a) Мы опишем теперь второй метод построения приближенных решений, называемый методом Галёркина. Этот метод имеет то преимущество, что сводит рассматриваемую задачу к конечномерной задаче. А именно, в качестве приближенного решения уравнения $L u=f$ берется решение этого уравнения, спроектированного на некоторое конечномерное пространство. Предположим, что множество $\|v\|_{r} \leqslant 1$ компактно в пространстве $V^{0}$ (это предположение, конечно, выполняется для пространств Соболева на торе). Мы можем поэтому представить скалярное произведение $(v, w)_{0}$ в виде $(v, w)_{0}=(v, R w)_{r}$, где $R-$ симметричный вполне непрерывный оператор ${ }^{1}$. Пусть $N \geqslant 1$. Обозначим через $H_{N}$ инвариантное подпространство оператора $R$, порожденное собственными векторами с такими собственными значениями $\lambda$, для которых $|\lambda|>N^{-r}, H_{N}$ – конечномерное пространство, причем
\[
\|v\|_{0} \geqslant N^{-r}\|v\|_{r} \quad \text { при } v \in H_{N} \quad \text { и } \quad\|v\|_{0} \leqslant N^{-r}\|v\|_{r} \quad \text { при } v \in H_{1 / N} .
\]

Обозначим через $P_{N}$ оператор ортогонального проектирования на $H_{N}$ в пространстве $V^{0}$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\left\|P_{N} v\right\|_{r} \leqslant N^{r}\left\|P_{N} v\right\|_{0}, \\
\left\|\left(I-P_{N}\right) v\right\|_{0} \leqslant N^{-r}\left\|\left(I-P_{N}\right) v\right\|_{r} \leqslant N^{-r}\|v\|_{r} .
\end{array}
\]

Так как оператор $P_{N}$ коммутирует с оператором дифференцирования, имеем также
\[
\left\|P_{N} v\right\|_{r} \leqslant N^{r-s}\left\|P_{N} v\right\|_{s}, \quad\left\|\left(I-P_{N}\right) v\right\|_{0} \leqslant N^{-s}\left\|\left(I-P_{N}\right) v\right\|_{s} .
\]

Операторы $P_{N}$ образуют семейство коммутирующих самосопряженных проекторов, удовлетворяющих условию $P_{N} P_{N^{\prime}}=P_{N}$ при $N^{\prime}>N$.

В пространстве Соболева на торе образом оператора $P_{N}$ является некоторое пространство тригонометрических полиномов. Ясно, что аналогичные операторы на сфере будут проектировать $V^{0}$ на подпространство, порожденное первыми сферическими функциями, а на произвольном замкнутом многообразии – на подпространство, порожденное первыми собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами.
b) Приступим теперь к построению приближенных решений линейного уравнения $L v=g$. В $\S 1$ было показано, что в случае $L=I-$ тождественный оператор, приближенные решения уравнения $L v=g$ задаются формулой $v=P_{N} g$.

Аналогичным образом строится приближенное решение уравнения $L v=g$, если оператор $L$ удовлетворяет следующим неравенствам:
\[
\|v\|_{0}^{2} \leqslant(v, L v)_{0}, \quad\|v\|_{s}^{2} \leqslant c\left((v, L v)_{s}+K_{1}^{2}\|v\|_{0}^{2}\right)
\]

и
\[
\|L v\|_{s} \leqslant c\|v\|_{r} .
\]

Пусть $\|g\|_{s} \leqslant K,\|g\|_{0} \leqslant 1$. Пусть $v=v_{N} \in H_{N}$ – решение линейного уравнения
\[
P_{N}(L v-g)=0 .
\]

Так как оператор $P_{N}$ переводит все пространство $V^{0}$ в конечномерное подпространство, уравнение (4.4) можно рассматривать как систему конечного числа линейных алгебраических уравнений, причем число неизвестных равно числу уравнений. Для разрешимости этой системы достаточно, чтобы определитель был отличен от нуля или, что то же самое, чтобы соответствующая однородная система имела только нулевое решение.

Из (4.2) вытекает, что $\|v\|_{0} \leqslant(v, L v)_{0}=\left(P_{N} v, L v\right)_{0}=(v, g)_{0}$ и, следовательно,
\[
\|v\|_{0} \leqslant\|g\|_{0} .
\]

Оценим порядок аппроксимации. Из (4.1′) и (4.2) находим
\[
\|v\|_{r}^{2} \leqslant\left(N^{r-s}\|v\|_{s}\right)^{2} \leqslant N^{2(r-s)} c\left((v, g)_{s}+K_{1}^{2}\|v\|_{0}^{2}\right) .
\]

Оценивая правую часть неравенства с помощью неравенства Шварца, получаем
\[
\|v\|_{r} \leqslant c N^{r-s} K, \quad \text { если только } K \geqslant K_{1} .
\]

Остается оценить $\|L v-g\|_{0}$. Заметим, что $L v-g$ ортогонально к подпространству $H_{N}$, и поэтому в силу (4.1) имеет место оценка
\[
\|L v-g\|_{0} \leqslant N^{-s}\|L v-g\|_{s} \leqslant N^{-s}\left(\|L v\|_{s}+\|g\|_{s}\right) .
\]

Используя (4.3) и (4.6), получаем
\[
\|L v-g\|_{0} \leqslant N^{-s}\left(c c_{1} N^{r-s} K+K\right) \leqslant c_{2} K N^{r-2 s},
\]

если $s<r<2 s$ и $N>1$. Таким образом, из (4.7) следует, что $v$ является приближенным решением с порядком аппроксимации
\[
\mu=\frac{2 s-r}{r-s}, \quad \text { если } \quad s<r<2 s .
\]

Например, $\mu=s-1$ при $r=s+1$.
Полученные нами результаты показывают, что задача построения приближенного решения сводится к конечномерным задачам, если только множество $\|v\|_{r} \leqslant 1$ компактно в $V^{0}$; это имеет место, например, в случае пространств функций на компактных многообразиях, где нормы вводятся аналогично тому, как мы вводили их на торе.