Дадим доказательства утверждений (I)-(V). Чтобы доказать первое утверждение, отметим, что $h$ ограничена снизу, и поэтому функционал $I_{
u}^{\alpha}$ в $X$ также ограничен снизу. Пусть $u_{j}=\theta+\widehat{u}_{j} \in X$ является минимизирующей последовательностью. Из вида $I_{
u}^{\alpha}$ ясно, что
\[

u \int_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial \theta}\right)^{2} d \theta
\]

ограничено и, поскольку $I_{
u}^{\alpha}$ инвариантен относительно сдвигов $u(\theta) \rightarrow u(\theta+$ const $)$, предположим
\[
\int_{0}^{1} \widehat{u}_{j} d \theta=0 .
\]

Таким образом,
\[
\left\|\widehat{u}_{j}\right\|_{H^{1}\left(S^{1}\right)}
\]

ограничено, и можно найти подпоследовательность, опять называемую $\widehat{u}_{j}$, которая слабо сходится в $H^{1}\left(S^{1}\right)$. Кроме того, $I_{
u}^{\alpha}$ является полунепрерывным снизу относительно слабой сходимости в $H^{1}\left(S^{1}\right)$, и таким образом минимум $I_{
u}^{\alpha}$ достигается на функции $u \in X$. Также этот минимум удовлетворяет проинтегрированному уравнению Эйлера
\[

u u_{\theta}=\int_{0}^{\theta}\left(h_{1}\left(u, u^{+}\right)+h_{2}\left(u^{-}, u\right)\right) d \theta+\text { const. }
\]

Из этого следует, что $u \in C^{\infty}$ и что $u$ удовлетворяет условиям (11), (12). Другими словами, обычные прямые методы вариационного вычисления применимы к этой задаче, если $
u>0$.

Чтобы доказать утверждение (II), положим $z=u_{2}-u_{1} \geqslant 0$ и из уравнения (11) получим дифференциальное уравнение
\[
–
u z_{\theta \theta}+m(\theta) z+h_{12}(*) z^{+}+h_{12}(* *) z^{-}=0,
\]

где звездочки указывают некоторые промежуточные значения и $m(\theta)=h_{11}(*)+h_{22}(* *)$ – непрерывная функция. Из условия $h_{12}<0$, $z^{ \pm} \geqslant 0$ получим
\[
–
u z_{\theta \theta}+m(\theta) z \geqslant 0, \quad z \geqslant 0,
\]

или
\[
z_{\theta \theta} \leqslant \frac{m}{
u} z, \quad z \geqslant 0 .
\]

Из этого неравенства заключаем, что, по принципу максимума, либо $z \equiv 0$, либо $z>0$. Можно было бы продолжить следующим образом. Множество нулей $z$ очевидно является замкнутым множеством на $\mathbb{R}$, и достаточно показать, что оно открыто, чтобы увидеть, что оно пусто или совпадает с $\mathbb{R}$.

Если это множество нулей не пусто и содержит, например, $\theta=0$, тогда мы имеем $z(0)=0, z^{\prime}(0)=0$ и таким образом
\[
0 \leqslant z(\theta) \leqslant \int_{0}^{\theta}(\theta-t) \frac{m(t)}{
u} z(t) d t,
\]

следовательно, в некоторой окрестности $|\theta|<\delta$
\[
z(\theta) \leqslant c\left|\int_{0}^{\theta} z(t) d t\right| .
\]

Принимая во внимание неравенство Гронуолла, это дает $z \equiv 0$ при $|\theta|<\delta$, доказывая, что множество нулей открыто, т.е. $\mathbb{R}$.

Те же рассуждения доказывают (III). Действительно, определим для $c \in \mathbb{R}$
\[
\mu(c)=\min _{\theta}\left(u_{1}(\theta+c)-u_{2}(\theta)\right) .
\]

Поскольку функция $u_{1}(\theta+c)-u_{2}(\theta)$ имеет период 1 , минимум принимается при некотором $\theta=\xi(c) \in[0,1]$. Также из уравнения (12) делаем вывод, что $\mu(c+1)=\mu(c)+1$, следовательно, если мы установим непрерывность $\mu$, то увидим, что $\mu(c)$ принимает все значения из $\mathbb{R}$, в частности, нуль. Если подберем $c$ так, что $\mu(c)=0$, тогда $u_{1}(\theta+$ $+c) \geqslant u_{2}(\theta)$ с равенством для $\theta=\xi(c)$ и согласно утверждению (II) заключаем, что $u_{1}(\theta+c)=u_{2}(\theta)$ для всех $\theta$.

Установим непрерывность $\mu$. Пусть $c_{j}$ – произвольная последовательность, сходящаяся к $c^{*}$ при $j \rightarrow \infty$, тогда из неравенств
\[
\mu\left(c_{j}\right) \leqslant u_{1}\left(\theta+c_{j}\right)-u_{2}(\theta)
\]

следует, что при $j \rightarrow \infty$
\[
\varlimsup \overline{\lim } \mu\left(c_{j}\right) \leqslant u_{1}\left(\theta+c^{*}\right)-u_{2}(\theta) \quad \text { при всех } \theta \in \mathbb{R} .
\]

Таким образом $\varlimsup \lim \mu\left(c_{j}\right) \leqslant \mu\left(c^{*}\right)$, то есть $\mu$ полупрерывно сверху. Чтобы показать, что $\underline{\lim } \mu\left(c_{j}\right) \geqslant \mu\left(c^{*}\right)$ выберем такую подпоследовательность $c_{j}^{\prime}$, чтобы $\underline{\lim } \mu\left(c_{j}\right)=\lim \mu\left(c_{j}^{\prime}\right)$ и подпоследовательность $c_{j}^{\prime \prime}$ в $c_{j}^{\prime}$ такую, что $\xi\left(c_{j}^{\prime \prime}\right) \rightarrow \theta^{*}$. Тогда
\[
\mu\left(c_{j}^{\prime \prime}\right)=u_{1}\left(\theta+c_{j}^{\prime \prime}\right)-u_{2}(\theta) \quad \text { для } \quad \theta=\xi\left(c_{j}^{\prime \prime}\right)
\]

и $j \rightarrow \infty$ дает
\[
\underline{\lim } \mu\left(c_{j}\right)=\lim \mu\left(c_{j}^{\prime \prime}\right)=u_{1}\left(\theta^{*}+c^{*}\right)-u_{2}\left(\theta^{*}\right) \geqslant \mu\left(c^{*}\right) .
\]

Следовательно $\mu$ непрерывно в $c^{*}$ и, следовательно, в $\mathbb{R}$.

Перейдем к доказательству (IV) и покажем, что $u(\theta+c)-u(\theta) \geqslant 0$ для $c>0$. Иначе $\mu(c)=\min _{\theta}(u(\theta+c)-u(\theta))$ было бы отрицательным для некоторой положительной $c$, и так как $\mu(c) \rightarrow+\infty$ при $c \rightarrow+\infty$, можно было бы найти $c_{0}>0$ такое, что $\mu\left(c_{0}\right)=0$. Таким образом $u\left(\theta+c_{0}\right) \geqslant u(\theta)$ с равенством для некоторого $\theta$. Так из утверждения (II) имеем $u\left(\theta+c_{0}\right)=u(\theta)$ для всех $\theta$. Это значит, что $u(\theta)$ имеет период $c_{0}$ и, следовательно, ограничено, что противоречит условию (12). Итак, $u(\theta)$ является монотонной с производной $u(\theta) \geqslant 0$.

Дифференцируя уравнение (11), получим для $z=u_{\theta}$ дифференциальное уравнение
\[
\begin{aligned}
L z=-
u z_{\theta \theta} & +\left(h_{11}\left(u, u^{+}\right)+h_{22}\left(u^{-}, u\right)\right) z+ \\
& +h_{12}\left(u, u^{+}\right) z^{+}+h_{12}\left(u^{-}, u\right) z^{-}=0 .
\end{aligned}
\]

Поскольку $z \geqslant 0$, то из принципа максимума делаем вывод, что $z \equiv 0$ или $z>0$. Первый случай исключается, потому что при этом $u=\mathrm{const}$, следовательно $u_{\theta}>0$.

Наконец, установим (V). Нормируем $u=u(\theta ; \alpha,
u)$ условием $u(0 ; \alpha,
u)=0$ и заметим, что $u_{\theta}>0, \int_{0}^{1} u_{\theta} d \theta=1$. По теореме выбора Хелли, существует последовательность $
u_{k} \rightarrow 0$, для которой $u_{k}(\theta)=u\left(\theta ; \alpha,
u_{k}\right)$ почти повсюду стремится к монотонной функции $u_{*}(\theta)$. Фактически $u_{k}(\theta)$ стремится к $u_{*}(\theta)$ в каждой точке непрерывности $u_{*}$. Более того, $u_{*}(\theta+1)=u_{*}(\theta)+1$. Из уравнения Эйлера (11) следует, что
\[
\int_{\mathbb{R}}\left(-
u \varphi_{\theta \theta} u+\varphi\left(h_{1}\left(u, u^{+}\right)+h_{2}\left(u^{-}, u\right)\right)\right) d \theta=0 \quad \text { для } \quad u=u_{k},
u=
u_{k}
\]

для всех $\varphi \in C_{\text {comp }}^{2}(\mathbb{R})$. Следовательно, для $
u=
u_{k} \rightarrow 0$, по теореме об ограниченной сходимости, получим
\[
\int_{\mathbb{R}} \varphi\left(h_{1}\left(u_{*}, u_{*}^{+}\right)+h_{2}\left(u_{*}^{-}, u_{*}\right)\right) d \theta=0 .
\]

Из этого соотношения следует обращение в нуль выражения в скобках во всех точках непрерывности $u_{*}$.