В этой работе рассматриваются монотонные закручивающие отображения кольца или цилиндра, возникающие как отображения последования в гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Для таких отображений Д. Мезер разработал интересную теорию, устанавливающую существование инвариантных множеств для заданных чисел вращения. В общем случае, они являются канторовыми подмножествами на замкнутых кривых Липшица или, в благоприятных условиях, такими инвариантными кривыми, которые были раньше получены с помощью так называемой теории КАМ при очень сильных ограничениях. Если число вращения иррационально, то траектории на этих инвариантных множествах квазипериодичны в обобщенном смысле, а если это число рационально, то они содержат периодические орбиты. Недавний обзор по множествам Мезера содержится в работе В. Бангерта [1].

Эти множества Мезера довольно сложны и могут быть представлены разрывными функциями. Целью этой работы является описание альтернативной конструкции, которая дает приближения канторовых множеств гладкими кривыми, которые стремятся к канторовым множествам, когда параметр аппроксимации стремится к нулю. Этот подход может оказаться полезным при вычислениях численными методами, поскольку разрывы, мешающие при вычислениях, при этом сглаживаются. Рассматриваемый подход основан на регуляризированной вариационной задаче, упоминания о которой содержатся в [3].

Наша цель состоит в том, чтобы более полно обсудить эту вариационную задачу, у которой есть новая черта – неизвестная функция входит со сдвинутым аргументом. В частности, мы обобщим теорию экстремальных полей и функцию избытка Вейерштрасса. Кроме того, мы увидим, что соответствующий функционал имеет в качестве экстремума только минимум, и что решение уравнения Эйлера с соответствующим граничным условием единственно с точностью до тривиального фазового сдвига.

В связи с этим в последнем разделе обсуждается результат в духе теории возмущений. Он относится к теореме о существовании инвариантных кривых, которые даются КАМ-теорией. Однако доказательство не использует обычно употребляемые последовательные преобразования. Это фактически приводит к более простому доказательству ${ }^{1}$ cy- $^{-}$ ществования для инвариантных торов без использования канонической теории преобразований.