(a) При доказательстве теоремы 3 мы используем построения и оценки предыдущего параграфа. Сначала мы заменим заданное приближение $U^{*}, U^{*}-x_{n+1} \in H^{a}\left(T^{d}\right)$, гладкой функцией $U^{0}$, определенной равенством
\[
U^{0}-x_{n+1}-S_{N}\left(U^{*}-x_{n+1}\right) \in H^{\infty}\left(T^{d}\right),
\]

здесь $N$ выбирается соответствуюшим образом. Далее мы строим последовательность $U^{s}(s \geqslant 1)$ улучшенных приближенных решений по рекурсивной формуле
\[
U^{s+1}-U^{s}=S_{N_{s}}\left(\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) W\right), \quad W=L_{s}^{-1}\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) E\left(U^{s}\right),
\]

где $N_{s}$ будет выбрано позднее (см. (4.7)), а $L^{s}$ – дифференциальный оператор из (3.2) при $U=U^{s}$. Впоследствии мы покажем, что
\[
\left(x, U^{s}(\bar{x}), D U^{s}(\bar{x})\right) \in \Omega \quad \text { для всех } \bar{x} \in T^{d},
\]

поэтому $F\left(x, U^{s}, D U^{s}\right)$ определено, и последовательность $U^{s}$ сходится к точному решению $U$ уравнения $E(U)=0$, для которого выполнена требуемая не зависящая от $
u$ оценка и для которого $U-x_{n+1} \in C^{\infty}\left(T^{d}\right)$.
На первом шаге мы напомним, что
\[
\left(x, U^{*}(\bar{x}), D U^{*}(\bar{x})\right) \in \Omega \quad \text { для всех } \bar{x} \in T^{d}
\]

и $\Omega$ предполагается открытым. Поэтому существует число $R>0$ такое, что шар радиуса $R$
\[
B_{R}\left(x, U^{*}(\bar{x}), D U^{*}(\bar{x})\right) \in \Omega \quad \text { для всех } \bar{x} \in T^{d} .
\]

Чтобы доказать (4.3), достаточно проверить, что
\[
\left|U^{*}-U^{s}\right|_{0}+\left|D U^{*}-D U^{s}\right|_{0}<R .
\]

Аналогично, чтобы установить, что $\partial_{x_{n+1}} U^{s}>(2 M)^{-1}$, достаточно показать, что $\left|\partial_{x_{n+1}}\left(U^{*}-U^{s}\right)\right|<(2 M)^{-1}$. Другими словами, для положительного числа $0<\eta \leqslant \min \left((2 M)^{-1}, c^{-1} R\right)$ выполняется
\[
\left|U^{*}-U^{s}\right|_{C^{1}}<\eta \quad \text { при } U=U^{s} .
\]

Мы будем также требовать $\eta \leqslant \varepsilon$, где $\varepsilon-$ заданное число из теоремы 3 .
(b) Чтобы облегчить оценки, мы зафиксируем нормы. Для простоты мы потребуем, чтобы $\tau$ было целым и
\[
\tau>\frac{(n+1)}{2},
\]

чтобы \|\|$_{\tau}$ мажорировала равномерную норму. Величина $\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau}$ окажется не превосходящей $\varepsilon_{s}>0$, где $\varepsilon_{s}$ – быстро сходящаяся к нулю последовательность. Вследствие вида оценок (3.14) для $L_{s}$, мы измеряем $E=E(U)$ нормами $H^{\tau+r}(r=0,1, \ldots)$, а $U^{s+1}-U^{s}-$ нормами $H^{-\tau+r}$. Снижение гладкости определяется числом $q=2 \tau+2$; а именно, для $r \geqslant 0, E$ переводит $H^{-\tau+r+q}$ в $H^{-\tau+r+q-2}=H^{\tau+r}$, поскольку $E$ это дифференциальный оператор второго порядка, и $L_{s}^{-1}$, рассмотренный как оператор из $H^{\tau+r} \rightarrow H^{-\tau+r}$, имеет согласно (3.14) верхнюю грань, не зависящую от $
u$. Таким образом, из $U^{s}-x_{n+1} \in H^{-\tau+r+q}$ мы получаем не зависящие от $
u$ оценки для $\| U^{s+1}-\left.U^{s}\right|_{-\tau+r}$, иллюстрирующие снижение гладкости на $q$.
Далее зададим последовательность $\varepsilon_{s}$ такую, что
\[
\varepsilon_{s+1}=\varepsilon_{s}^{\kappa}, \quad \kappa=\frac{4}{3}
\]
(хотя можно взять любое число $\kappa \in(1,2)$ ), и запасаемся достаточно малым $\varepsilon_{0}>0$. Положим
\[
m=4 q, \quad q=2 \tau+2
\]

и
\[
N_{s}=c_{*}^{-1} \varepsilon_{s+1}^{-1 / m}, \quad N=c_{*} \varepsilon_{0}^{-1 / m} .
\]

с большой константой $c_{*} \geqslant 1$. Наконец, зафиксируем целое $k$ такое, что
\[
k=2 m+1, \quad l=k+q \text {. }
\]

В дальнейшем мы будем обозначать через $c$ положительные константы, которые зависят от $\gamma, \tau, r, M$ и $|G|_{C^{b}}$, но не зависят от $
u$ и $\varepsilon_{0}$.
(с) Лемма 4.1 Пусть функиия $U^{*}$ удовлетворяет условиям (2.13), где а $=-\tau+m+q=9 \tau+10$. Тогда существует константа $c_{*}>0$ такая, что функция $U^{0}$, определенная соотношениями (4.1), (4.7), обладает при достаточно малом $\varepsilon_{0}$ следующими свойствами:
(i) $U^{0}-x_{n+1} \in C^{\infty}\left(T^{d}\right), \quad \partial_{x_{n+1}} U^{0}>(2 M)^{-1}$.
(ii) $\left|U^{0}-U^{*}\right|_{C^{1}}<c\left\|U^{0}-U^{*}\right\|_{m}=O\left(\varepsilon_{0}^{\rho}\right)<\frac{\eta}{2}$.
(iii) $\left\|E\left(U^{0}\right)-E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}<\frac{1}{2} \varepsilon_{0}$.
(iv) $\left\|E\left(U^{0}\right)\right\|_{\tau+k}<c \varepsilon_{0}^{-\lambda}: \quad \lambda=\frac{k}{m}-1>1$.

Здесь $\rho>0$ и с – соответствующая константа.
Лемма 4.2. Пусть последовательность $U^{s}$ определена рекурсивно из соотношений (4.2) и (4.1). Далее предположим, что $\left\|E\left(U^{0}\right)\right\|_{\tau}<\varepsilon_{0}$. Тогда $U^{s}$ остается в области определения функции $G$ и удовлетворяет оценкам
(a) $\left\|U^{s}-U^{s-1}\right\|_{-\tau}<c^{\prime} \varepsilon_{s-1}$,
(b) $\left\|U^{s}-U^{s-1}\right\|_{-\tau+l}<\varepsilon_{s}^{-\lambda}, \quad \lambda=\frac{k}{m}-1$,
(c) $\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau}<\varepsilon_{s}$

для всех $s \geqslant 1$, для некоторого $c^{\prime}$ и достаточно малого $\varepsilon_{0}$.
Из лемм 4.1 и 4.2 мы сразу выводим, что $U^{s}$ сходится в $H^{m}$ к требуемому решению $U$ уравнения $E(U)=0$. Действительно, эта последовательность сходится в $H^{r}$ для любого $r$, как будет показано в конце этого параграфа, но сначала мы приведем доказательства этих двух лемм.
(d) ДоказатЕЛЬСтво ЛЕммы 4.1. Очевидно, из определения $S_{N}$ следует, что $U^{0}-x_{n+1} \in C^{\infty}\left(T^{d}\right)$ и в силу (2.24)
\[
\left\|U^{0}-U^{*}\right\|_{m} \leqslant c_{1} N^{\tau-q}\left\|U^{*}-x_{n+1}\right\|_{a} \leqslant c_{2} N^{-(\tau+2)}=O\left(\varepsilon_{0}^{(\tau+2) / m}\right) \rightarrow 0
\]

и (i), (ii) выполнены для $\rho=(\tau+2) / m$ и достаточно малого $\varepsilon_{0}$.

Чтобы проверить (iv), мы оценим
\[
\begin{aligned}
\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l} \leqslant c_{3} N^{l-\tau-a}\left\|U^{*}-x_{n+1}\right\|_{a} & \leqslant \\
& \leqslant c_{4} N^{k-m} \leqslant c_{4} c_{*}^{k-m} \varepsilon_{0}^{-\lambda},
\end{aligned}
\]

поскольку $l-\tau-a=l-q-m=k-m$; здесь мы использовали (2.24). В силу (2.22) мы получаем
\[
\|\left. E\left(U^{0}\right)\right|_{\tau+k} \leqslant c_{5}|G|_{C^{\tau+k+2}}\left(1+\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{\tau+k+2}\right) .
\]

Поскольку $\tau+k+2=-\tau+q+k=-\tau+l$, мы выводим
\[
\left\|E\left(U^{0}\right)\right\|_{\tau+k} \leqslant c_{6} \varepsilon_{0}^{-\lambda} .
\]

Отметим, что $b=\tau+k+2=17 \tau+19$, здесь $b-$ константа из теоремы 3 . Чтобы проверить (iii), мы покажем сначала, что
\[
\left\|E\left(U^{0}\right)-E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau} \leqslant c_{7}\left\|U^{0}-U^{*}\right\|_{\tau+2},
\]

а затем, используя (2.24) и (4.7), получим
\[
\left\|U^{0}-U^{*}\right\|_{\tau+2}=\left\|U^{0}-U^{*}\right\|_{-\tau+q} \leqslant c_{8} N^{-m}\left\|U^{*}-x_{n+1}\right\|_{a} \leqslant c_{8} c_{*}^{-m} \varepsilon_{0} M .
\]

Следовательно, если мы выберем $c_{*}$ так, что $c_{*}^{m} \geqslant 2 c_{7} c_{8} M$, то (iii) выполняется.

Чтобы проверить (4.10), мы используем (2.23), где вместо $f$ стоит первая или вторая производная функции $G$ в выражении Эйлера-Лагранжа $E$, вместо $\varphi$ стоит $\left(U^{0}-x_{n+1}, \bar{D} U^{0}, \bar{D}^{2} U^{0}\right)$ и вместо $\psi$ стоит $\left(U^{*}-x_{n+1}, \bar{D} U^{*}, \bar{D}^{2} U^{*}\right)$. Из (ii) мы заключаем, что $\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{m} \leqslant M+\frac{1}{2} \eta \leqslant c$; следовательно, поскольку $m>\tau+2$, то
\[
\|\varphi\|_{\tau} \leqslant\|\varphi\|_{m-2} \leqslant\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{m} \leqslant c
\]

поэтому (2.23) дает
\[
\left\|E\left(U^{0}\right)-E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau} \leqslant c|G|_{C^{\tau+3}}\left\|U^{0}-U^{*}\right\|_{\tau+2} .
\]

Это доказывает неравенство (4.10) с константой, зависящей от $|G|_{C^{\tau+3}}$, $\tau+3 \leqslant b$. Лемма (4.1) полностью доказана.

(е) ДокаЗатЕЛЬство ЛЕммы 4.2 будет проведено по индукции. Мы начнем с $s=0$, когда (a), (b) лишены смысла, а (c) удовлетворяет предположению. Предположим теперь, что (a), (b), (c) выполнены для $0,1, \ldots, s$, и докажем это для $s+1$.

Шаг 1. Чтобы показать, что $U=U^{s}$ остается в области определения, т.е. удовлетворяет (4.4), мы выведем из (a), (b) и (2.16), что для $0 \leqslant r \leqslant l$
\[
\left\|U^{s}-U^{s-1}\right\|_{-\tau+r} \leqslant\left(c^{\prime} \varepsilon_{s-1}\right)^{1-r / l} \varepsilon_{s}^{-\lambda r / l} \leqslant \varepsilon_{s-1} \varepsilon_{s}^{-(\lambda+1) r / l},
\]

здесь мы поглотили константу $c^{\prime}$, выбирая $\varepsilon_{0}$ (а значит и $\varepsilon_{s}$ ) достаточно малым. Если мы возьмем $r=3 q$, то из $k=l-q<l, \lambda+1=\frac{k}{m}$ следует, что
\[
(\lambda+1) \frac{r}{l}=\frac{k}{m} \frac{r}{l}<\frac{r}{m}<\frac{3 q}{m}=\frac{3}{4}=\kappa^{-1},
\]
T. e.
\[
\left\|U^{s}-U^{s-1}\right\|_{-\tau+3 q} \leqslant \varepsilon_{s}^{\rho}, \quad \rho>0,
\]

и, следовательно, в силу (2.10)
\[
\left|U^{s}-U^{s-1}\right|_{2 q} \leqslant c \varepsilon_{s}^{\rho},
\]

поскольку $-\tau+3 q-\tau=2 q+2>2 q$. Поэтому
\[
\begin{aligned}
\left|U^{s}-U^{*}\right|_{2 q} \leqslant\left|U^{0}-U^{*}\right|_{2 q} & +\sum_{\sigma=1}^{s}\left|U^{\sigma}-U^{\sigma-1}\right|_{2 q} \leqslant \\
& \leqslant \frac{\eta}{2}+c \sum_{\sigma=1}^{s} \varepsilon_{\sigma}^{\rho} \leqslant \frac{\eta}{2}+\widetilde{c} \varepsilon_{0}^{\rho}<\eta,
\end{aligned}
\]

если $\varepsilon_{0}$ достаточно малое. Поскольку $2 q>2$, то очевидно, что (4.4) выполнено при $U=U^{s}$.
Из (b) и (4.9) мы находим
\[
\begin{aligned}
\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l} \leqslant & \left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l}+ \\
& +\sum_{\sigma=1}^{s}\left\|U^{\sigma}-U^{\sigma-1}\right\|_{-\tau+l} \leqslant c \varepsilon_{0}^{-\lambda}+\sum_{\sigma=1}^{s} \varepsilon_{\sigma}^{-\lambda} \leqslant c \varepsilon_{s}^{-\lambda} .
\end{aligned}
\]

Отсюда и из (2.22) вытекает
\[
\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau+k} \leqslant c|G|_{\tau+k+2}\left(1+\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l}\right) \leqslant \widehat{c} \varepsilon_{s}^{-\lambda} .
\]

Объединим эти неравенства с (c). Введем
\[
h_{s}=\varepsilon_{s}^{1 / m}
\]

и используем интерполяционные оценки (2.16), получим
\[
\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau+r} \leqslant c \varepsilon_{s} / h_{s}^{r} \quad \text { при } 0 \leqslant r \leqslant k .
\]

Для дальнейших целей мы покажем, что
\[
\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{k+1} \leqslant c h_{s}^{-(k-\tau)} .
\]

Это следует из (4.11) при $r=k+1+\tau<l$, здесь мы воспользовались тем, что
\[
(\lambda+1) \frac{r}{l}<\lambda+1=\frac{k}{m} .
\]

Следовательно,
\[
\left\|U^{s}-U^{0}\right\|_{k+1} \leqslant \sum_{\sigma=1}^{s} \varepsilon_{\sigma-1} \varepsilon_{\sigma}^{-k / m} \leqslant \varepsilon_{s}^{-k / m+3 / 4}<h_{s}^{-(k-\tau)},
\]

поскольку $m>\frac{4}{3} \tau$. Чтобы получить требуемое неравенство (4.14), нам необходима оценка нормы $\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{k+1}$, а она вытекает из (4.9) и предполагаемой оценки (2.13):
\[
\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{a} \leqslant\left\|U^{*}-x_{n+1}\right\|_{a} \leqslant M, \quad a=-\tau+m+q=9 \tau+10 .
\]

Для $\lambda=(k-m) / m$ это приводит к неравенству
\[
\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{k+1} \leqslant c \varepsilon_{0}^{-\lambda(k+1-a) /(k-m)}=c h_{0}^{-(k+1-a)} \leqslant c h_{0}^{-(k-\tau)},
\]

поскольку $a \geqslant \tau+1$. Объединяя это с предыдущей оценкой, мы действительно получим (4.14).

Шаг 2. Теперь мы проверим неравенства (a), (b), где вместо $s$ стоит $s+1$, используя (4.2). Мы утверждаем, что $W$ удовлетворяет неравенству
\[
\|W\|_{-\tau+r} \leqslant c \varepsilon_{s} / h_{s}^{r} \text { для } 0 \leqslant r \leqslant k .
\]

Достаточно проверить его для $r=0$ или $r=k$. Из неравенства (3.14) мы находим
\[
\|W\|_{-\tau} \leqslant c\left\|\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau} \leqslant c\left\|\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right\|_{\tau}\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau} \leqslant \widetilde{c} \varepsilon_{s},
\]

поскольку в силу (4.12\”) первый множитель ограничен. В силу второго неравенства из (3.14) для $t=\tau, r=k$ мы находим
\[
\|W\|_{-\tau+k} \leqslant c\left\{\left\|\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau+k}+A^{k /(k-\tau)}\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau}\right\},
\]

где $A$-это верхняя грань коэффициентов (см. (3.11)). Используя (2.22) и (4.14), мы можем оценить $A$ как
\[
A \leqslant c|G|_{k+2}\left(1+\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{k+1}\right) \leqslant \widehat{c} h_{s}^{-(k-\tau)} .
\]

Поэтому наряду с (4.13) мы получаем неравенство
\[
\|W\|_{-\tau+k} \leqslant c\left\{\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau+k}+\left\|\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right\|_{\tau+k} \varepsilon_{s}+h_{s}^{-k} \varepsilon_{s}\right\} \leqslant \tilde{c} h_{s}^{-k} \varepsilon_{s} .
\]

Здесь мы использовали то, что при $U=U^{s}$
\[
\left\|\partial_{x_{n+1}} U\right\|_{\tau+k}=\left\|1+\left.\partial_{x_{n+1}}\left(U-x_{n+1}\right)\right|_{\tau+k} \leqslant 1+\right\| U-x_{n+1} \|_{\tau+k+1} \leqslant c / h_{s}^{k} .
\]

Это доказывает (4.15). Аналогично мы находим
\[
\left\|\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) W\right\|_{-\tau+k} \leqslant c \varepsilon_{s} / h_{s}^{k},
\]

и, следовательно, из (4.2) и (2.24)
\[
\left\|U^{s+1}-U^{s}\right\|_{-\tau+l} \leqslant N_{s}^{q} c \frac{\varepsilon_{s}}{h_{s}^{k}}=c h_{s+1}^{-q} \frac{\varepsilon_{s}}{h_{s}^{k}},
\]

поскольку $N_{s} \leqslant h_{s+1}^{-1}$ в силу (4.7). Правую часть можно оценить числом
\[
\varepsilon_{s+1}^{-\lambda}=\varepsilon_{s+1} h_{s+1}^{-k},
\]

так как
\[
\frac{\varepsilon_{s}}{h_{s}^{k}}=h_{s}^{m-k}<h_{s+1}^{m-k+q}=\frac{\varepsilon_{s+1}}{h_{s+1}^{k-q}}, \quad k>2 m=m+4 q .
\]

Отсюда вытекает (b). Чтобы доказать (a), мы используем (2.21) при $t=\tau$, получим
\[
\left\|U^{s+1}-U^{s}\right\|_{-\tau} \leqslant\left\|\left(d_{x_{n+1}} U^{s}\right) W\right\|_{-\tau} \leqslant\left\|\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right\|_{\tau}\|W\|_{-\tau} \leqslant c \varepsilon_{s} .
\]

Здесь мы воспользовались (4.15) для $r=0$.
Шаг 3. Остается доказать (с) для $s+1$ вместо $s$. Мы запишем $V=$ $=U^{s+1}-U^{s}$ и используем неравенство
\[
\left\|E\left(U^{s+1}\right)-E\left(U^{s}\right)-E^{\prime}\left(U^{s}\right) V\right\|_{\tau} \leqslant c\|V\|_{\tau+2}^{2} .
\]

Тогда
\[
\|V\|_{\tau+2}=\|V\|_{-\tau+q} \leqslant N_{s}^{q}\left\|\left(\partial_{\mathfrak{z}_{n+1}} U\right) W\right\|_{-\tau} \leqslant c c_{*}^{-q} h_{s+1}^{-q} \varepsilon_{s} .
\]

Поскольку
\[
m=4 q=\frac{2 \kappa}{2-\kappa} q
\]

мы имеем
\[
\left(h_{s+1}^{-q} \varepsilon_{s}\right)^{2}=\varepsilon_{s+1},
\]

и, выбирая $c_{*}$ достаточно большим, мы получаем
\[
\left\|E\left(U^{s+1}\right)-E\left(U^{s}\right)-E^{\prime}\left(U^{s}\right) V\right\|_{.} \leqslant c\|V\|_{\tau+2}^{2}<\frac{1}{2} \varepsilon_{s+1} .
\]

Чтобы оценить оставшиеся члены, мы используем (3.17) и получим
\[
\left\|E\left(U^{s+1}\right)\right\|_{\tau} \leqslant\left\|W \partial_{x_{n+1}} E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau}+\left\|E^{\prime}\left(U^{s}\right)\left(I-S_{N_{s}}\right)\left(U_{x_{n+1}}^{s} W\right)\right\|_{\tau}+\frac{\varepsilon_{s+1}}{2} .
\]

При оценке первого слагаемого используем неравенство (4.13) при $r=1$ и (4.15) при $r=2 \tau$ :
\[
\left\|W \partial_{x_{n+1}} E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau} \leqslant\|W\|_{\tau}\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau+1} \leqslant c \frac{\varepsilon_{s}^{2}}{h_{s}^{2 \tau+1}} .
\]

Этот член мажорируется числом $\frac{\varepsilon_{\varepsilon}^{2}}{h_{s}^{2 q}}<\varepsilon_{s+1}$, поскольку $2 q>2 \tau+1$, и поэтому его можно сделать меньше чем $\frac{1}{4} \varepsilon_{s+1}$. Для последнего слагаемого мы находим
\[
\begin{aligned}
\left\|E^{\prime}\left(U^{s}\right)\left(I-S_{N_{s}}\right)\left(U_{x_{n+1}}^{s} W\right)\right\|_{\tau} & \leqslant c\left\|\left(I-S_{N_{s}}\right)\left(U_{x_{n+1}}^{s} W\right)\right\|_{\tau+2} \leqslant \\
& \leqslant c N_{s}^{-k+q}\left\|U_{x_{n+1}}^{s} W\right\|_{-\tau+k} \leqslant c h_{s+1}^{k-q} \frac{\varepsilon_{s}}{h_{s}^{k}} .
\end{aligned}
\]

Здесь мы воспользовались (4.16). Поскольку в силу (4.6) и (4.8)
\[
k>m+\frac{\kappa}{\kappa-1} q=m+4 q=2 m
\]

или $(k-m)(\kappa-1)>\kappa q$, мы находим, что
\[
\frac{h_{s+1}^{k-q}}{h_{s}^{k}} \frac{\varepsilon_{s}}{\varepsilon_{s+1}} \rightarrow 0 \quad \text { при } \varepsilon \rightarrow 0
\]

и мы можем сделать последнее слагаемое меньше, чем $\frac{\varepsilon_{s+1}}{4}$, поэтому
\[
\left\|E\left(U^{s+1}\right)\right\|_{\tau} \leqslant c\left(\frac{\varepsilon_{s}^{2}}{h_{s}^{2 \tau+1}}+h_{s+1}^{k-q} \frac{\varepsilon_{s}}{h_{s}^{k}}\right)+\frac{1}{2} \varepsilon_{s+1}<\varepsilon_{s+1} ;
\]

это завершает индукцию.
(f) Чтобы доказать теорему 3, предположим, что $\varepsilon_{0}$ выбрано столь малым, что выполнены леммы 4.1 и 4.2 . Если мы положим в теореме 3 $\delta=\frac{\varepsilon_{0}}{2}$, то из (2.14) и леммы 4.1 (iii) будет следовать, что
\[
\left\|E\left(U^{0}\right)\right\|_{\tau} \leqslant\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}+\frac{1}{2} \varepsilon_{0}<\delta+\frac{\varepsilon_{0}}{2}<\varepsilon_{0},
\]

так что предположение леммы 4.2 выполняется. Таким образом, мы получаем последовательность $U^{s}$, которая в силу (4.12′) сходится в $H^{-\tau+3 q} \subset C^{2}$ к элементу $U$. Поскольку $E\left(U^{s}\right) \rightarrow E(U)$, мы находим из леммы 4.2 (c), что $E(U)=0$, т. е. $U$ есть требуемое решение. Наконец, из (4.12′) и леммы 4.1 (ii) мы находим
\[
\left|U-U^{*}\right|_{C^{1}} \leqslant c|| U-U^{*} \|_{-\tau+3 q}<\eta \leqslant \varepsilon,
\]

где $\varepsilon$ – это заранее заданное число из теоремы 3. Это доказывает (2.15). Условие малости на $\varepsilon_{0}=2 \delta$ зависит от $|G|_{C^{b}}$, где $b=\tau+k+2$, т.е. $b=$ $=\tau+2 m+3=17 \tau+19$.
(g) Таким образом, доказательство теоремы 3 установлено, за исключением доказательства гладкости и оценок для производных высших порядков. Дело в том, что здесь мы больше не накладываем условий малости на $\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}$, а находим оценки для $\left\|U-x_{n+1}\right\|_{-\tau+r}$, которые не зависят от $
u \in(0,1)$. Мы используем описанную выше последовательность $U^{s}$ и покажем, что она сходится в $H^{-\tau+r}$ для любого $r$. Здесь мы следуем подходу, предложенному в $[\mathbf{2 4}]$.

Зафиксируем $\varepsilon_{0}$ и используем последовательность $\varepsilon_{s}=\varepsilon_{0}^{\kappa^{s}}, \kappa=\frac{4}{3}$ так же, как и раньше. Определим $N_{s}, N$ по формуле (4.7). Через $C$ мы обозначаем константы, зависящие от упомянутых констант, от $F$ и $r$, но не зависящие от $
u$ и $s$. Тем не менее, константы $k$ и $l=k+q$ будут иметь отличный смысл от того, который был ранее, и $k$ будет выбрано столь большим, что
\[
\sigma=\frac{k}{k-\tau} \leqslant \frac{16}{15}<\kappa=\frac{4}{3} .
\]

Лемма 4.3. Если $U^{s}$ – построенная выше последовательность и $l=k+q$, где $k$ удовлетворяет условию (4.17), то существует константа $С$ такая, что
\[
\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l} \leqslant C \varepsilon_{s}^{-4 / 3} .
\]

Здесь $C$ зависит от $l$, но не зависит от $
u \in(0,1)$ u $s$.
Перед тем, как доказать эту лемму, мы покажем, что из нее вытекает, что $U^{s}$ сходится в $H^{-\tau+r}$ для любого $r$, откуда будет следовать, что $U=\lim _{s \rightarrow \infty} U^{s}$ принадлежит $C^{\infty}$. Положим $l=3 r$ и выберем $r$ столь большим, что $k=3 r-q$ удовлетворяет (4.17). Тогда
\[
\left\|U^{s+1}-U^{s}\right\|_{-\tau+l} \leqslant\left\|U^{s+1}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l}+\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l} \leqslant 2 C \varepsilon_{s+1}^{-4 / 3} .
\]

С другой стороны, по лемме 4.2 (a) мы имеем
\[
\left\|U^{s+1}-U^{s}\right\|_{-\tau} \leqslant c^{\prime} \varepsilon_{s},
\]

и поэтому в силу интерполяции
\[
\left\|U^{s+1}-U^{s}\right\|_{-\tau+r} \leqslant\left(c^{\prime} \varepsilon_{s}\right)^{2 / 3}\left(2 C \varepsilon_{s+1}^{-4 / 3}\right)^{1 / 3}=C^{\prime} \varepsilon_{s}^{\rho}, \quad \rho=\frac{2}{27} .
\]

Отсюда следует, что $U^{s}$ сходится в $H^{-\tau+r}$ к $U$ и
\[
\left\|U-U^{0}\right\|_{-\tau+r} \leqslant C^{\prime} \sum_{s=0}^{\infty} \varepsilon_{s}^{\rho}=C^{\prime \prime} .
\]

Поскольку выполнено также неравенство
\[
\left\|U^{0}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+r} \leqslant N^{r-m-q}\left\|U^{*}-x_{n+1}\right\|_{a} \leqslant C^{\prime \prime \prime},
\]

мы выводим, что
\[
\left\|U-x_{n+1}\right\|_{-\tau+r} \leqslant C_{r}
\]

для некоторой константы $C=C_{r}$ и $U-x_{n+1} \in C^{\infty}$. Это полностью доказывает (2.15) и теорему 3.
Остается доказать лемму 4.3. Мы положим
\[
M_{s}=\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{-\tau+l}
\]

и получим рекурсивную оценку из (4.2):
\[
M_{s+1} \leqslant M_{s}+\left\|U^{s+1}-U^{s}\right\|_{-\tau+l} \leqslant M_{s}+N_{s}^{q}\left\|\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) W\right\|_{-\tau+k} .
\]

Применив основное неравенство (3.14) к $\varphi=W$ и $L W=\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) E\left(U^{s}\right)$, мы получим
\[
M_{s+1} \leqslant M_{s}+c N_{s}^{q}\left\{\left\|\left(\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right) E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau+k}+A^{k /(k-\tau)}\left\|E\left(U^{s}\right)\right\|_{\tau}\right\} .
\]

Теперь мы используем неравенства
\[
\begin{array}{c}
\left\|\partial_{x_{n+1}} U^{s}\right\|_{\tau+k} \leqslant 1+\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{\tau+k+1} \leqslant 1+M_{s}, \\
A \leqslant C\left(1+\left\|U^{s}-x_{n+1}\right\|_{k+2}\right) \leqslant C\left(1+M_{s}\right),
\end{array}
\]

поэтому для $\sigma$, определенног как и в (4.17), вынолнено
\[
M_{s+1} \leqslant M_{s}+C N_{s}^{q}\left\{\left(1+M_{s}\right)+\left(1+M_{s}\right)^{\sigma} \varepsilon_{s}\right\} .
\]

Положим, что $M_{s} \geqslant 1$ и мы можем упростить это неравенство:
\[
M_{s+1} \leqslant C N_{s}^{q}\left(M_{s}+M_{s}^{\sigma} \varepsilon_{s}\right) .
\]

Анализируя это неравенство, мы получим утверждение леммы 4.3. В силу того, что $\varepsilon_{s} \leqslant 1$, мы получаем
\[
M_{s+1} \leqslant 2 C N_{s}^{q} M_{s}^{\sigma} .
\]

Если $\lambda$ – любое число, большее чем $q /(\kappa-\sigma)$, то существует $C=C_{\lambda}$ такое, что
\[
M_{s} \leqslant C N_{s}^{\lambda} \leqslant C \varepsilon_{s+1}^{-\lambda / m} .
\]

Поскольку $\frac{q}{(\kappa-\sigma)} \leqslant \frac{15}{4} q=\frac{15}{16} m$, показатель $\frac{\lambda}{m}>\frac{15}{16}$, и если мы выберем $\lambda \in\left(\frac{15}{16} m, m\right)$, то
\[
M_{s} \leqslant C \varepsilon_{s+1}^{-1}=C \varepsilon_{s}^{-4 / 3} .
\]