В приложении мы приведем доказательство леммы 5.5 и итерационное построение решения нелинейного уравнения (5.3), которое дает доказательство теоремы 5.1.

1. Доказательство леммы 5.3. Пусть $\lambda ={\alpha }^{r-1},\mu ={\beta }^{r-1}$, где $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=1$ и пусть
$${\sigma }_{jk}^{\prime }=\frac{\lambda |j-k{|}^s|k{|}^r+\mu |j-k{|}^r|k{|}^s}{[j{]}^r},[k]=max(|k|,1).$$

Коэффициенты $\lambda ,\mu$ выбраны так, что $(x+y{)}^r⩽\lambda x^r+\mu y^r$ для $x,y⩾0$ и $r⩾1$. Тогда по неравенству Шварца
$${\left|\sum _k{x}_k\right|}^2⩽\sum _k\frac{1}{{\sigma }_{jk}^{2r}}\sum _k{\sigma }_{jk}^{2r}{x}_k^{2r}$$

для каждого $j$. Поскольку $[j{]}^r⩽([k]+[j-k]{)}^r⩽\lambda [k{]}^r+\mu [j-k{]}^r$, мы имеем
$$\frac{1}{{\sigma }_{jk}^r}⩽\frac{\lambda [k{]}^r+\mu [j-k{]}^r}{\lambda [j-k{]}^s[k{]}^r+\mu [j-k{]}^r[k{]}^s}⩽\frac{1}{[j-k{]}^s}+\frac{1}{[k{]}^s}$$

и, таким образом,
$$\sum _k\frac{1}{{\sigma }_{jk}^{2r}}⩽\sum _k\frac{4}{[k{]}^{2s}}=4S_s^2$$

для любого $j$. Для немасштабированных соболевских норм мы получаем
$$\begin{array}{rl}\Vert \varphi \psi {\Vert }_r^2& =\sum _j[j{]}^{2r}{\left|\sum _k{\hat{\varphi }}_{j-k}{\hat{\psi }}_k\right|}^2⩽\\ & ⩽\sum _j[j{]}^{2r}\left(\sum _k\frac{1}{{\sigma }_{jk}^{2r}}\right)\left(\sum _k{\sigma }_{jk}^{2r}{\left|{\hat{\varphi }}_{j-k}\right|}^2{\left|{\hat{\psi }}_k\right|}^2\right)⩽\\ & ⩽4^2{S}_s^2\sum _{j,k}({\lambda }^2[j-k{]}^{2s}[k{]}^{2r}+{\mu }^2[j-k{]}^{2r}[k{]}^{2s}){\left|{\hat{\varphi }}_{j-k}\right|}^2{\left|{\hat{\psi }}_k\right|}^2=\\ & =4^2{S}_s^2({\lambda }^2\Vert \varphi {\Vert }_s^2\Vert \psi {\Vert }_r^2+{\mu }^2\Vert \varphi {\Vert }_r^2\Vert \psi {\Vert }_s^2).\end{array}$$

Этот результат для масштабированных соболевских норм доказывает лемму 5.3.

2. Доказательство леммы 5.4.

Лемма 8.1. Для целых $r>n$ выполнено
$$\Vert \varphi \circ u{\Vert }_r⩽c_r\Vert \varphi {\Vert }_{r+n+1}(1+\Vert u-id{\Vert }_r),$$

где $u:T^{2n}\to T^{2n}$ такое, что $u-id\in H^r\left(T^{2n}\right)$.
Эта лемма следует из неравенства (2.4) в [19] и стандартной соболевской оценки.

В дальнейшем без оговорок будем считать, что $r⩾q>n$ — целые числа. Мы будем также писать $\Vert F{\Vert }_{r+1}$ вместо ${\Vert F-F^0\Vert }_{r+1}$ для краткости. Наконец, для упрощения записи мы пишем $\Vert X\Vert ⋖.$. , если $\Vert X\Vert ⩽c(\dots )$, где константа $c$ зависит только от порядков норм, включенных в неравенство.

Напомним, что $P_u=(C(F)F_y-C^0)A_u$ для $u=1,2$, где $A_1=A$ и $A_2=\overline{A}$.
Лемма 8.2. $Если{\Vert F-F^0\Vert }_{q+1}⩽1$, то
$${\Vert P_u\Vert }_q⋖{\Vert C-C^0\Vert }_{q+n+1}+{\Vert F-F^0\Vert }_{q+1}.$$

Кроме того, ${\Vert P_u\Vert }_r⋖1+{\gamma }_r\Vert F{\Vert }_{r+1}$ для $r⩾q$, где ${\gamma }_r=\Vert C{\Vert }_{r+n+1}$.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВО.
Мы имеем $C(F)F_y-C^0=(C(F)-C^0)F_y+C^0(F_y-I)$. Поскольку $C^0$ — постоянная матрица, мы можем применить лемму 8.1. Получим
$$\begin{array}{rl}{\Vert C(F)F_y-C^0\Vert }_q& ⩽{\Vert (C-C^0)(F)\Vert }_q\Vert F{\Vert }_{q+1}+\left|C^0\right|\cdot {\Vert F-F^0\Vert }_{q+1}⋖\\ & ⋖{\Vert C-C^0\Vert }_{q+n+1}+{\Vert F-F^0\Vert }_{q+1}\cdot \end{array}$$

Вторая оценка следует из
$$\begin{array}{c}{\Vert C(F)F_y\Vert }_r⋖\Vert C(F){\Vert }_r{\Vert F_y\Vert }_q+\Vert C(F){\Vert }_q{\Vert F_y\Vert }_r⋖\\ ⋖\Vert C(F){\Vert }_r+{\gamma }_q\Vert F{\Vert }_{r+1}⋖{\gamma }_r\Vert F{\Vert }_{r+1}.\end{array}$$

Напомним, что $Q={(I+P_1)}^{-1}{P}_2$ и $G=-{(I+P_1)}^{-1}E$. В дальнейшем символ « будет означать оценку с константами, которые зависят также от норм матрицы $C$.

Лемма 8.3. Если для некоторого $q>n$ имеет место
$${\Vert P_u\Vert }_q⩽\frac{\vartheta }{1+\vartheta },u=1,2$$

то $\Vert Q{\Vert }_q⩽\vartheta$. Более того, $\Vert Q{\Vert }_r⋖1+\mid F\Vert {}_{r+1}u\Vert G\Vert {}_r⋖\Vert E\Vert {}_r+\Vert F\Vert {}_{r+1}\Vert E{\Vert }_q$ для $r⩾q$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Записывая ряды Ньюмана (Neumann) для ${(I+P_1)}^{-1}$ и используя свойство банаховой алгебры, мы получим
$${\Vert {(I+P_1)}^{-1}\Vert }_q⩽\frac{1}{1-{\Vert P_1\Vert }_q}⩽1+\vartheta ,$$

следовательно, $\Vert Q{\Vert }_q⩽(1+\vartheta ){\Vert P_2\Vert }_q⩽\vartheta$. Для общей оценки заметим, что ${\Vert {(I-P_1)}^{-1}\Vert }_r⋖1+{\Vert P_1\Vert }_r⋖1+\Vert F{\Vert }_{r+1}$ по лемме 8.1 и лемме 8.2. Следовательно,
$$\begin{array}{l}\Vert G{\Vert }_r⋖{\Vert {(I+P_1)}^{-1}\Vert }_q\Vert E{\Vert }_r+{\Vert {(I+P_1)}^{-1}\Vert }_r\Vert E{\Vert }_q⋖\\ ⋖\Vert E{\Vert }_r+(1+\Vert F{\Vert }_{r+1})\Vert E{\Vert }_q⋖\Vert E{\Vert }_r+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert E{\Vert }_q.\end{array}$$

То же самое выполняется для $\Vert Q{\Vert }_r$.

Лемма 8.4. В предположениях леммы 8.3 с константой $\vartheta ⩽\frac{1}{4}$ решение $Z$ системы (5.19) существует и удовлетворяет неравенству $\Vert Z{\Vert }_r⋖\Vert E{\Vert }_r+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert E{\Vert }_q$ для $r⩾q$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.

По лемме 5.4 и предыдущей лемме
$$\begin{array}{rl}\Vert Z{\Vert }_r& ⋖\Vert G{\Vert }_r+\Vert Q{\Vert }_r\Vert G{\Vert }_q⋖\\ & ⋖\Vert E{\Vert }_r+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert E{\Vert }_q+(1+\Vert F{\Vert }_{r+1})\Vert E{\Vert }_q⋖\\ & ⋖\Vert E{\Vert }_r+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert {E|}_q.\end{array}$$

ДоКАЗаТЕЛЬСТВо ЛЕМмЫ 5.5.
По лемме 8.2 мы можем зафиксировать $q>n+\tau$ и $\vartheta <\frac{1}{4}$ и выбрать $\delta$ настолько малым, что выполнено условие малости в лемме 8.3. Таким образом, можно применить две предыдущие леммы. Мы можем

определить $\hat{F}=F_y(V+R)$, где $R=-{\left[F_y\right]}^{-1}\left[F_{y}V\right]$. Применяя неравенство Шварца к среднему значению, получим
$$|R|⩽\left|{\left[F_y\right]}^{-1}\right|\cdot \left|\left[F_{y}V\right]\right|⩽\frac{\Vert F{\Vert }_1\Vert V{\Vert }_0}{1-{\Vert F-F^0\Vert }_1}⋖\Vert V{\Vert }_0.$$

Следовательно, $\Vert V+R{\Vert }_s⋖\Vert V{\Vert }_s$ для всех $s⩾0$. Мы уже заметили в разделе 5, что $\Vert V{\Vert }_{r-\tau }+|\hat{\alpha }|⋖\Vert Z{\Vert }_r$. Поскольку $q-\tau >n$ и $r⩾q$, мы получим
$$\begin{array}{rl}\Vert \hat{F}{\Vert }_{r-\tau }& ⋖{\Vert F_y\Vert }_{q-\tau }\Vert V+R{\Vert }_{r-\tau }+{\Vert F_y\Vert }_{r-\tau }\Vert V+R{\Vert }_{q-\tau }⋖\\ & ⋖\Vert V{\Vert }_{r-\tau }+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert V{\Vert }_{q-\tau }⋖\\ & ⋖\Vert Z{\Vert }_r+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert Z{\Vert }_q⋖\\ & ⋖\Vert E{\Vert }_r+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert E{\Vert }_q\end{array}$$

по лемме 8.4. Оценка для ${\Vert \left({\partial }_{y}E\right)V\Vert }_{r-\tau }$ доказывается аналогично.
3. Следующее приближение. Для заданных оценок для линеаризованного уравнения существуют стандартная процедура в теории малых знаменателей и обобщенные теоремы о неявной функции, которые позволяют построить решение нелинейной задачи и показать его локальную единственность. Для полноты повествования и для удобства читателя мы предложим способ действия в этом частном случае.

Для нормированного решения $\hat{F},\hat{\alpha }$ уравнения (5.21) определим следующее приближение
$$F_{+}=F+S_N\hat{F},{\alpha }_{+}=\alpha +\hat{\alpha }$$

к нулю функционала $E$, где $S_N$ определено в (5.22) и $N$ выбрано соответствующим образом.

Лемма 8.5. Если ${\Vert C-C^0\Vert }_{q+n+1}+{\Vert F-F_0\Vert }_{q+1}<\delta$, где $\delta -$ достаточно малое и $|E(F,\alpha ){\Vert }_q+|\alpha -{\alpha }^0\mid ⩽1$, то следующее приближение $F_{+},{\alpha }_{+}$является вполне определенным и удовлетворяет
$${\Vert F_{+}-F\Vert }_{r+1}⋖N^{r-q+\tau +1}\Vert E{\Vert }_q,|{\alpha }_{+}-\alpha |⋖\Vert E{\Vert }_q$$
$$\begin{array}{l}\text{ для }r⩾qu\\ \begin{array}{c}{\Vert E(F_{+},{\alpha }_{+})\Vert }_q⋖N^{-s}(1+\Vert F{\Vert }_{q+s+\tau +2})+\\ \\ +\Vert F{\Vert }_{q+s+\tau +2}^{\lambda }\Vert E{\Vert }_q^{2-\lambda }+N^{2r+2}\Vert E{\Vert }_q^2\end{array}\end{array}$$
$$\text{ для }s⩾0\text{, где }\lambda =\frac{q+\tau }{s+\tau +1}\text{. }$$

Перед тем как представить доказательство, мы соберем несколько общих оценок. Первая из них показывает, что $E$ — это смягченный (tamed) функционал, в смысле [10]: если ${\Vert F-F^0\Vert }_{q+1}+|\alpha -{\alpha }^0|⩽1$, то
$$\begin{array}{rl}\Vert E(F,\alpha ){\Vert }_r& ⋖1+\Vert F{\Vert }_{r+1},\\ {\Vert E^{\prime }(F,\alpha )(V)\Vert }_r& ⋖\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert V{\Vert }_{q+1}+\Vert V{\Vert }_{r+1},\\ {\Vert E^{\prime \prime }(F,\alpha )(V,W)\Vert }_r& ⋖\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert V{\Vert }_{q+1}\Vert W{\Vert }_{q+1}+\\ & +\Vert V{\Vert }_{q+1}\Vert W{\Vert }_{r+1}+\Vert V{\Vert }_{r+1}\Vert W{\Vert }_{q+1}\end{array}$$

для $r⩾q$. Первая оценка следует из определения, вторая — из (5.9), последняя — из стандартных вычислений.

Сглаживающий оператор $S_N$, определенный в (5.22), удовлетворяет соотношениям
$$\begin{array}{c}{\Vert S_N\varphi -\varphi \Vert }_s⩽N^{s-r}\Vert \varphi {\Vert }_r,s⩽r,\\ {\Vert S_N\varphi \Vert }_s⩽N^{s-r}\Vert \varphi {\Vert }_r,s⩾r\end{array}$$

для $N⩾1$, проверяется непосредственно. Наконец, мы имеем логарифмическую выпуклость соболевских норм:
$$\Vert \varphi {\Vert }_{\lambda r+(1-\lambda )s}⋖\Vert \varphi {\Vert }_r^{\lambda }\Vert \varphi {\Vert }_s^{1-\lambda }$$

для $r,s>n$ и $0⩽\lambda ⩽1$. Для доказательства запишем $\Vert \varphi {\Vert }_t⩽$ $⩽{\Vert \varphi -S_N\varphi \Vert }_t+{\Vert S_N\varphi \Vert }_t$, где $t=\lambda r+(1-\lambda )s$, применим сглаживающие оценки и определим минимум правой части по $N$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 8.5.
Первая оценка вытекает из (8.2) и леммы 5.5, поскольку
$${\Vert F_{+}-F\Vert }_{r+1}={\Vert S_N\hat{F}\Vert }_{r+1}⩽N^{r-q+\tau +1}\Vert \hat{F}{\Vert }_{q-r}⋖N^{r-q+\tau +1}\Vert E{\Vert }_q.$$

Используя формулу Тейлора с квадратичным остаточным членом $R_2=R_2(\hat{F},\hat{\alpha })$ и равенство (5.21), мы можем записать
$$\begin{array}{rl}E(F_{+},{\alpha }_{+})& =E(F,\alpha )+E^{\prime }(F,\alpha )\hat{F}+E_{\alpha }(F,\alpha )\hat{\alpha }+\\ & +E^{\prime }(F,\alpha )(S_N-I)\hat{F}+R_2=\\ & =E^{\prime }(F,\alpha )(S_N-I)\hat{F}+\left({\partial }_{y}E\right)V+R_2.\end{array}$$

В первом члене смягченные оценки для $E$ и (8.2) дают
$${\Vert E^{\prime }(F,\alpha )(S_N-I)\hat{F}\Vert }_q⋖{\Vert (S_N-I)\hat{F}\Vert }_{q+1}⋖N^{-s}\Vert \hat{F}{\Vert }_{q+s+1}$$

и $\Vert \hat{F}{\Vert }_{q+s+1}⋖\Vert E{\Vert }_{q+s+\tau +1}⋖1+\Vert F{\Vert }_{q+s+\tau +2}$ по лемме 5.5. Во втором члене мы имеем из леммы 5.5, где $r=q+\tau$, неравенство
$${\Vert \left({\partial }_{y}E\right)V\Vert }_q⋖\Vert E{\Vert }_{q+\tau }\Vert E{\Vert }_q+\Vert F{\Vert }_{q+\tau +1}\Vert E{\Vert }_q^2.$$

Из (8.3) и смягченных оценок вытекает
$$\begin{array}{rl}\Vert E{\Vert }_{q+\tau }& ⋖\Vert E{\Vert }_q^{1-\lambda }||E\Vert {}_{q+s+\tau +1}^{\lambda }⋖\Vert E{\Vert }_q^{1-\lambda }{(1+\Vert F{\Vert }_{q+s+\tau +2})}^{\lambda },\\ \Vert F{\Vert }_{q+\tau +1}& ⋖\Vert F{\Vert }_{q+1}^{1-\lambda }\Vert F{\Vert }_{q+s+\tau +2}^{\lambda }⋖\Vert F{\Vert }_{q+s+\tau +2}^{\lambda },\end{array}$$

здесь $\lambda$ такое же, как и в лемме. Из последних трех неравенств получаем
$${\Vert \left({\partial }_{y}E\right)V\Vert }_q⋖{(1+\Vert F{\Vert }_{q+s+\tau +2})}^{\lambda }\Vert E{\Vert }_q^{2-\lambda }.$$

Квадратичный остаточный член $R_2$ оценивается стандартным образом. Он дает третий вклад $N^{2\tau +2}\Vert E{\Vert }_q^2$ в неравенство (8.0).
4. Итерационный процесс. Мы не будем давать детальных оценок, укажем лишь как получить сходящуюся итерационную схему. Положим
$$F_{u+1}=F_u+S_{N_u}{\hat{F}}_u,{\alpha }_{u+1}={\alpha }_u+{\hat{\alpha }}_u,$$

где $F_0=F^0,{\alpha }_0={\alpha }^0$. Выберем параметры $N_0,\kappa$ и $w$ так, что $N_0\gg 1$, $1<\kappa <2,w>2\tau +2$. Положим
$$N_u=N_0^{{\kappa }^u}.$$

Покажем по индукции, что
$$\begin{array}{c}{\Vert E_u\Vert }_q⋖N_u^{-w},\\ {\Vert F_{u+1}-F_u\Vert }_{r+1}⋖N_u^{r-q-a},r⩾q,\end{array}$$

где $E_u=E(F_u,{\alpha }_u)$ и $a=\tau +1$.
Для $u=0$ мы имеем
$${\Vert E_0\Vert }_q⩽\left|{\alpha }^0\right|\cdot {\Vert C-C^0\Vert }_q.$$

Таким образом, достаточно предположить, что ${\Vert C-C^0\Vert }_q$ мало, отсюда, применяя лемму 8.5, мы получим $F_1$ вместе с оценкой $F_1-F_0$.

Чтобы продолжить итерационный процесс, мы, во-первых, должны удостовериться, что ${\Vert F_u-F_0\Vert }_{q+1}$ остается достаточно малым. По индукции, используя (8.5), мы получим
$${\Vert F_u-F_0\Vert }_{q+1}⩽\sum _{\mu =0}^{u-1}{\Vert F_{\mu +1}-F_{\mu }\Vert }_{q+1}⋖\sum _{\mu =0}^{\mathrm{\infty }}{N}_{\mu }^{-a}⋖N_0^{-a},$$

а это можно сделать сколь угодно малым, потребовав, чтобы $N_0$ было достаточно большим. Снова применяем лемму 8.5 и сразу получаем оценку $F_{u+1}-F_u$. Остается оценить $E_{u+1}$.
Для этого мы используем грубую индуктивную оценку
$${\Vert F_u-F_0\Vert }_{q+s+\tau +2}⋖N_{u-1}^s,$$

которая получается из (8.5) при $r=q+s+a$. Теперь, чтобы сделать каждую из трех компонент оценки ${\Vert E_{u+1}\Vert }_q$ в лемме 8.5 значительно меньше, чем $N_{u+1}^{-w}=N_u^{-\kappa w}=N_{u-1}^{-{\kappa }^{2}w}$, нужно, чтобы
$$\begin{array}{c}{\kappa }^{2}w<(\kappa -1)s-2a,\\ \lambda s<(2-\kappa -\lambda )\kappa w,\\ (2-\kappa )w>2a.\end{array}$$

Объединив первые два неравенства, получим
$$\frac{\lambda s}{2-\kappa -\lambda }<\kappa w<\frac{(\kappa -1)s-2a}{\kappa }\text{. }$$

Вспомним из леммы 8.5 , что $\lambda =\frac{q+\tau }{s+a}$ зависит от $s$ и при $s\to \mathrm{\infty }$ левая часть стремится к $\frac{q+\tau }{2-\kappa }$, а правая часть стремится к бесконечности. Поэтому мы можем успешно выбрать
$$\kappa \in (1,2),w>\frac{2a}{2-\kappa },\frac{q+\tau }{(2-\kappa )\kappa },$$

а затем $s$ достаточно большое, чтобы все неравенства выполнялись. Наконец, выберем $N_0$ достаточно большим, тогда итерационная схема сходится в $H^{q+1}\left(T^{2n}\right)$ к решению уравнения $E(F,\alpha )=0$.

Чтобы доказать гладкость решения, надо показать, что $F_u$ сходится в каждом пространстве $H^r$. Для этого нужно получить более общие оценки
$$\begin{array}{c}{\Vert E_u\Vert }_r⋖c_r^u{N}_u^{-w},\\ {\Vert F_{u+1}-F_u\Vert }_{s+1}⋖c_r^u{N}_u^{s-r-a},s⩾r.\end{array}$$

Они аналогичны оценкам (8.4)-(8.5), где $s$ и $r$ заменяются на $r$ и $q$ соответственно и добавляется множитель $c_r^u$. Для их доказательства показывается, во-первых, что в лемме 8.5 выполняются также более общие оценки
$${\Vert F_{+}-F\Vert }_{s+1}⋖N^{s-r+\tau +1}(\Vert E{\Vert }_r+\Vert F{\Vert }_{r+1}\Vert E{\Vert }_q)$$

для $s⩾r$ и
$$\begin{array}{l}{\Vert E(F_{+},{\alpha }_{+})\Vert }_r⋖N^{-s}(1+\Vert F{\Vert }_{r+s+\tau +2})+\\ +\Vert F{\Vert }_{r+s+\tau +2}^{\lambda }\Vert E{\Vert }_r^{1-\lambda }\Vert E{\Vert }_q+N^{2\tau +2}\Vert E{\Vert }_r\Vert E{\Vert }_q.\end{array}$$

Остальное доказывается так же, как и раньше с использованием уже установленных оценок (8.4)-(8.5). Это показывает, что последовательность $F_u$ сходится в каждом пространстве ${\mathit{H}}^{r+1}$.

Наконец, мы укажем, как доказать локальную единственность. Предположим, что существует другое решение $E(F^{\ast },{\alpha }^{\ast })=0$ в области ${\Vert F-F^0\Vert }_{q+1}+|\alpha -{\alpha }^0|<\delta$. Пусть
$$F^{\ast }=F+\tilde{F},{\alpha }^{\ast }=\alpha +\tilde{\alpha },$$

где $E(F,\alpha )=0$. По формуле Тейлора с квадратичным остаточным членом $R_2(\tilde{F},\tilde{\alpha })$ мы имеем
$$E(F^{\ast },{\alpha }^{\ast })=E(F,\alpha )+E^{\prime }(F,\alpha )\tilde{F}+E_{\alpha }(F,\alpha )\tilde{\alpha }+R_2,$$

следовательно, $E^{\prime }(F,\alpha )\tilde{F}+E_{\alpha }(F,\alpha )\tilde{\alpha }+R_2=0$. Кроме того, поскольку $E(F,\alpha )=0$, мы также имеем $\left({\partial }_{y}E\right)\tilde{V}=0$ для $\tilde{V}=F_y^{-1}\tilde{F}$ и поэтому
$$E^{\prime }(F,\alpha )\tilde{F}+E_{\alpha }(F,\alpha )\tilde{\alpha }+R_2=\left({\partial }_{y}E\right)\tilde{V}.$$

К этому уравнению мы можем применить лемму 5.5 с $R_2$ вместо $E$ и получить оценку
$$\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q-t}+|\tilde{\alpha }|⋖{\Vert R_2\Vert }_q⋖\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q+1}^2+|\tilde{\alpha }{|}^2.$$

Из интерполяционных неравенств следует $\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q+1}^2⋖\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q-\tau }^{\mu }\Vert \tilde{F}{\Vert }_s^{2-\mu }$ с $\mu =3/2$ и с некоторым подходящим $s$. Поскольку $\Vert \tilde{F}{\Vert }_s={\Vert F^{\ast }-F\Vert }_s$ равномерно ограничено для локальных решений, используя оценки предыдущего параграфа и последнюю оценку, мы получим
$$\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q-\tau }+{|\tilde{\alpha }|⋖\Vert \tilde{F}{\Vert }_s^{2-\mu }||\tilde{F}|}_{q-\tau }^{\mu }+|\tilde{\alpha }{|}^2⋖{(\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q-\tau }+|\tilde{\alpha }|)}^{\mu },$$

или
$$1⋖\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q-\tau }+|\tilde{\alpha }|⩽\Vert \tilde{F}{\Vert }_{q+1}+|\tilde{\alpha }|.$$

Это показывает, что в окрестности ${\Vert F-F^0\Vert }_{q+1}+|\alpha -{\alpha }^0|<{\delta }^{\prime }$, которая может быть выбрана меньше, чем исходная окрестность, решение уравнения $E(F,\alpha )=0$ должно быть единственно.

Благодарности. Эта работа восходит к вопросу, поднятому Громовым, о комплексном аналоге результатов работы [19] о сохранении минимальных поверхностей коразмерности 1. Автор благодарит его за интересные обсуждения этой темы. Особую благодарность автор выражает B. Бангерту (V.Bangert), который предложил свое превосходное доказательство теоремы 7.1. В ходе этой работы автор извлек много полезного из содержательных дискуссий с Д. Бернсом (D. Burns), К. Фефферманом (C.Fefferman), P.Нарасимханом (R.Narasimhan), C. Вебстером (S. Webster) и З. Й (R.Ye). За помощь в подготовке рукописи автор благодарит С. Куксина и Ю. Пёшеля. Существенное упрощение техники оценивания принадлежит Пёшелю, эти оценки включены в пятый раздел и в приложение.