Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
a. Напоследок мы рассмотрим еще один пример использования методов, развитых выше, именно задачу о нахождении магнитного поля с замкнутыми магнитными поверхностями, играющую определенную роль в физике плазмы. Для создания так называемых магнитных бутылок важно уметь строить магнитные поля, силовые линии которых образуют поверхности, скажем двумерные тороидальные поверхности в трехмерном пространстве. Ясно, что при этом силовые линии, проходящие через точки, внутренние по отношению к таким поверхностям, будут содержаться внутри их целиком. Поскольку под воздействием магнитного поля заряженные частицы осуществляют, грубо говоря, спиралеобразное движение вдоль силовых линий, последние можно рассматривать в качестве первого приближения для траектории так называемого «направляющего центра» (guiding center), движущегося по оси этой спирали. Интересующие нас вопросы устойчивости весьма существенно связаны поэтому с вопросом об удержании заряженных частиц. Конечно, изучение движения отдельных частиц для целей физики плазмы явно недостаточно, поскольку пренебрегать взаимодействием между отдельными частицами и самостягивающими силами (pressure forces), создаваемыми всей совокупностью частиц в целом, недопустимо. Тем не менее, полностью сознавая грубость нашего приближения, мы ограничимся случаем единственной частицы, моделируя притом траектории движения магнитными силовыми линиями ${ }^{1}$. Движение вдоль силовых линий магнитного поля $B=B(x)=$ $=\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}\right)$ описывается уравнением где $x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. В силу уравнений Максвелла, Первое из этих соотношений означает, что поле $B(x)$ может быть представлено как градиент скалярного потенциала $\varphi(x)$, второе — что потенциал $\varphi(x)$ гармоничен: Дифференциальное уравнение движения может быть записано при этом в виде Хорошо известно, по крайней мере для однозначных функций $\varphi$, ограниченных сверху и стремящихся к $-\infty$ при $|x| \rightarrow \infty$, что каждое решение этого уравнения стремится к одной из точек равновесия. Точка равновесия устойчива, если $\varphi$ имеет в ней локальный максимум. Это обусловлено тем обстоятельством, что $\varphi$ возрастает вдоль всякого решения, так как Гармоническая функция, однако, внутри области определения максимумов иметь не может, и, следовательно, построить магнитное поле, обладающее устойчивым решением, используя только однозначные потенциалы $\varphi$, нельзя. Функция $\varphi=\theta$ является гармонической; если подставить ее в уравнение (2), то решения последнего будут окружностями, параллельными плоскости $x, y$, с центрами, лежащими на оси $z$. Ясно, что всякая такая окружность представляет собсй устойчивое ${ }^{1}$ решение. Для практических целей, однако, этого недостаточно, так как потенциал $\varphi$ не может быть воспроизведен с абсолютной точностью, а, как мы увидим, сколь угодно малые изменения $\varphi$ могут привести к неустойчивости. Мы сформулируем нашу задачу следующим образом: требуется найти потенциал $\varphi$, близкий к $\theta$, для которого окружность $r=1$, $z=0$ является решением уравнения (2) и которую объемлет тор $T$, обладающий тем свойством, что векторы магнитного поля касательны к нему, т.е. образованный магнитными силовыми линиями. Такой тор называется магнитной поверхностью. Всякая силовая линия, проходящая через внутреннюю точку этого тора, содержится внутри его целиком. Главное требование, однако, состоит в том, чтобы такая картина сохранялась при любых малых изменениях $\varphi$, т.е. чтобы погрешности значений $\varphi$ существенным образом на нее не влияли. Иначе говоря, мы хотим удостовериться в существовании магнитной поверхности $T^{\prime}$, близкой к $T$, при замене потенциала $\varphi$ на потенциал $\varphi^{\prime}$, близкий к $\varphi$. б. Решение этой задачи мы начнем с поиска потенциала $\varphi$, близкого к $\varphi_{0}=\theta$, магнитной силовой линией которого является окружность $r=1, z=0$ и для которого выполнялся бы критерий устойчивости этой замкнутой орбиты. В переменных орбита, о которой идет речь, задается условием $u=v=0$. В дифференциальных уравнениях мы исключим время, заменив его на угол $\theta$; тогда В качестве $\varphi$ мы возьмем гармоническую функцию, первые производные которой по переменным $u, v$ обращаются в нуль при $u=v=0$. (Из этого вытекает, что окружность $r=1, z=0$ будет магнитной силовой линией.) В разложении $\varphi$ по степеням $u, v$ мы получим где $\varphi_{k}$ обозначает однородный полином степени $k$ от $u, v$, коэффициенты которого периодически с периодом $2 \pi$ зависят от $\theta$. Условие того, что $\psi=\varphi-\theta$ гармонична, т.е. является решением уравнения (1), выглядит так: Предполагая, что $\psi$ начинается с членов порядка $m \geqslant 2$ : мы видим, что Теорема 10. Если среднее не обращается в нуль, то окружность $u=v=0$ представляет собой неустойчивое решение системы уравнений (3). ДоКАЗАТЕЛЬСТВо. такую, чтобы член $\psi_{m}$ заменился бы своим средним значением. (По этой причине в подобных ситуациях говорят о «методе усреднения».) Считая $f, g$ однородными полиномами степени $m-1$, периодичными по $\theta$ с периодом $2 \pi$, выразим наши уравнения в новых переменных: где под $O_{m}$ следует понимать сумму членов порядка $m$ и выше. Таким образом, если мы положим то функция $\psi_{m}-\left[\psi_{m}\right]$ окажется производной по $\theta$ от некоторой периодической функции $\Psi=\Psi(\theta, u, v)$. Если в качестве $f$ и $g$ взять частные производные от $\Psi$ : то дифференциальные уравнения примут вид Здесь для удобства записи опущена тильда. По тем же соображениям мы перейдем к комплексным обозначениям и запишем уравнения в виде где $w=u+i v, \frac{\partial}{\partial \bar{w}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial u}+i \frac{\partial}{\partial v}\right)$. Подставляя сюда где $c Чтобы доказать неустойчивость решения $w=0$, введем в рассмотрение комплексную величину $c w^{m}=W$, которая удовлетворяет уравнению Упростим это уравнение, отбросив малый член $O_{2 m-1}$; новое уравнение будет иметь интеграл $\operatorname{Im} W$. Что представляют из себя решения упрощенного уравнения, видно из рисунка 10 , где изображены линии уровня $\operatorname{Im} W$ при $m=3$. Из выполнения при достаточно малых $|w|$ неравенства следует, что $\operatorname{Re} W$ монотонно возрастает; это указывает на неустойчивость решения $w=0$. Мы потребуем даже большего, а именно выполнения условия и покажем, что уж тогда $w=0$ окажется устойчивым! Более точное утверждение составляет содержание теоремы 11. Для ее формулировки нам понадобится функция которая, согласно (4), имеет период $2 \pi$ по $\theta$. Теорема 11. Решение $w=0$ системы (3) устойчиво, если $\psi=\varphi-\theta$ удовлетворяет условию (4), $m \geqslant 3$ и периодическая функиия $P(\theta)$, заданная формулой (5), ограничивает область ненулевой площади. K примеру, $\varphi=\theta+\operatorname{Re}\left(c e^{i n \theta} w^{m}\right)+\ldots$ дает устойчивую орбиту, если $c ДоКАЗаТЕЛЬСТВо. Снова применяя метод усреднения к уравнению (3), с использованием преобразования мы получим дифференциальное уравнение Здесь первый член в слагаемом $4 \Psi_{\bar{w} v}=\Psi_{u u}+\Psi_{v v}$ имеет порядок $m-1$, поскольку $\Psi_{m}$ гармонична по $u, v$ и, следовательно, может быть присоединено к остаточному члену. $К$ получившемуся уравнению мы еще раз применим метод усреднения, в результате чего в подходящих координатах $w=u+i v$ оно примет вид Используя (5), можно вычислить здесь правую часть: и переписать дифференциальное уравнение следующим образом: где Отбрасывая малый добавочный член $O_{2 m-2}$, мы придадим этому уравнению гамильтонов вид; $H$, а следовательно, и $|w|$ превратятся при этом в константы движения. Если бы указанный член вовсе отсутствовал, то поверхности $|w|=$ const явились бы искомыми магнитными поверхностями. Принимая, однако, во внимание и этот член, мы докажем устойчивость решения $w=0$ для всей системы в целом. Стремясь использовать для этой цели теорему 9 , мы изучим отображение, которое переводит начальные значения $w(0)$ в значения $w(2 \pi)$. Магнитная поверхность будет пересекаться с плоскостью $\theta=0(\bmod 2 \pi)$ по кривой, инвариантной относительно этого отображения. Обратно, всякая инвариантная кривая порождает магнитную поверхность — последнюю образуют решения, проходящие через всевозможные точки этой кривой. Нам достаточно, таким образом, построить инвариантную кривую отображения, охватывающую точку $w=0$. Разлагая решение уравнения (6) в ряд по начальным значениям $w(0)=w$, мы найдем, что где $a=2 \pi m^{2}(m-1) A где $w^{\prime}$ заключено в кольце $1 \leqslant\left|w^{\prime}\right| \leqslant 2$. Тогда при малых положительных $\varepsilon$ имеем Такие отображения уже изучались выше (лекция 3 , формула (8)). Здесь Таким образом, если нам удастся показать, что рассматриваемое отображение обладает свойством пересечения замкнутых кривых, то существование инвариантных кривых в кольце при достаточно малых $\varepsilon$ будет гарантироваться теоремой 9 и доказательство теоремы 11 будет закончено. Проверкой выполнения условия пересечения мы сейчас и займемся. где $u, v$ — первоначальные координаты. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся тем, что поток, определяемый дифференциальным уравнением (2), имеет нулевую дивергенцию и, следовательно, сохраняет элемент объема $r d \theta d u d v .^{1}$ Рассмотрим окрестность $D_{0}$ точки $w=0$ в плоскости $\theta=0$ и решения, проходящие через ее точки. Отрезки этих решений, лежащие между плоскостями $\theta=0$ и $\theta=2 \pi$, заполняют некоторую трехмерную область $\Omega$. Той частью ее границы, которая лежит в плоскости $\theta=0$, является $D_{0}$; ту часть, которая лежит в плоскости $\theta=2 \pi$, мы обозначим через $D_{2 \pi}$. Через $\Omega_{t}$ обозначим область, в которую $\Omega$ перейдет по истечении времени $t$. Понятно, $\Omega$ и $\Omega_{t}$ имеют одинаковые объемы. При малых $t$ множества $\Omega$ и $\Omega_{t}$ совпадают почти полностью, именно с точностью до малых цилиндрических множеств возле плоскостей $\theta=0$ и $\theta=2 \pi$. Поскольку объем $\Omega_{t}$ не зависит от $t$, мы имеем откуда следует, что элемент площади сохраняется, что мы и хотели доказать. где $Q>0$ вблизи точки $u=v=0$, так как якобианы наших преобразований при $w=0$ были отличны от нуля. Отсюда ясно, что кривая $C$, охватывающая $w=0$, и ее образ должны пересекаться, поскольку в противном случае площади ими охватываемые, совпасть не могут. Условие пересечения, требуемое теоремой 9 , следовательно, выполнено и доказательство теоремы 11 тем самым завершено. где $c>0$ и $\varepsilon$ достаточно мало. Стоит задуматься над тем, как может существовать инвариантная поверхность, содержащая внутри себя неустойчивую замкнутую орбиту, поскольку в высказанном выше утверждении мы допускали возмущения $\varphi$, средние которых не обязательно в точности равны нулю, что, как было показано, влечет за собой неустойчивость. Чтобы уяснить себе возникающую ситуацию, мы рассмотрим отображение, у которого $m$, скажем, равно трем. Мы видели, что при $\left[\psi_{m}\right] большем расстоянии доминирует «закручивающее» отображение. Более подробный анализ данной ситуации приводит к следующему рисунку: Хотя Г и является инвариантной кривой этого отображения, неподвижная точка $w=0$ неустойчива по Ляпунову. Траектории дифференциального уравнения, если они начинаются внутри инвариантного тора, его не покидают, но решению $w=0$ тем не менее ничто не мешает быть неустойчивым. Предостережение: рисунок, приведенный выше, изображает только модельный случай, а вовсе не типичную ситуацию. Асимптотические кривые, исходящие из $w=0$, вообще говоря, не обязаны «срастаться» так, как изображено на рисунке. Мы видели, что магнитную поверхность можно создать, выдержав среднее значение $\psi$ достаточно малым и сделав величину $A$ из теоремы 11 отличной от нуля. Потенциалы, создаваемые в тороидальных устройствах для удержания плазмы, имеют в точности такой же тип, хотя те соображения, которые определили их первоначальный выбор, отличны от изложенных здесь. Нам удалось показать, что даже если потенциал $\varphi$ выбран лишь приблизительно таким же, как описанный выше, то и тогда существуют кольцеобразные магнитные поверхности. ся формальными рядами, что позволяет предвычислять орбиты лишь на конечные промежутки времени вперед. В противоположность этому вышеприведенные результаты позволяют получить адиабатические инварианты, сохраняющиеся в продолжение всего бесконечного времени. На эту возможность указал В. И. Арнольд в работе [2]. Я выражаю благодарность Мартину Брауну за его помощь в подготовке настоящей рукописи.
|
1 |
Оглавление
|