Дадим доказательства утверждений (I)-(V). Чтобы доказать первое утверждение, отметим, что $h$ ограничена снизу, и поэтому функционал $I_u^{\alpha }$ в $X$ также ограничен снизу. Пусть $u_j=\theta +{\hat{u}}_j\in X$ является минимизирующей последовательностью. Из вида $I_u^{\alpha }$ ясно, что
\[

u \int_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial \theta}\right)^{2} d \theta
\]

ограничено и, поскольку $I_u^{\alpha }$ инвариантен относительно сдвигов $u(\theta )\to u(\theta +$ const $)$, предположим
$${\int }_0^1{\hat{u}}_{j}d\theta =0.$$

Таким образом,
$${\Vert {\hat{u}}_j\Vert }_{H^1\left(S^1\right)}$$

ограничено, и можно найти подпоследовательность, опять называемую ${\hat{u}}_j$, которая слабо сходится в $H^1\left(S^1\right)$. Кроме того, $I_u^{\alpha }$ является полунепрерывным снизу относительно слабой сходимости в $H^1\left(S^1\right)$, и таким образом минимум $I_u^{\alpha }$ достигается на функции $u\in X$. Также этот минимум удовлетворяет проинтегрированному уравнению Эйлера
\[

u u_{\theta}=\int_{0}^{\theta}\left(h_{1}\left(u, u^{+}\right)+h_{2}\left(u^{-}, u\right)\right) d \theta+\text { const. }
\]

Из этого следует, что $u\in C^{\mathrm{\infty }}$ и что $u$ удовлетворяет условиям (11), (12). Другими словами, обычные прямые методы вариационного вычисления применимы к этой задаче, если $u>0$.

Чтобы доказать утверждение (II), положим $z=u_2-u_1⩾0$ и из уравнения (11) получим дифференциальное уравнение
$$—u{z}_{\theta \theta }+m(\theta )z+h_{12}(\ast )z^{+}+h_{12}(\ast \ast )z^{-}=0,$$

где звездочки указывают некоторые промежуточные значения и $m(\theta )=h_{11}(\ast )+h_{22}(\ast \ast )$ — непрерывная функция. Из условия $h_{12}<0$, $z^{\pm }⩾0$ получим
$$—u{z}_{\theta \theta }+m(\theta )z⩾0,z⩾0,$$

или
$$z_{\theta \theta }⩽\frac{m}{u}z,z⩾0.$$

Из этого неравенства заключаем, что, по принципу максимума, либо $z\equiv 0$, либо $z>0$. Можно было бы продолжить следующим образом. Множество нулей $z$ очевидно является замкнутым множеством на $\mathbb{R}$, и достаточно показать, что оно открыто, чтобы увидеть, что оно пусто или совпадает с $\mathbb{R}$.

Если это множество нулей не пусто и содержит, например, $\theta =0$, тогда мы имеем $z(0)=0,z^{\prime }(0)=0$ и таким образом
$$0⩽z(\theta )⩽{\int }_0^{\theta }(\theta -t)\frac{m(t)}{u}z(t)dt,$$

следовательно, в некоторой окрестности $|\theta |<\delta$
$$z(\theta )⩽c|{\int }_0^{\theta }z(t)dt|.$$

Принимая во внимание неравенство Гронуолла, это дает $z\equiv 0$ при $|\theta |<\delta$, доказывая, что множество нулей открыто, т.е. $\mathbb{R}$.

Те же рассуждения доказывают (III). Действительно, определим для $c\in \mathbb{R}$
$$\mu (c)=\underset{\theta }{min}(u_1(\theta +c)-u_2(\theta )).$$

Поскольку функция $u_1(\theta +c)-u_2(\theta )$ имеет период 1 , минимум принимается при некотором $\theta =\xi (c)\in [0,1]$. Также из уравнения (12) делаем вывод, что $\mu (c+1)=\mu (c)+1$, следовательно, если мы установим непрерывность $\mu$, то увидим, что $\mu (c)$ принимает все значения из $\mathbb{R}$, в частности, нуль. Если подберем $c$ так, что $\mu (c)=0$, тогда $u_1(\theta +$ $+c)⩾u_2(\theta )$ с равенством для $\theta =\xi (c)$ и согласно утверждению (II) заключаем, что $u_1(\theta +c)=u_2(\theta )$ для всех $\theta$.

Установим непрерывность $\mu$. Пусть $c_j$ — произвольная последовательность, сходящаяся к $c^{\ast }$ при $j\to \mathrm{\infty }$, тогда из неравенств
$$\mu \left(c_j\right)⩽u_1(\theta +c_j)-u_2(\theta )$$

следует, что при $j\to \mathrm{\infty }$
$$\bar{\lim }\overline{lim}\mu \left(c_j\right)⩽u_1(\theta +c^{\ast })-u_2(\theta )\text{ при всех }\theta \in \mathbb{R}.$$

Таким образом $\bar{\lim }lim\mu \left(c_j\right)⩽\mu \left(c^{\ast }\right)$, то есть $\mu$ полупрерывно сверху. Чтобы показать, что $\underset{―}{lim}\mu \left(c_j\right)⩾\mu \left(c^{\ast }\right)$ выберем такую подпоследовательность $c_j^{\prime }$, чтобы $\underset{―}{lim}\mu \left(c_j\right)=lim\mu \left(c_j^{\prime }\right)$ и подпоследовательность $c_j^{\prime \prime }$ в $c_j^{\prime }$ такую, что $\xi \left(c_j^{\prime \prime }\right)\to {\theta }^{\ast }$. Тогда
$$\mu \left(c_j^{\prime \prime }\right)=u_1(\theta +c_j^{\prime \prime })-u_2(\theta )\text{ для }\theta =\xi \left(c_j^{\prime \prime }\right)$$

и $j\to \mathrm{\infty }$ дает
$$\underset{―}{lim}\mu \left(c_j\right)=lim\mu \left(c_j^{\prime \prime }\right)=u_1({\theta }^{\ast }+c^{\ast })-u_2\left({\theta }^{\ast }\right)⩾\mu \left(c^{\ast }\right).$$

Следовательно $\mu$ непрерывно в $c^{\ast }$ и, следовательно, в $\mathbb{R}$.

Перейдем к доказательству (IV) и покажем, что $u(\theta +c)-u(\theta )⩾0$ для $c>0$. Иначе $\mu (c)=\underset{\theta }{min}(u(\theta +c)-u(\theta ))$ было бы отрицательным для некоторой положительной $c$, и так как $\mu (c)\to +\mathrm{\infty }$ при $c\to +\mathrm{\infty }$, можно было бы найти $c_0>0$ такое, что $\mu \left(c_0\right)=0$. Таким образом $u(\theta +c_0)⩾u(\theta )$ с равенством для некоторого $\theta$. Так из утверждения (II) имеем $u(\theta +c_0)=u(\theta )$ для всех $\theta$. Это значит, что $u(\theta )$ имеет период $c_0$ и, следовательно, ограничено, что противоречит условию (12). Итак, $u(\theta )$ является монотонной с производной $u(\theta )⩾0$.

Дифференцируя уравнение (11), получим для $z=u_{\theta }$ дифференциальное уравнение
$$\begin{array}{rl}Lz=-u{z}_{\theta \theta }& +(h_{11}(u,u^{+})+h_{22}(u^{-},u))z+\\ & +h_{12}(u,u^{+})z^{+}+h_{12}(u^{-},u)z^{-}=0.\end{array}$$

Поскольку $z⩾0$, то из принципа максимума делаем вывод, что $z\equiv 0$ или $z>0$. Первый случай исключается, потому что при этом $u=\mathrm{const}$, следовательно $u_{\theta }>0$.

Наконец, установим (V). Нормируем $u=u(\theta ;\alpha ,u)$ условием $u(0;\alpha ,u)=0$ и заметим, что $u_{\theta }>0,{\int }_0^1{u}_{\theta }d\theta =1$. По теореме выбора Хелли, существует последовательность $u_k\to 0$, для которой $u_k(\theta )=u(\theta ;\alpha ,u_k)$ почти повсюду стремится к монотонной функции $u_{\ast }(\theta )$. Фактически $u_k(\theta )$ стремится к $u_{\ast }(\theta )$ в каждой точке непрерывности $u_{\ast }$. Более того, $u_{\ast }(\theta +1)=u_{\ast }(\theta )+1$. Из уравнения Эйлера (11) следует, что
$${\int }_{\mathbb{R}}(-u{\phi }_{\theta \theta }u+\phi (h_1(u,u^{+})+h_2(u^{-},u)))d\theta =0\text{ для }u=u_k,u=u_k$$

для всех $\phi \in C_{\text{comp }}^2(\mathbb{R})$. Следовательно, для $u=u_k\to 0$, по теореме об ограниченной сходимости, получим
$${\int }_{\mathbb{R}}\phi (h_1(u_{\ast },u_{\ast }^{+})+h_2(u_{\ast }^{-},u_{\ast }))d\theta =0.$$

Из этого соотношения следует обращение в нуль выражения в скобках во всех точках непрерывности $u_{\ast }$.