a) В этом параграфе мы закончим доказательство леммы 1 из $\S 1$. Для $l=0$ эта лемма уже доказана, и здесь мы будем доказывать только оценки для высших производных (т.е. для больших значений $l$ ). Мы будем предполагать, что выполнено условие (1.3) и что
\[
|a|_{0}+|a|_{2}+|b|_{0}+|b|_{1}<c_{0} \quad \text { и } \quad|v|_{0}<c_{0} .
\]

Мы объясним, как возникает в оценке зависимость от $\|a\|_{l}$ и $\|b\|_{l}$. Детальное доказательство несколько длинно, хотя и стандартно. Аналогичные идеи развиваются и используются в книге Л. Хёрмандера [33].

Мы ограничимся случаем четного $l=2 k$ и обозначим $(-\Delta)^{k}=P$, $(-\Delta)^{k} v=w$. Величина, которую нужно оценить, запишется
\[
(v, L v)_{l}=\left(v,(-\Delta)^{l} L v\right)_{0}=(P v, P L v)_{0} .
\]

Выпишем выражение для дивергенции
\[
\frac{1}{2} \sum_{
u} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}\left\langle P v, a^{(
u)} P v\right\rangle=\frac{1}{2}\left\langle P v, \sum \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{
u}} P v\right\rangle+\sum_{
u}\left\langle P v, a^{(
u)} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} P v\right\rangle .
\]

Интеграл от этого выражения равен нулю. Следовательно, получаем, обозначая $b_{0}=b-\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{
u}}$ :
\[
\begin{array}{c}
(v, L v)_{l}=\sum_{
u}\left(w, P\left(a^{(
u)} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}+b\right) v\right)_{0}-\sum_{
u}\left(w, a^{(
u)} P v_{x_{
u}}\right)_{0}- \\
-\frac{1}{2} \sum_{
u}\left(w, \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{
u}} P v\right)=\sum_{
u}\left(w,\left(P a^{(
u)}-a^{(
u)} P\right) v_{x_{
u}}\right)_{0}+ \\
+(w,(P b-b P) v)_{0}+\left(w, b_{0} w\right)_{0} .
\end{array}
\]

Чтобы выделить главные члены, вычислим члены порядка $l$ в выражении $\left(P a^{(
u)}-a^{(
u)} P\right) v_{x_{
u}}$. Находим
\[
\left(P a^{(
u)}-a^{(
u)} P\right) v_{x_{
u}}=\sum_{\mu} \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{\mu}}(-\Delta)^{k-1}\left(\frac{-\partial^{2}}{\partial x_{
u} \partial x_{\mu}} v\right)+\ldots,
\]

где невыписанные члены содержат производные от $v$ порядка $<l$. Выражение $(P b-b P) v$ содержит только члены с производными порядка $<l$. Поэтому
\[
(v, L v)_{l}=E+(w, \Phi)_{0},
\]

где
\[
E=\left(w,\left(b_{0}(-\Delta)-\sum \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{\mu}} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{
u} \partial x_{\mu}}\right)(-\Delta)^{k-1} v\right)_{0},
\]

а выражение $\Phi$ содержит только производные от $v$ порядков меньше $l$.
b) Таким образом, мы можем оценить выражение $\|\Phi\|_{0}$ величиной $\|v\|_{l-1}$, умноженной на коэффициент, зависящий от величин высших производных от $a$ и $b$. Чтобы выяснить характер этой зависимости, рассмотрим подробнее выражение $\Phi$. Мы предполагаем, что имеет место неравенство (5.1) и что $|v|_{0}<c_{0}$. Все возникающие ниже константы будут зависеть от $c_{0}$. Рассмотрим те члены $\Phi$, которые содержат $b$. Эти члены имеют вид
\[
D^{l-\lambda} b D^{\lambda} v=D^{\mu}(D b)\left(D^{\lambda} v\right) \quad(\lambda=0,1, \ldots, l-1),
\]

где $\lambda+\mu=l-1$, а $D$ обозначает любой дифференциальный оператор первого порядка. Применим неравенство Гёльдера
\[
\begin{array}{l}
\left\|D^{\mu}(D b)\left(D^{\lambda} v\right)\right\|_{0} \leqslant \\
\leqslant\left(\int\left|D^{\mu}(D b)\right|^{\frac{2(l-1)}{\mu}} d x\right)^{\frac{\mu}{2(l-1)}}\left(\int\left|D^{\lambda} v\right|^{\frac{2(l-1)}{\lambda}} d x\right)^{\frac{\lambda}{2(l-1)}} . \\
\end{array}
\]

Используя неравенство (2.3) из гл. 1 и то, что $\left|b_{1}\right| \leqslant c_{0}$, получаем ${ }^{1}$
\[
\begin{aligned}
\left\|D^{\mu}(D b) D^{\lambda} v\right\|_{0} & \leqslant c_{1}\left(\|D b\|_{l-1}^{\lambda /(l-1)}\|v\|_{l-1}^{\mu /(l-1)}+1\right) \leqslant \\
& \leqslant c_{1}\left(\|D b\|_{l-1}+\|\left. v\right|_{l-1}+1\right) \leqslant c_{1}\left(\|b\|_{l}+\|v\|_{l-1}+1\right),
\end{aligned}
\]

где $c_{1}$ зависит от $c_{0}$. Аналогично оцениваются члены вида
\[
D^{l-\lambda} a D^{\lambda} v_{x}=D^{\mu}\left(D^{2} a\right) D^{\lambda} v_{x} \quad(\lambda=0,1, \ldots, l-2),
\]

где $\lambda+\mu=l-2$.
\[
\left\|D^{\mu}\left(D^{2} a\right) D^{\lambda} v_{x}\right\|_{0} \leqslant c_{2}\left(\left\|D^{2} a\right\|_{l-2}+\mid v_{x} \|_{l-2}+1\right) \leqslant c_{2}\left(\|a\|_{l}+\|v\|_{l-1}+1\right) .
\]

Здесь мы использовали неравенство $|a|_{2}<c_{0}$. Таким образом, находим
\[
\|\Phi\|_{0} \leqslant c_{3}\left(\|a\|_{l}+\|b\|_{l}+1+\|v\|_{l-1}\right) .
\]

Эта оценка полностью выясняет зависимость от высших производных от $a$ и $b$. Заметим, что зависимость от $\|a\|_{l}$ и $\|b\|_{l}$ здесь линейная. Конечно, $\|v\|_{l-1}$ можно заменить на
\[
\|v\|_{l-1} \leqslant c_{4}\left(1+\|v\|_{l}^{1-1 / l}\right),
\]

где показатель степени $<1$. Обозначая $K=\|a\|_{l}+\|b\|_{l}+1$, получаем
\[
(v, L v)_{l} \geqslant E-c_{5}\left(K+\|v\|_{l}^{1-1 / l}\right)\|v\|_{l} .
\]
c) Нам остается оценить $E$. Если бы $E$ имело постоянные коэффициенты, то используя преобразование Фурье и неравенство (1.3), можно получить оценку $E \geqslant 2 \gamma\|v\|_{l}^{2}$. Применяя известный прием Гординга ${ }^{1}$, который состоит в применении описанного выше неравенства к функциям $\xi_{j} v$, где $\xi_{j}$ – разбиение единицы, получаем
\[
E \geqslant \frac{3}{2} \gamma\|v\|_{l}^{2}-c_{6},
\]

так как $a$ и $b$ непрерывно дифференцируемы.
Константа $c_{6}$ зависит от $c_{0}$ и $\gamma$. Объединяя (5.4) и (5.5), получаем
\[
(v, L v)_{l} \geqslant \frac{3}{2} \gamma\|v\|_{l}^{2}-c_{6}-c_{5}\|v\|_{l}\left(K+\|v\|_{l}^{1-1 / l}\right) .
\]

Если $\|v\|_{l}$ достаточно велико, то первый член по абсолютной величине намного превосходит остальные. Если $\|v\|_{l}$ не велико, то остальные члены можно оценить константой. Точнее, $(v, L v)_{l} \geqslant \gamma\|v\|_{l}^{2}-c_{7} K^{2}$, что завершает доказательство леммы 1.