1. Метод. Доказательство теоремы из введения будет основано на быстро сходящемся итерационном методе, который обычно применяют для задач, содержащих «малые знаменатели». Используются решения линеаризованных уравнений, полученных при помощи аппроксимации. Эти уравнения образуют эллиптическую систему с переменными коэффициентами. Здесь обычно появляются трудности для проблемы малых знаменателей. В нашем случае эти трудности можно преодолеть благодаря специальной структуре уравнений. Здесь существует определенное сходство с уравнением Бельтрами, однако наша система содержит еще и малые знаменатели. После приведения уравнения к удобному виду, мы покажем, как его можно решить. Мы описали шаги доказательства. Этого должно быть достаточно, чтобы понять доказательство любому, знакомому с этой техникой. Детальные оценки будут приведены в приложении.

Эту проблему можно поставить в виде «сопряженной задачи» в смысле [19]: нужно определить диффеоморфизм, который переводит неизвестную кривую или слоение соответственно в комплексную прямую или в слоение с постоянными коэффициентами. Для этой цели хорошо подходят идеи работы [19], и они могут быть использованы в доказательстве. В этой задаче нужно вводить дополнительные параметры для того, чтобы учитывать изменение асимптотического направления $\alpha$ неизвестной кривой.
2. Аналитическая формулировка. Нас интересуют почти комплексные структуры $J=J(x)$, близкие к интегрируемой структуре $J^{0}$ с постоянными коэффициентами. Запишем уравнения в терминах базиса $(2.2)$ в $E^{*}$, заданного при помощи матрицы $C=C(x)$, близкой к постоянной матрице $C^{0}$.

Вернемся к теореме из раздела 1, п. 5. Мы ищем голоморфную кривую $x=f(\zeta)$, вида
\[
f(\zeta)=F(\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta})
\]

где
\[
F=F(y)=y+P(y) ; \quad P \in C^{\infty}\left(T^{2 n}\right) .
\]

Дифференциальное уравнение для $f$, заданное формулой (1.16), переходит в систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
C(F) \bar{D}_{\alpha} F=0 \\
D_{\alpha}=\sum_{
u=1}^{2 n} \alpha_{
u} \partial_{y_{
u}}, \quad \bar{D}_{\alpha}=\sum \bar{\alpha}_{
u} \partial_{y_{
u}} .
\end{array}\right.
\]

Таким образом, $D_{\alpha}$ и $\bar{D}_{\alpha}$ – коммутирующие операторы, определяющие слоение. Любое решение $F=F(y)$ системы (5.3) такое, что $F-y \in$ $\in C^{\infty}\left(T^{2 n}, \mathbb{R}^{2 n}\right)$, приводит к голоморфной кривой (5.1).

В такой постановке не только $F$, но и $\alpha$ должно быть определено. Для невозмущенного состояния $C=C^{0}$ мы начнем с решения
\[
\left\{\begin{array}{l}
F^{0}=y ; \quad f=\alpha^{0} \zeta+\bar{\alpha}^{0} \bar{\zeta} \\
C^{0} \bar{\alpha}^{0}=0 .
\end{array}\right.
\]

Здесь предполагается, что $\alpha^{0}$ удовлетворяет диофантову условию.
Используя теорему 4.1, мы можем найти параметризацию так, чтобы $\operatorname{Re} \alpha^{0}$ удовлетворяла диофантову условию. Предположим, что мы выбрали $\alpha^{0}$ так, что
\[
\left|\operatorname{Re}\left(j, \alpha^{0}\right)\right| \geqslant c_{0}^{-1}|j|^{-\tau} .
\]

В этом случае мы можем потребовать, чтобы для возмущенного $\alpha$ выполнялось
\[
\operatorname{Re} \alpha=\operatorname{Re} \alpha^{0}
\]

так, чтобы $\alpha$ и $\alpha^{0}$ различались только по мнимой части. Тогда для $\alpha$ также выполнено условие (5.5), а значит и (4.5). С другой стороны, мнимая часть $\alpha$ обеспечивает достаточное количество параметров для разрешимости уравнений (5.3). Этот предварительный шаг значительно

облегчает доказательство. Фиксируя здесь $\operatorname{Re} f_{\zeta}$, мы тем самым задаем граничное условие на бесконечности.

Заметим, что если $F=F(y), \alpha$ – это решение, то $F(y+c), \alpha$, где $c \in \mathbb{R}^{2 n}$, – это также решение. Для того чтобы однозначно определить решение, потребуем, чтобы периодическая функция $F(y)-y$ имела среднее значение, равное нулю. Среднее значение будем обозначать через [ ], т.е.
\[
\left[F-F^{0}\right]=0
\]
3. Утверждение. Задача сводится, таким образом, к нахождению решения $F, \alpha$ системы (5.3).

Теорема 5.1. Рассмотрим постоянную матрицу $C^{0}$ и $\alpha^{0} \in \mathbb{C}^{2 n}$ такие, что выполнены условия (5.4) и (5.5). Тогда существуют (достаточно большое) натуральное число $\ell$ и для любого $\varepsilon>0$ положительное $\delta=\delta(\varepsilon, \ell)$ такие, что для любой матрицы $C \in C^{\infty}\left(T^{2 n}\right)$
\[
\left\|C-C^{0}\right\|_{\ell}<\delta
\]
(в норме Соболева, определенной равенством (4.8)) система (5.3) обладает гладким решением $F, \alpha$ таким, что $F-F^{0} \in C^{\infty}\left(T^{2 n}\right) u$
\[
\left|\alpha-\alpha^{0}\right|+\left|F-F^{0}\right|_{C^{1}}<\varepsilon .
\]

Далее, $F$ и $\alpha$ удовлетворяют условиям нормализации
\[
\left\{\begin{array}{l}
{\left[F-F^{0} \cdot=0,\right.} \\
\operatorname{Re}\left(\alpha-\alpha^{0}\right)=0 .
\end{array}\right.
\]

Кроме того, решение $F, \alpha$, нормализованное таким образом, определяется однозначно и непрерывно зависит от параметров.

4. Линеаризованные уравнения. Рассмотрим функционал
\[
E(F, \alpha)=C(F) \bar{D}_{\alpha} F,
\]

для которого мы будем искать нули в соответствующем функциональном пространстве. Сперва мы действуем формально, предполагаем, что $F, \alpha$ представляет приближенное решение, т. е. $\|E(F, \alpha)\|$ мало в некоторой норме. Мы стремимся построить лучшую аппроксимацию $F+$ $+\widehat{F}, \alpha+\widehat{\alpha}$, где $\widehat{F} \in C^{\infty}\left(T^{2 n}, \mathbb{R}^{2 n}\right),[\widehat{F}]=0, i \widehat{\alpha} \in \mathbb{R}^{2 n}$ в силу нормализации (5.7). Мы будем использовать модифицированный метод Ньютона,

чтобы определить поправку $\widehat{F}, \widehat{\alpha}$. В методе Ньютона требуется, чтобы
\[
E^{\prime}(F, \alpha) \widehat{F}+E_{\alpha}(F, \alpha) \widehat{\alpha}+E(F, \alpha)=0,
\]

где
\[
\left\{\begin{array}{l}
E^{\prime}(F, \alpha) \widehat{F}=C(F) \bar{D}_{\alpha} \widehat{F}+\sum_{
u} \widehat{F}_{
u} C_{x_{
u}}(F) \bar{D}_{\alpha} F \\
E_{\alpha}(F, \alpha) \widehat{\alpha}=C(F) F_{y} \overline{\widehat{\alpha}} .
\end{array}\right.
\]

Здесь нижний индекс $y$ обозначает частную производную по $y$.
Мы модифицируем эти уравнения, используя метод «вариации постоянных». Для этого заметим, что функционал $E(F, \alpha)$ не зависит явно от $y$, т.е. он коммутирует с $y$-сдвигами. Поэтому дифференцирование по $y$ дает
\[
\partial_{y} E(F, \alpha)=C(F) \bar{D}_{\alpha} F_{y}+\left\{\left(\sum_{\mu} F_{\mu y} \partial_{x_{\mu}}\right) C(F)\right\} \bar{D}_{\alpha} F .
\]

Следовательно, если мы предположим, что $F_{y}$ близко к тождественному отображению, и представим неизвестную $\widehat{F}$ в виде
\[
\hat{F}=F_{y} V ; \quad V \in C^{\infty}\left(T^{2 n}, \mathbb{R}^{2 n}\right),
\]

то мы получим тождество
\[
E^{\prime}(F, \alpha)\left(F_{y} V\right)-\left(\partial_{y} E(F, \alpha)\right) V=\left(C(F) F_{y}\right) \bar{D}_{\alpha} V .
\]

Отбросив член $\left(\partial_{y} E\right) \cdot V$ второго порядка малости, мы заменим (5.8) модифицированным линеаризованным уравнением
\[
\left(C(F) F_{y}\right)\left(\bar{D}_{\alpha} V+\overline{\widehat{\alpha}}\right)=-E(F, \alpha) .
\]

Заметим, что для однородного уравнения, т.е. когда $E=0$, мы найдем по теореме $4.2 \mathrm{~V}=\mathrm{const}, \widehat{\alpha}=0$, что и требовалось на этом шаге.
5. Комплексная форма уравнения 5.12. Чтобы решить систему (5.12), мы будем предполагать относительно постоянной $C^{0}$, что из неравенств
\[
\left|F_{y}-I\right|<\delta, \quad\left|C-C^{0}\right|<\delta
\]

для некоторого малого $\delta$ следует, что
\[
\left|C(F) F_{y}-C^{0}\right|=O(\delta) .
\]

Вспоминая, что $\widehat{\alpha}=i \widehat{\sigma} ;\left(\widehat{\sigma} \in \mathbb{R}^{2 n}\right)$ – чисто мнимое число, мы выразим $V, \widehat{\alpha}$ через комплексные величины
\[
\left\{\begin{array}{l}
W=C^{0} V \in C^{\infty}\left(T^{2 n}, \mathbb{C}^{n}\right), \\
\kappa=C^{0} \widehat{\alpha}=i C^{0} \widehat{\sigma} \in \mathbb{C}^{n} .
\end{array}\right.
\]

Заметим, что $C^{0}$ определяет обратимое отображение из $\mathbb{R}^{2 n}$ в $\mathbb{C}^{n}$ так, что $\widehat{\sigma}$ однозначно восстанавливается по $\kappa$.
Используя формулу (2.6\”), мы получим
\[
\left\{\begin{array}{l}
V=A W+\overline{A W} \\
\widehat{\alpha}=A \kappa-\bar{A} \bar{\kappa}
\end{array} \quad A=\left(B^{0}\right)^{T}\right.
\]

и
\[
\bar{D}_{\alpha} V+\overline{\widehat{\alpha}}=A\left(\bar{D}_{\alpha} W-\kappa\right)+\bar{A}\left(\overline{D_{\alpha} W+\kappa}\right) .
\]

Подставляя это в (5.12), мы найдем
\[
\left(I+P_{1}(y)\right)\left(\bar{D}_{\alpha} W-\kappa\right)+P_{2}(y)\left(\overline{D_{\alpha} W+\kappa}\right)=-E(F, \alpha),
\]

где $P_{1}=\left(C(F) F_{y}-C^{0}\right) A$ и $P_{2}=\left(C(F) F_{y}-C^{0}\right) \bar{A}$, следовательно, $\left|P_{i}\right|=O(\delta), i=1,2$. Умножая на $\left(I+P_{1}\right)^{-1}$, мы получим уравнение
\[
\left(\bar{D}_{\alpha} W-\kappa\right)+Q\left(\overline{D_{\alpha} W+\kappa}\right)=G,
\]

где $Q=\left(I+P_{1}\right)^{-1} P_{2}, G=-\left(I+P_{1}\right)^{-1} E$. Здесь $Q(y)-$ комплексная $(n \times n)$-матрица, $|Q(y)|=O(\delta)$ и $G \in C^{\infty}\left(T^{2 n}, \mathbb{C}^{n}\right)$. Мы будем решать линеаризованное уравнение, записанное в такой форме.
6. Сингулярный оператор $U$ (преобразование Гильберта). Перед тем как решать уравнение (5.15), отметим его сходство с неоднородным уравнением Бельтрами
\[
\bar{\partial}_{\zeta} u=\mu \partial_{\zeta} u+g, \quad|\mu|<1
\]
(см., например, [1], [17]). Здесь операторы $D_{\alpha}, \bar{D}_{\alpha}$ отвечают операторам $\partial_{\zeta}, \bar{\partial}_{\zeta}$ соответственно. В этой теории ключевым моментом является использование сингулярного интегрального оператора
\[
H f=-\frac{1}{\pi} \iint \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta d \eta,
\]

который отображает $\bar{\partial}_{\zeta} u$ в $\partial_{\zeta} u$. Этот оператор называется преобразованием Гильберта. Это ограниченный оператор в $L^{p}, 1<p<\infty$. Нам понадобятся только простые $L^{2}$-оценки в норме Соболева.

В нашем случае мы определим аналогичный оператор $U$, переводящий $\bar{D}_{\alpha} \varphi-\kappa$ в $D_{\alpha} \varphi+\kappa$. Мы представим $U$ в терминах ряда Фурье: если
\[
\varphi=\sum_{j \in \mathbb{Z}^{2 n}} \widehat{\varphi}_{j} e^{2 \pi i(j, x)},
\]

то положим
\[
\left\{\begin{array}{l}
U \varphi=\sum \mu_{j} \widehat{\varphi}_{j} e^{2 \pi i(j, x)}, \\
\mu_{j}=\frac{(j, \alpha)}{(j, \bar{\alpha})} \quad \text { для } \quad j
eq 0, \mu_{0}=-1 .
\end{array}\right.
\]

Тогда, очевидно,
\[
U\left(\bar{D}_{\alpha} \varphi-\kappa\right)=D_{\alpha} \varphi+\kappa .
\]

Лемма 5.2. Пусть $H^{r}\left(T^{2 n}\right)$ означает пространство Соболева, полученное как замыкание множестеа гладких $\mathbb{Z}^{2 n}$-периодических функций в норме $\|\cdot\|_{r}$, определенной в (4.8). Тогда оператор
\[
U: H^{r}\left(T^{2 n}\right) \rightarrow H^{r}\left(T^{2 n}\right)
\]

является унитарным для всех действительных значений $r$.
Доказательство очевидно и просто вытекает из $\left|\mu_{i}\right|=1$. Здесь требуется только рациональная независимость $\alpha_{
u}$, а не диофантово условие.

С помощью этого простого факта затруднительно решить уравнение (5.15). Мы введем антилинейный оператор
\[
T \varphi=\overline{U \varphi},
\]

который также сохраняет форму. Тогда систему (5.15) можно переписать в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
\bar{D}_{\alpha} W-\kappa=Z \\
Z+Q T Z=G
\end{array}\right.
\]

с неизвестным комплексным $n$-вектором $Z$.
7. Решение линеаризованного уравнения. В дальнейшем мы используем масштабированные нормы Соболева
\[
\|\phi\|_{r}^{2}=4^{r+2} S_{r}^{2}\left(\left|\widehat{\phi}_{0}\right|^{2}+\sum_{j
eq 0}|\widehat{\phi} j|^{2}|j|^{2 r}\right), \quad S_{r}^{2}=1+\sum_{j
eq 0} \frac{1}{|j|^{2 r}}<\infty
\]

для $r>n$. Тогда имеет место следующее свойство банаховой алгебры, которое мы докажем в приложении.

Лемма 5.3. Для действительных $r \geqslant s>n u \alpha, \beta>1$ таких, что $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$, выполняется неравенство
\[
\|\phi \psi\|_{r} \leqslant \frac{\alpha^{r-1}}{2^{s}}\|\phi\|_{s}\|\psi\|_{r}+\frac{\beta^{r-1}}{2^{s}}\|\phi\|_{r}\|\psi\|_{s} .
\]

В частности, $\|\phi \psi\|_{r} \leqslant\|\phi\|_{s}\|\psi\|_{r}+c_{r}\|\phi\|_{r}\|\psi\|_{s} u\|\phi \psi\|_{r} \leqslant\|\phi\|_{r}\|\psi\|_{r}$.
Теперь мы решаем уравнение $Z+Q T Z=G$.
Лемма 5.4. Если $Q, G \in C^{\infty}\left(T^{2 n}\right) u$
\[
\|Q\|_{q} \leqslant \vartheta \leqslant \frac{1}{4}
\]

для некоторого $q>n$, то уравнение $Z+Q T Z=G$ имеет единственное решение $Z \in C^{\infty}\left(T^{2 n}\right)$ u
\[
\|Z\|_{r} \leqslant c_{r}\left(\|G\|_{r}+\|Q\|_{r}\|G\|_{q}\right)
\]

для всех $r \geqslant q$.
Здесь существенно то, что условие малости не зависит от $r$, а зависит только от фиксированной нормы $\|Q\|_{q}$. В противном случае мы бы не могли утверждать, что решение $Z$ является гладким.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВо ЛЕМмЫ 5.4.
По свойству банаховой алгебры
\[
\|Q T Z\|_{q} \leqslant\|Q\|_{q}\|T Z\|_{q} \leqslant \vartheta\|Z\|_{q} .
\]

Следовательно, $Q T$ является сжимающим отображением в $H^{q}\left(T^{2 n}\right)$, и существует единственное решение $Z$ уравнения $Z+Q T Z=G$ в этом пространстве такое, что $\|Z\|_{q} \leqslant 2\|G\|_{q}$. Для $r>q$ выберем $\alpha$ так, чтобы $\alpha^{r-1}=2^{q}$ и пусть $b=(\alpha-1)^{-(r+1)}$. Тогда
\[
\|Q T Z\|_{r} \leqslant\|Q\|_{q}\|T Z\|_{r}+b\|Q\|_{r}\|T Z\|_{q} \leqslant \vartheta\|Z\|_{r}+b\|Q\|_{r}\|Z\|_{q}
\]

и
\[
\|Q T Z\|_{r}+\lambda\|Q T Z\|_{q} \leqslant \vartheta\left\|\left.Z\right|_{r}+\left(\lambda^{-1} b\|Q\|_{r}+\vartheta\right) \lambda\right\| Z \|_{q} .
\]

Отсюда следует, что $Q T$ является сжимающим отображением и для эквивалентной нормы $\|Z\|_{r}^{\sim}=\|Z\|_{r}+\lambda\|Z\|_{q}$, если мы выберем $\lambda=4 b\|Q\|_{r}$. Следовательно, $Z$ принадлежит также и $H^{r}\left(T^{2 n}\right)$ для каждого $r>q$ и $\|Z\|_{r}^{\sim} \leqslant 2\|G\|_{r}^{\sim}$, откуда вытекает заключительная оценка.

По теореме 4.2 найдем теперь единственное решение $W, \kappa$ уравнения $\bar{D}_{\alpha} W-\kappa=Z$ такое, что $[W]=0$ и $\|W\|_{r-\tau}+|\kappa| \leqslant c_{r}\|Z\|_{r}$. Оно, в свою очередь, по формуле (5.14) определяет решение $V, \widehat{\alpha}$ уравнения (5.12) такое, что $[V]=0$ и
\[
\|V\|_{r-\tau}+|\bar{\alpha}| \leqslant c_{r}\|Z\|_{r} .
\]

Конечно, мы можем добавить к $V$ постоянный действительный вектор $R$ так, чтобы функция
\[
\widehat{F}=F_{y}(V+R)
\]

имела нулевое среднее значение. Из соотношений (5.9), (5.11) и (5.12) следует, что определенные таким образом $\widehat{F}$ и $\widehat{\alpha}$ являются решениями уравнения
\[
E(F, \alpha)+E^{\prime}(F, \alpha) \widehat{F}+E_{\alpha}(F, \alpha) \widehat{\alpha}=\left(\partial_{y} E\right) V .
\]

Окончательные оценки (которые будут доказаны в приложении) получились такими.

Лемма 5.5. Если $\left\|C-C^{0}\right\|_{q+n+1}+\left\|F-F^{0}\right\|_{q+1}<\delta$, где $\delta$ является достаточно малым для некоторого заданного $q>n+\tau$, то уравнение (5.21) имеет единственное гадкое решение $\widehat{F}, \widehat{\alpha}, V,[\widehat{F}]=0$, $[V]=0$, которое удовлетворяет условиям
\[
\begin{array}{l}
\|\widehat{F}\|_{r-\tau}+|\widehat{\alpha}| \leqslant c_{r}\left(\|E\|_{r}+\|F\|_{r+1}\|E\|_{q}\right) \\
\left\|\left(\partial_{y} E\right) V\right\|_{r-\tau} \leqslant c_{r}\left(\|E\|_{r}\|E\|_{q}+\|F\|_{r+1}\|E\|_{q}^{2}\right)
\end{array}
\]

для всех $r \geqslant q$. Здесь $\widehat{F}$ и связаны соотношением (5.20).

8. Итерационный процесс. Решение для $E(F, \alpha)$ строится теперь при помощи последовательных приближений $F^{
u}, \alpha^{
u},
u=0,1, \ldots$ Положим $F^{0}(y)=y$, и пусть $\alpha^{0}$ задано; определим $F^{
u}, \alpha^{
u}$ индуктивно. Для этого нам понадобится сглаживающий оператор $S_{N}, N \in \mathbb{N}$, который мы просто определим как срезку
\[
S_{N} \varphi=\sum_{|j| \leqslant N} \widehat{\varphi}_{j} e^{2 \pi i(j, x)},
\]

здесь мы воспользовались (5.16). Затем мы определим
\[
F^{
u+1}-F^{
u}=S_{N_{
u}} \widehat{F}, \quad \alpha^{
u+1}-\alpha^{
u}=\widehat{\alpha} .
\]

Здесь $\widehat{F}, \widehat{\alpha}$ – это решение уравнения (5.21), в котором вместо $F, \alpha$ надо написать $F^{
u}, \alpha^{
u}$, а $V$ заменить в соответствие с формулой (5.20).

Проверка того, что этот итерационный процесс сходится, проводится достаточно громоздко, но стандартно. Нужно выбрать соответствующую последовательность $N_{
u}$ и проверить, что $\left|F^{
u}-F^{0}\right|_{C^{1}}$ остается достаточно малым для всех $
u$, поскольку это требуется при решении уравнения (5.21). Детали будут приведены в приложении.