Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Дадим доказательства утверждений (I)-(V). Чтобы доказать первое утверждение, отметим, что $h$ ограничена снизу, и поэтому функционал $I_{ u \int_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial \theta}\right)^{2} d \theta ограничено и, поскольку $I_{ Таким образом, ограничено, и можно найти подпоследовательность, опять называемую $\widehat{u}_{j}$, которая слабо сходится в $H^{1}\left(S^{1}\right)$. Кроме того, $I_{ u u_{\theta}=\int_{0}^{\theta}\left(h_{1}\left(u, u^{+}\right)+h_{2}\left(u^{-}, u\right)\right) d \theta+\text { const. } Из этого следует, что $u \in C^{\infty}$ и что $u$ удовлетворяет условиям (11), (12). Другими словами, обычные прямые методы вариационного вычисления применимы к этой задаче, если $ Чтобы доказать утверждение (II), положим $z=u_{2}-u_{1} \geqslant 0$ и из уравнения (11) получим дифференциальное уравнение где звездочки указывают некоторые промежуточные значения и $m(\theta)=h_{11}(*)+h_{22}(* *)$ — непрерывная функция. Из условия $h_{12}<0$, $z^{ \pm} \geqslant 0$ получим или Из этого неравенства заключаем, что, по принципу максимума, либо $z \equiv 0$, либо $z>0$. Можно было бы продолжить следующим образом. Множество нулей $z$ очевидно является замкнутым множеством на $\mathbb{R}$, и достаточно показать, что оно открыто, чтобы увидеть, что оно пусто или совпадает с $\mathbb{R}$. Если это множество нулей не пусто и содержит, например, $\theta=0$, тогда мы имеем $z(0)=0, z^{\prime}(0)=0$ и таким образом следовательно, в некоторой окрестности $|\theta|<\delta$ Принимая во внимание неравенство Гронуолла, это дает $z \equiv 0$ при $|\theta|<\delta$, доказывая, что множество нулей открыто, т.е. $\mathbb{R}$. Те же рассуждения доказывают (III). Действительно, определим для $c \in \mathbb{R}$ Поскольку функция $u_{1}(\theta+c)-u_{2}(\theta)$ имеет период 1 , минимум принимается при некотором $\theta=\xi(c) \in[0,1]$. Также из уравнения (12) делаем вывод, что $\mu(c+1)=\mu(c)+1$, следовательно, если мы установим непрерывность $\mu$, то увидим, что $\mu(c)$ принимает все значения из $\mathbb{R}$, в частности, нуль. Если подберем $c$ так, что $\mu(c)=0$, тогда $u_{1}(\theta+$ $+c) \geqslant u_{2}(\theta)$ с равенством для $\theta=\xi(c)$ и согласно утверждению (II) заключаем, что $u_{1}(\theta+c)=u_{2}(\theta)$ для всех $\theta$. Установим непрерывность $\mu$. Пусть $c_{j}$ — произвольная последовательность, сходящаяся к $c^{*}$ при $j \rightarrow \infty$, тогда из неравенств следует, что при $j \rightarrow \infty$ Таким образом $\varlimsup \lim \mu\left(c_{j}\right) \leqslant \mu\left(c^{*}\right)$, то есть $\mu$ полупрерывно сверху. Чтобы показать, что $\underline{\lim } \mu\left(c_{j}\right) \geqslant \mu\left(c^{*}\right)$ выберем такую подпоследовательность $c_{j}^{\prime}$, чтобы $\underline{\lim } \mu\left(c_{j}\right)=\lim \mu\left(c_{j}^{\prime}\right)$ и подпоследовательность $c_{j}^{\prime \prime}$ в $c_{j}^{\prime}$ такую, что $\xi\left(c_{j}^{\prime \prime}\right) \rightarrow \theta^{*}$. Тогда и $j \rightarrow \infty$ дает Следовательно $\mu$ непрерывно в $c^{*}$ и, следовательно, в $\mathbb{R}$. Перейдем к доказательству (IV) и покажем, что $u(\theta+c)-u(\theta) \geqslant 0$ для $c>0$. Иначе $\mu(c)=\min _{\theta}(u(\theta+c)-u(\theta))$ было бы отрицательным для некоторой положительной $c$, и так как $\mu(c) \rightarrow+\infty$ при $c \rightarrow+\infty$, можно было бы найти $c_{0}>0$ такое, что $\mu\left(c_{0}\right)=0$. Таким образом $u\left(\theta+c_{0}\right) \geqslant u(\theta)$ с равенством для некоторого $\theta$. Так из утверждения (II) имеем $u\left(\theta+c_{0}\right)=u(\theta)$ для всех $\theta$. Это значит, что $u(\theta)$ имеет период $c_{0}$ и, следовательно, ограничено, что противоречит условию (12). Итак, $u(\theta)$ является монотонной с производной $u(\theta) \geqslant 0$. Дифференцируя уравнение (11), получим для $z=u_{\theta}$ дифференциальное уравнение Поскольку $z \geqslant 0$, то из принципа максимума делаем вывод, что $z \equiv 0$ или $z>0$. Первый случай исключается, потому что при этом $u=\mathrm{const}$, следовательно $u_{\theta}>0$. Наконец, установим (V). Нормируем $u=u(\theta ; \alpha, для всех $\varphi \in C_{\text {comp }}^{2}(\mathbb{R})$. Следовательно, для $ Из этого соотношения следует обращение в нуль выражения в скобках во всех точках непрерывности $u_{*}$.
|
1 |
Оглавление
|