1. Как и в предыдущем разделе, мы рассматриваем комплексные структуры, заданные постоянными матрицами $J$, и фиксируем решетку $\mathbb{Z}^{2 n}$ в $\mathbb{R}^{2 n}$. Нас интересуют комплексные прямые $L$, проекции $p(L)$ которых плотны в $T^{2 n}$ или, что эквивалентно, для которых
\[
L+\mathbb{Z}^{2 n} \quad \text { плотно в } \mathbb{R}^{2 n} .
\]

Лемма 4.1. Проекиия $p(L)$ является плотной тогда и только тогда, когда
\[
L^{\perp} \cap \mathbb{Z}^{2 n}=(0),
\]

или, что эквивалентно, когда в представлении (3.1)
\[
(j, \alpha)
eq 0 \quad \text { для всех } \quad j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0) .
\]

Очевидно, что это условие является необходимым. Действительно, если $j \in L^{\perp} \cap \mathbb{Z}^{2 n}, j
eq 0$, то $p(L)$ лежит в рациональном подторе $(j, x)=0(\bmod 1)$ в $T^{2 n}$ и поэтому не может быть плотным. Достаточность доказывается стандартными рассуждениями, как для кронекеровского потока. Более сильное утверждение состоит в том, что из условия (4.3) следует равнораспределение (в смысле Вейля (Weyl)) проекции $p(L)$ в $T^{2 n}$. Это означает, что для
\[
x=f(\zeta)=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}, \quad \zeta=\xi+i \eta
\]

и для любой $\mathbb{Z}^{2 n}$-периодичной функции $\varphi$ среднее значение
\[
M(\varphi)=\lim _{R \rightarrow \infty} \frac{1}{\pi R^{2}} \iint_{|\zeta|<R} \varphi(x+f(\zeta)) d \xi d \eta
\]

существует и равно пространственному среднему $\varphi_{0}=\int_{T^{2 n}}^{0} \varphi(x) d x$ при условии, что выполнено (4.3). На самом деле, утверждение справедливо для интегрируемых по Риману функций, в частности, для характеристических функций открытых множеств. Отсюда, естественно, следует плотность проекции $p(L)$. Чтобы доказать указанную формулу, можно использовать разложение Фурье и тот факт, что
\[
M\left(e^{2 \pi i((j, \alpha) \zeta+(j, \bar{\alpha}) \bar{\zeta})}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
1, & \text { если } & (j, \alpha)=0, \\
0, & \text { если } & (j, \alpha)
eq 0 .
\end{array}\right.
\]

По предположению (4.3) только элемент с $j=0$ дает вклад.
2. Для плотной проекции $p(L)$ ее конформный тип может быть только $\mathbb{C}$ или $\mathbb{C}^{*}$, поскольку компактный случай исключается. Тем не менее, возможен случай $r(L)=1$, т.е. $p(L)$ является плотным цилиндром. Так же легко найти $\mathbb{C}$-вложенин (т.е. $r(L)=0$ ), которые не являются плотными.

В связи с этим мы хотим напомнить, что для любой заданной 2 -плоскости в $\mathbb{R}^{2 n}$ можно построить комплексную структуру $J$ такую, что плоскость $L$ будет $J$-голоморфной. Для этого достаточно просто дополнить базис $v_{1}, v_{2}$ в $L$ до базиса $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{2 n}$ в $\mathbb{R}^{2 n}$. Если мы определим $J$ равенствами
\[
J v_{2 j-1}=v_{2 j}, \quad J v_{2 j}=-v_{2 j-1}
\]

для $j=1,2, \ldots, n$, то ясно, что $L$ будет инвариантна относительно $J$ и $J^{2}=-I$.

3. Для дальнейших целей мы заменим условия (4.3) на диофантово условие, а именно, будем требовать, чтобы для некоторых положительных констант $c_{0}, \tau$ выполнялись неравенства
\[
|(j, \alpha)| \geqslant c_{0}^{-1}|j|^{-\tau} \quad \text { для всех } \quad j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0) .
\]

Очевидно, это условие не зависит от параметризации и сводится к геометрическому расположению плоскости $L$.
Нам также понадобится более строгое условие
\[
|\operatorname{Re}(j, \alpha)| \geqslant c_{1}^{-1}|j|^{-\sigma} \quad \text { для всех } \quad j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0)
\]

для некоторых $c_{1}, \sigma>0$. Очевидно, что из условия (4.6) следует (4.5) для $c_{1}=c_{0}, \sigma=\tau$. Заметим, что условие (4.6) – это не свойство плоскости $L$, оно зависит еще и от параметризации. Отсюда следует, к примеру, что образ действительной оси $\operatorname{Im} \zeta=0$ проектируется плотно на $T^{2 n}$. Тем не менее, стоит отметить, что для подходящей параметризации из (4.5) следует (4.6). А именно, имеет место

Теорема 4.1. Если $\alpha$ удовлетворяет условию (4.5), то существует константа $\lambda \in \mathbb{C},|\lambda|=1$ такая, что
\[
|\operatorname{Re} \lambda(j, \alpha)| \geqslant \varepsilon|j|^{-\sigma} \quad \text { для всех } \quad j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0)
\]

для всякого $\sigma>\tau+2 n$ и некоторой константы $\varepsilon>0$, не зависящей om $j$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО.

Покажем, что угловая мера $d \theta$ числа $\lambda=e^{i \theta}$, для которого условия (4.7) нарушаются при некотором $j$, является малой порядка $\varepsilon$, поэтому любое $\lambda$ из дополнения удовлетворяет условию (4.7) для всех $j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0)$.
Из неравенства
\[
|\operatorname{Re} \lambda(j, \alpha)|<\varepsilon|j|^{-\sigma}
\]

и условия (4.5) следует
\[
\left|\frac{\operatorname{Re} \lambda(j, \alpha)}{(j, \alpha)}\right|<c_{0} \varepsilon|j|^{-\sigma+\tau} .
\]

Для $c_{0} \varepsilon<\frac{1}{2}$ и заданного $j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0)$ это неравенство определяет пару интервалов (объединение которых мы назовем $I_{j}$ ) меры
\[
\left|I_{j}\right|<\pi c_{0} \varepsilon|j|^{-\sigma+\tau}
\]

относительно $d \theta$. Упорядочив узловые точки $j$ решетки отношением $\max _{
u}\left|j_{
u}\right|=N=1,2, \ldots$ и заметив, что число таких точек есть $O\left(N^{2 n-1}\right)$, мы получим, что
\[
\sum_{j
eq 0}\left|I_{j}\right|<c_{2} \varepsilon \sum_{N=1}^{\infty} N^{-\sigma+\tau+2 n-1}
\]

для некоторой константы $c_{2}$. Для $\sigma>\tau+2 n$ этот ряд сходится, и сумму ряда можно сделать меньшей, чем $2 \pi$. Таким образом, дополнение $S^{1} \backslash \bigcup_{j} I_{j}$ имеет положительную меру, это доказывает утверждение.

4. Диофантово условие (4.5) требуется, когда речь идет о комплексном векторном поле
\[
D_{\alpha}=\sum_{
u=1}^{2 n} \alpha_{
u} \partial_{x_{
u}},
\]

которое порождает $E \cap L$ в разложении $T M=E+\bar{E}$.
Заметим, что в случае, когда $L$ плотна, для любой $\mathbb{Z}^{2 n}$-периодической гладкой функции $\varphi$ равенство $D \varphi=0$ выполняется, только если $\varphi$ – константа. Это следует из того факта, что $\varphi$ постоянна вдоль $L$. Теперь мы рассмотрим пространство $C_{0}^{\infty}\left(T^{2 n}\right)$ гладких $\mathbb{Z}^{2 n}$-периодических функций с нулевым средним значением в обычной $C^{\infty}$-топологии. Тогда, если выполняется условие (4.3), то отображение $D_{\alpha}: C_{0}^{\infty}\left(T^{2 n}\right) \rightarrow C_{0}^{\infty}\left(T^{2 n}\right)$, очевидно, будет инъективным.

Теорема 4.2. Отображение
\[
D_{\alpha}: C_{0}^{\infty}\left(T^{2 n}\right) \rightarrow C_{0}^{\infty}\left(T^{2 n}\right)
\]

является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $\alpha$ удовлетворяет условию (4.5) для некоторых констант $c_{0}, \tau$.
Доказательство основано на представлении Фурье
\[
\varphi=\sum_{j
eq 0} \widehat{\varphi}_{j} e^{2 \pi i(j, x)} .
\]

Тогда $D_{\alpha}$ переводит
\[
\widehat{\varphi}_{j} \rightarrow 2 \pi i(j, \alpha) \widehat{\varphi}_{j} .
\]

Известно, что для любого изоморфизма множители коэффициентов Фурье, т.е. $(j, \alpha)$ и $(j, \alpha)^{-1}$ растут не быстрее, чем степень $|j|$ (см., например, [22]).

Используем норму Соболева
\[
\|\varphi\|_{r}^{2}=\sum_{j
eq 0}\left|\widehat{\varphi}_{j}\right|^{2}|j|^{2 r}+\left|\widehat{\varphi}_{0}\right|^{2}, \quad r \in \mathbb{R}
\]

Имеем оценки
\[
\left\{\begin{aligned}
\left\|D_{\alpha}^{-1} \varphi\right\|_{r} & \leqslant c_{0}\|\varphi\|_{r+\tau}, \\
\left\|D_{\alpha} \varphi\right\|_{r} & \leqslant 2 \pi\|\varphi\|_{r+1} .
\end{aligned}\right.
\]