оценку $F_{
u+1}-F_{
u}$. Остается оценить $E_{
u+1}$.
Для этого мы используем грубую индуктивную оценку
\[
\left\|F_{
u}-F_{0}\right\|_{q+s+\tau+2} \lessdot N_{
u-1}^{s},
\]
которая получается из (8.5) при $r=q+s+a$. Теперь, чтобы сделать каждую из трех компонент оценки $\left\|E_{
u+1}\right\|_{q}$ в лемме 8.5 значительно меньше, чем $N_{
u+1}^{-w}=N_{
u}^{-\kappa w}=N_{
u-1}^{-\kappa^{2} w}$, нужно, чтобы
\[
\begin{array}{c}
\kappa^{2} w<(\kappa-1) s-2 a, \\
\lambda s<(2-\kappa-\lambda) \kappa w, \\
(2-\kappa) w>2 a .
\end{array}
\]
Объединив первые два неравенства, получим
\[
\frac{\lambda s}{2-\kappa-\lambda}<\kappa w<\frac{(\kappa-1) s-2 a}{\kappa} \text {. }
\]
Вспомним из леммы 8.5 , что $\lambda=\frac{q+\tau}{s+a}$ зависит от $s$ и при $s \rightarrow \infty$ левая часть стремится к $\frac{q+\tau}{2-\kappa}$, а правая часть стремится к бесконечности. Поэтому мы можем успешно выбрать
\[
\kappa \in(1,2), \quad w>\frac{2 a}{2-\kappa}, \frac{q+\tau}{(2-\kappa) \kappa},
\]
а затем $s$ достаточно большое, чтобы все неравенства выполнялись. Наконец, выберем $N_{0}$ достаточно большим, тогда итерационная схема сходится в $H^{q+1}\left(T^{2 n}\right)$ к решению уравнения $E(F, \alpha)=0$.
Чтобы доказать гладкость решения, надо показать, что $F_{
u}$ сходится в каждом пространстве $H^{r}$. Для этого нужно получить более общие оценки
\[
\begin{array}{c}
\left\|E_{
u}\right\|_{r} \lessdot c_{r}^{
u} N_{
u}^{-w}, \\
\left\|F_{
u+1}-F_{
u}\right\|_{s+1} \lessdot c_{r}^{
u} N_{
u}^{s-r-a}, \quad s \geqslant r .
\end{array}
\]
Они аналогичны оценкам (8.4)-(8.5), где $s$ и $r$ заменяются на $r$ и $q$ соответственно и добавляется множитель $c_{r}^{
u}$. Для их доказательства показывается, во-первых, что в лемме 8.5 выполняются также более общие оценки
\[
\left\|F_{+}-F\right\|_{s+1} \lessdot N^{s-r+\tau+1}\left(\|E\|_{r}+\|F\|_{r+1}\|E\|_{q}\right)
\]
для $s \geqslant r$ и
\[
\begin{array}{l}
\left\|E\left(F_{+}, \alpha_{+}\right)\right\|_{r} \lessdot N^{-s}\left(1+\|F\|_{r+s+\tau+2}\right)+ \\
+\|F\|_{r+s+\tau+2}^{\lambda}\|E\|_{r}^{1-\lambda}\|E\|_{q}+N^{2 \tau+2}\|E\|_{r}\|E\|_{q} .
\end{array}
\]
Остальное доказывается так же, как и раньше с использованием уже установленных оценок (8.4)-(8.5). Это показывает, что последовательность $F_{
u}$ сходится в каждом пространстве $\boldsymbol{H}^{r+1}$.
Наконец, мы укажем, как доказать локальную единственность. Предположим, что существует другое решение $E\left(F^{*}, \alpha^{*}\right)=0$ в области $\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1}+\left|\alpha-\alpha^{0}\right|<\delta$. Пусть
\[
F^{*}=F+\widetilde{F}, \quad \alpha^{*}=\alpha+\widetilde{\alpha},
\]
где $E(F, \alpha)=0$. По формуле Тейлора с квадратичным остаточным членом $R_{2}(\widetilde{F}, \widetilde{\alpha})$ мы имеем
\[
E\left(F^{*}, \alpha^{*}\right)=E(F, \alpha)+E^{\prime}(F, \alpha) \widetilde{F}+E_{\alpha}(F, \alpha) \widetilde{\alpha}+R_{2},
\]
следовательно, $E^{\prime}(F, \alpha) \widetilde{F}+E_{\alpha}(F, \alpha) \widetilde{\alpha}+R_{2}=0$. Кроме того, поскольку $E(F, \alpha)=0$, мы также имеем $\left(\partial_{y} E\right) \widetilde{V}=0$ для $\widetilde{V}=F_{y}^{-1} \widetilde{F}$ и поэтому
\[
E^{\prime}(F, \alpha) \widetilde{F}+E_{\alpha}(F, \alpha) \widetilde{\alpha}+R_{2}=\left(\partial_{y} E\right) \widetilde{V} .
\]
К этому уравнению мы можем применить лемму 5.5 с $R_{2}$ вместо $E$ и получить оценку
\[
\|\widetilde{F}\|_{q-t}+|\widetilde{\alpha}| \lessdot\left\|R_{2}\right\|_{q} \lessdot\|\widetilde{F}\|_{q+1}^{2}+|\widetilde{\alpha}|^{2} .
\]
Из интерполяционных неравенств следует $\|\widetilde{F}\|_{q+1}^{2} \lessdot\|\widetilde{F}\|_{q-\tau}^{\mu}\|\widetilde{F}\|_{s}^{2-\mu}$ с $\mu=3 / 2$ и с некоторым подходящим $s$. Поскольку $\|\tilde{F}\|_{s}=\left\|F^{*}-F\right\|_{s}$ равномерно ограничено для локальных решений, используя оценки предыдущего параграфа и последнюю оценку, мы получим
\[
\|\widetilde{F}\|_{q-\tau}+\left.|\widetilde{\alpha}| \lessdot\|\widetilde{F}\|_{s}^{2-\mu}|| \widetilde{F}\right|_{q-\tau} ^{\mu}+|\widetilde{\alpha}|^{2} \lessdot\left(\|\widetilde{F}\|_{q-\tau}+|\widetilde{\alpha}|\right)^{\mu},
\]
или
\[
1 \lessdot\|\widetilde{F}\|_{q-\tau}+|\widetilde{\alpha}| \leqslant\|\widetilde{F}\|_{q+1}+|\widetilde{\alpha}| .
\]
Это показывает, что в окрестности $\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1}+\left|\alpha-\alpha^{0}\right|<\delta^{\prime}$, которая может быть выбрана меньше, чем исходная окрестность, решение уравнения $E(F, \alpha)=0$ должно быть единственно.
Благодарности. Эта работа восходит к вопросу, поднятому Громовым, о комплексном аналоге результатов работы [19] о сохранении минимальных поверхностей коразмерности 1. Автор благодарит его за интересные обсуждения этой темы. Особую благодарность автор выражает B. Бангерту (V.Bangert), который предложил свое превосходное доказательство теоремы 7.1. В ходе этой работы автор извлек много полезного из содержательных дискуссий с Д. Бернсом (D. Burns), К. Фефферманом (C.Fefferman), P.Нарасимханом (R.Narasimhan), C. Вебстером (S. Webster) и З. Й (R.Ye). За помощь в подготовке рукописи автор благодарит С. Куксина и Ю. Пёшеля. Существенное упрощение техники оценивания принадлежит Пёшелю, эти оценки включены в пятый раздел и в приложение.
