a. Напоследок мы рассмотрим еще один пример использования методов, развитых выше, именно задачу о нахождении магнитного поля с замкнутыми магнитными поверхностями, играющую определенную роль в физике плазмы. Для создания так называемых магнитных бутылок важно уметь строить магнитные поля, силовые линии которых образуют поверхности, скажем двумерные тороидальные поверхности в трехмерном пространстве. Ясно, что при этом силовые линии, проходящие через точки, внутренние по отношению к таким поверхностям, будут содержаться внутри их целиком. Поскольку под воздействием магнитного поля заряженные частицы осуществляют, грубо говоря, спиралеобразное движение вдоль силовых линий, последние можно рассматривать в качестве первого приближения для траектории так

называемого «направляющего центра» (guiding center), движущегося по оси этой спирали. Интересующие нас вопросы устойчивости весьма существенно связаны поэтому с вопросом об удержании заряженных частиц. Конечно, изучение движения отдельных частиц для целей физики плазмы явно недостаточно, поскольку пренебрегать взаимодействием между отдельными частицами и самостягивающими силами (pressure forces), создаваемыми всей совокупностью частиц в целом, недопустимо. Тем не менее, полностью сознавая грубость нашего приближения, мы ограничимся случаем единственной частицы, моделируя притом траектории движения магнитными силовыми линиями ${ }^{1}$.

Движение вдоль силовых линий магнитного поля $B=B(x)=$ $=\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}\right)$ описывается уравнением
\[
\dot{x}=B(x),
\]

где $x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. В силу уравнений Максвелла,
\[
\text { rot } B=0, \operatorname{div} B=0 \text {. }
\]

Первое из этих соотношений означает, что поле $B(x)$ может быть представлено как градиент скалярного потенциала $\varphi(x)$, второе – что потенциал $\varphi(x)$ гармоничен:
\[
\Delta \varphi=\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{k}^{2}}=0 .
\]

Дифференциальное уравнение движения может быть записано при этом в виде
\[
\dot{x}=\operatorname{grad} \varphi .
\]

Хорошо известно, по крайней мере для однозначных функций $\varphi$, ограниченных сверху и стремящихся к $-\infty$ при $|x| \rightarrow \infty$, что каждое решение этого уравнения стремится к одной из точек равновесия. Точка равновесия устойчива, если $\varphi$ имеет в ней локальный максимум. Это обусловлено тем обстоятельством, что $\varphi$ возрастает вдоль всякого

решения, так как
\[
\dot{\varphi}=\sum_{k=1}^{3} \varphi_{x_{k}} \dot{x}_{k}=\sum_{k=1}^{3} \dot{x}_{k}^{2}=|\dot{x}|^{2}
\]

Гармоническая функция, однако, внутри области определения максимумов иметь не может, и, следовательно, построить магнитное поле, обладающее устойчивым решением, используя только однозначные потенциалы $\varphi$, нельзя.
Рассмотрим цилиндрические координаты $r, \theta, z$, где
\[
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta .
\]

Функция $\varphi=\theta$ является гармонической; если подставить ее в уравнение (2), то решения последнего будут окружностями, параллельными плоскости $x, y$, с центрами, лежащими на оси $z$. Ясно, что всякая такая окружность представляет собсй устойчивое ${ }^{1}$ решение. Для практических целей, однако, этого недостаточно, так как потенциал $\varphi$ не может быть воспроизведен с абсолютной точностью, а, как мы увидим, сколь угодно малые изменения $\varphi$ могут привести к неустойчивости. Мы сформулируем нашу задачу следующим образом: требуется найти потенциал $\varphi$, близкий к $\theta$, для которого окружность $r=1$, $z=0$ является решением уравнения (2) и которую объемлет тор $T$, обладающий тем свойством, что векторы магнитного поля касательны

к нему, т.е. образованный магнитными силовыми линиями. Такой тор называется магнитной поверхностью. Всякая силовая линия, проходящая через внутреннюю точку этого тора, содержится внутри его целиком. Главное требование, однако, состоит в том, чтобы такая картина сохранялась при любых малых изменениях $\varphi$, т.е. чтобы погрешности значений $\varphi$ существенным образом на нее не влияли. Иначе говоря, мы хотим удостовериться в существовании магнитной поверхности $T^{\prime}$, близкой к $T$, при замене потенциала $\varphi$ на потенциал $\varphi^{\prime}$, близкий к $\varphi$.

б. Решение этой задачи мы начнем с поиска потенциала $\varphi$, близкого к $\varphi_{0}=\theta$, магнитной силовой линией которого является окружность $r=1, z=0$ и для которого выполнялся бы критерий устойчивости этой замкнутой орбиты. В переменных
\[
u=r-1, \quad v=z \quad \text { и } \quad \theta
\]

орбита, о которой идет речь, задается условием $u=v=0$. В дифференциальных уравнениях
\[
\begin{aligned}
\dot{r} & =\varphi_{r}, \\
\dot{z} & =\varphi_{z}, \\
\dot{\theta} & =\frac{1}{r^{2}} \varphi_{\theta}
\end{aligned}
\]

мы исключим время, заменив его на угол $\theta$; тогда
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d u}{d \theta}=\frac{(1+u)^{2}}{\varphi_{\theta}} \varphi_{u} \\
\frac{d v}{d \theta}=\frac{(1+u)^{2}}{\varphi_{\theta}} \varphi_{v}
\end{array}\right.
\]

В качестве $\varphi$ мы возьмем гармоническую функцию, первые производные которой по переменным $u, v$ обращаются в нуль при $u=v=0$. (Из этого вытекает, что окружность $r=1, z=0$ будет магнитной силовой линией.) В разложении $\varphi$ по степеням $u, v$ мы получим
\[
\varphi=\theta+\varphi_{2}(\theta, u, v)+\ldots,
\]

где $\varphi_{k}$ обозначает однородный полином степени $k$ от $u, v$, коэффициенты которого периодически с периодом $2 \pi$ зависят от $\theta$.

Условие того, что $\psi=\varphi-\theta$ гармонична, т.е. является решением уравнения (1), выглядит так:
\[
\psi_{u u}+\psi_{v v}+\frac{1}{1+u} \psi_{u}+\frac{1}{(1+u)^{2}} \psi_{\theta \theta}=0 .
\]

Предполагая, что $\psi$ начинается с членов порядка $m \geqslant 2$ :
\[
\psi=\psi_{m}(\theta, u, v)+\ldots,
\]

мы видим, что
\[
\frac{\partial^{2} \psi_{m}}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi_{m}}{\partial v^{2}}=0,
\]
т.е. $\psi_{m}$ гармонична по $u, v$ и, таким образом, может быть представлена как действительная часть некоторой аналитической функции от переменной $w=u+i v$ :
\[
\psi_{m}=\operatorname{Re}\left(p(\theta) w^{m}\right) .
\]

Теорема 10. Если среднее
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} p(\theta) d \theta
\]

не обращается в нуль, то окружность $u=v=0$ представляет собой неустойчивое решение системы уравнений (3).

ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Сделаем замену переменных
\[
\begin{array}{c}
\widetilde{u}=u-f(\theta, u, v), \\
\widetilde{v}=v-g(\theta, u, v),
\end{array}
\]

такую, чтобы член $\psi_{m}$ заменился бы своим средним значением. (По этой причине в подобных ситуациях говорят о «методе усреднения».) Считая $f, g$ однородными полиномами степени $m-1$, периодичными по $\theta$ с периодом $2 \pi$, выразим наши уравнения в новых переменных:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \widetilde{u}}{d \theta}=\frac{\partial \psi_{m}}{\partial \widetilde{u}}-\frac{\partial f}{\partial \theta}+O_{m} \\
\frac{d \widetilde{v}}{d \theta}=\frac{\partial \psi_{m}}{\partial \widetilde{v}}-\frac{\partial g}{\partial \theta}+O_{m}
\end{array}
\]

где под $O_{m}$ следует понимать сумму членов порядка $m$ и выше. Таким образом, если мы положим
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi_{m} d \theta=\left[\psi_{m}\right],
\]

то функция $\psi_{m}-\left[\psi_{m}\right]$ окажется производной по $\theta$ от некоторой периодической функции $\Psi=\Psi(\theta, u, v)$. Если в качестве $f$ и $g$ взять частные производные от $\Psi$ :
\[
f=\frac{\partial \Psi}{\partial u}, \quad g=\frac{\partial \Psi}{\partial v},
\]

то дифференциальные уравнения примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u}{d \theta}=\frac{\partial}{\partial u}\left[\psi_{m}\right]+O_{m} \\
\frac{d v}{d \theta}=\frac{\partial}{\partial v}\left[\psi_{m}\right]+O_{m}
\end{array}
\]

Здесь для удобства записи опущена тильда. По тем же соображениям мы перейдем к комплексным обозначениям и запишем уравнения в виде
\[
\frac{d w}{d \theta}=2 \frac{\partial}{\partial \bar{w}}\left[\psi_{m}\right]+O_{m},
\]

где $w=u+i v, \frac{\partial}{\partial \bar{w}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial u}+i \frac{\partial}{\partial v}\right)$. Подставляя сюда
\[
\left[\psi_{m}\right]=\operatorname{Re}\left(c w^{m}\right)=\frac{1}{2} c w^{m}+\frac{1}{2} \bar{c}^{m},
\]

где $c
eq 0$, получим
\[
\frac{d w}{d \theta}=m \bar{c}{ }^{m-1}+O_{m} .
\]

Чтобы доказать неустойчивость решения $w=0$, введем в рассмотрение комплексную величину $c w^{m}=W$, которая удовлетворяет уравнению
\[
\dot{W}=m^{2}\left|c w^{m-1}\right|^{2}+O_{2 m-1} .
\]

Упростим это уравнение, отбросив малый член $O_{2 m-1}$; новое уравнение будет иметь интеграл $\operatorname{Im} W$. Что представляют из себя решения упрощенного уравнения, видно из рисунка 10 , где изображены линии

уровня $\operatorname{Im} W$ при $m=3$. Из выполнения при достаточно малых $|w|$ неравенства
\[
\operatorname{Re} W=m^{2}\left|c w^{m-1}\right|^{2}+O_{2 m-1} \geqslant \frac{m^{2}}{2}\left|c w^{m-1}\right|^{2}
\]

следует, что $\operatorname{Re} W$ монотонно возрастает; это указывает на неустойчивость решения $w=0$.
в. Для того чтобы обеспечить устойчивость решения $w=0$, мы вынуждены потребовать обращения в нуль среднего
\[
[p]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} p d \theta .
\]

Мы потребуем даже большего, а именно выполнения условия
\[
[\psi]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi d \theta \equiv 0
\]

и покажем, что уж тогда $w=0$ окажется устойчивым! Более точное утверждение составляет содержание теоремы 11. Для ее формулировки нам понадобится функция
\[
\Psi(\theta, u, v)=\int_{0}^{\theta} \psi\left(\theta^{\prime}, u, v\right) d \theta^{\prime}=\operatorname{Re}\left(P(\theta) w^{m}\right)+\ldots,
\]

которая, согласно (4), имеет период $2 \pi$ по $\theta$.

Теорема 11. Решение $w=0$ системы (3) устойчиво, если $\psi=\varphi-\theta$ удовлетворяет условию (4), $m \geqslant 3$ и периодическая функиия $P(\theta)$, заданная формулой (5), ограничивает область ненулевой площади.
\[
A=\frac{1}{2 \pi} \operatorname{Im} \int_{0}^{2 \pi} P \bar{P}^{\prime} d \theta
eq 0 .
\]

K примеру, $\varphi=\theta+\operatorname{Re}\left(c e^{i n \theta} w^{m}\right)+\ldots$ дает устойчивую орбиту, если $c
eq 0, m \geqslant 3$ и $n
eq 0$.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.

Снова применяя метод усреднения к уравнению (3), с использованием преобразования
\[
\widetilde{w}=w-2(1+u)^{2} \Psi_{\bar{w}},
\]

мы получим дифференциальное уравнение
\[
\frac{d \widetilde{w}}{d \theta}=-4\left(\Psi_{\bar{w} w} \psi_{\bar{w}}+\Psi_{\overline{w w}} \psi_{w}\right)+O_{2 m-2} .
\]

Здесь первый член в слагаемом $4 \Psi_{\bar{w} v}=\Psi_{u u}+\Psi_{v v}$ имеет порядок $m-1$, поскольку $\Psi_{m}$ гармонична по $u, v$ и, следовательно,
\[
\Psi_{\bar{w} w} \psi_{\widetilde{w}}=O_{2 m-2}
\]

может быть присоединено к остаточному члену. $К$ получившемуся уравнению мы еще раз применим метод усреднения, в результате чего в подходящих координатах $w=u+i v$ оно примет вид
\[
\frac{d w}{d \theta}=-4 \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Psi_{\overline{w w}} \psi_{w} d \theta+O_{2 m-2} .
\]

Используя (5), можно вычислить здесь правую часть:
\[
\begin{aligned}
-4\left[\Psi_{\overline{w w}} \psi_{w}\right] & =-m^{2}(m-1)|w|^{2(m-2)} w\left[P^{\prime} \bar{P}\right]+O_{2 m-2}= \\
& =i m^{2}(m-1) A|w|^{2(m-2)} w+O_{2 m-2}
\end{aligned}
\]

и переписать дифференциальное уравнение следующим образом:
\[
\frac{d w}{d \theta}=i H_{\bar{w}}+O_{2 m-2},
\]

где
\[
H=m^{2} A|w|^{2(m-1)} .
\]

Отбрасывая малый добавочный член $O_{2 m-2}$, мы придадим этому уравнению гамильтонов вид; $H$, а следовательно, и $|w|$ превратятся при этом в константы движения. Если бы указанный член вовсе отсутствовал, то поверхности $|w|=$ const явились бы искомыми магнитными поверхностями.

Принимая, однако, во внимание и этот член, мы докажем устойчивость решения $w=0$ для всей системы в целом. Стремясь использовать для этой цели теорему 9 , мы изучим отображение, которое переводит начальные значения $w(0)$ в значения $w(2 \pi)$. Магнитная поверхность будет пересекаться с плоскостью $\theta=0(\bmod 2 \pi)$ по кривой, инвариантной относительно этого отображения. Обратно, всякая инвариантная кривая порождает магнитную поверхность – последнюю образуют решения, проходящие через всевозможные точки этой кривой. Нам достаточно, таким образом, построить инвариантную кривую отображения, охватывающую точку $w=0$.

Разлагая решение уравнения (6) в ряд по начальным значениям $w(0)=w$, мы найдем, что
\[
w(2 \pi)=w e^{i a|w|^{2(m-2)}}+O_{2 m-2},
\]

где $a=2 \pi m^{2}(m-1) A
eq 0$. Легко видеть, что наше отображение, если не обращать внимания на $O_{2 m-2}$, является «закручивающим». Для придания ему надлежащего вида растянем переменные, полагая
\[
w=\varepsilon w^{\prime},
\]

где $w^{\prime}$ заключено в кольце $1 \leqslant\left|w^{\prime}\right| \leqslant 2$. Тогда при малых положительных $\varepsilon$ имеем
\[
w^{\prime}(2 \pi)=w^{\prime} e^{i \varepsilon^{2(m-2)} a\left|w^{\prime}\right|^{2(m-2)}}+O\left(\varepsilon^{2 m-3}\right) .
\]

Такие отображения уже изучались выше (лекция 3 , формула (8)). Здесь
\[
\rho=2(m-2) ; \quad \sigma=2 m-3 ; \quad \gamma=a\left|w^{\prime}\right|^{2(m-2)} .
\]

Таким образом, если нам удастся показать, что рассматриваемое отображение обладает свойством пересечения замкнутых кривых, то существование инвариантных кривых в кольце
\[
\varepsilon<|w| \leqslant 2 \varepsilon
\]

при достаточно малых $\varepsilon$ будет гарантироваться теоремой 9 и доказательство теоремы 11 будет закончено. Проверкой выполнения условия пересечения мы сейчас и займемся.
г. Свойство пересечения. Мы покажем прежде всего, что отображение, введенное выше, сохраняет элемент площади
\[
\frac{1}{r} \varphi_{\theta} d u d v=\frac{1+\psi_{\theta}}{1+u} d u d v
\]

где $u, v$ – первоначальные координаты. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся тем, что поток, определяемый дифференциальным уравнением (2), имеет нулевую дивергенцию и, следовательно, сохраняет элемент объема $r d \theta d u d v .^{1}$

Рассмотрим окрестность $D_{0}$ точки $w=0$ в плоскости $\theta=0$ и решения, проходящие через ее точки. Отрезки этих решений, лежащие между плоскостями $\theta=0$ и $\theta=2 \pi$, заполняют некоторую трехмерную область $\Omega$. Той частью ее границы, которая лежит в плоскости $\theta=0$, является $D_{0}$; ту часть, которая лежит в плоскости $\theta=2 \pi$, мы обозначим через $D_{2 \pi}$. Через $\Omega_{t}$ обозначим область, в которую $\Omega$ перейдет по истечении времени $t$. Понятно, $\Omega$ и $\Omega_{t}$ имеют одинаковые объемы. При малых $t$ множества $\Omega$ и $\Omega_{t}$ совпадают почти полностью, именно с точностью до малых цилиндрических множеств возле плоскостей $\theta=0$ и $\theta=2 \pi$. Поскольку объем $\Omega_{t}$ не зависит от $t$, мы имеем
\[
0=\left.\frac{d}{d t} \int_{\Omega_{t}} r d \theta d u d v\right|_{t=0}=\int_{D_{2 \pi}} r \dot{\theta} d u d v-\int_{D_{0}} r \dot{\theta} d u d v
\]

откуда следует, что элемент площади
\[
r \dot{\theta} d u d v=\frac{1}{r} \varphi_{\theta} d u d v
\]

сохраняется, что мы и хотели доказать.
При различных преобразованиях, которые мы использовали выше, элемент площади переходит в элемент
\[
Q(u, v) d u d v,
\]

где $Q>0$ вблизи точки $u=v=0$, так как якобианы наших преобразований при $w=0$ были отличны от нуля.

Отсюда ясно, что кривая $C$, охватывающая $w=0$, и ее образ должны пересекаться, поскольку в противном случае площади
\[
\iint Q(u, v) d u d v
\]

ими охватываемые, совпасть не могут. Условие пересечения, требуемое теоремой 9 , следовательно, выполнено и доказательство теоремы 11 тем самым завершено.
д. Мы доказали на самом деле больше, чем утверждает теорема 11. Мы установили не только то, что круговая орбита $w=0$ устойчива, но и построили гладкий инвариантный тор в области
\[
c^{-1} \varepsilon \leqslant|w| \leqslant c \varepsilon,
\]

где $c>0$ и $\varepsilon$ достаточно мало.
Заметим, что устойчивость решения $w=0$ возможна только в том случае, когда среднее от $\psi_{m}$ есть точный нуль, а, следовательно, малейшие изменения $\varphi$ могут повлечь за собой неустойчивость. Мы сейчас, однако, покажем, что при малых гармонических возмущениях $\varphi$ магнитные поверхности, построенные выше, не разрушаются. В самом деле, если мы зафиксируем $\varepsilon$ и область (7), в которой найден инвариантный тор, то при небольшом изменении $\varphi$ отображение сохраняет все требуемые свойства. Это означает, конечно, что возмущение $\varphi$ должно быть малым даже в сравнении с выбранным $\varepsilon$. Свойство пересечений будет выполняться, поскольку $\varphi$ останется гармонической функцией. Таким образом, теорема 9 снова дает инвариантную поверхность, которая будет непрерывно зависеть от возмущения.

Стоит задуматься над тем, как может существовать инвариантная поверхность, содержащая внутри себя неустойчивую замкнутую орбиту, поскольку в высказанном выше утверждении мы допускали возмущения $\varphi$, средние которых не обязательно в точности равны нулю, что, как было показано, влечет за собой неустойчивость. Чтобы уяснить себе возникающую ситуацию, мы рассмотрим отображение, у которого $m$, скажем, равно трем. Мы видели, что при $\left[\psi_{m}\right]
eq 0$ оно изображается рисунком 10 . Однако при $[\psi] \equiv 0$ это отображение является «закручивающим» отображением. Ясно, что если $\left[\psi_{m}\right]$ мало, то рисунок 10 годится только в непосредственной окрестности $w=0$, в то время как на

большем расстоянии доминирует «закручивающее» отображение. Более подробный анализ данной ситуации приводит к следующему рисунку:

Хотя Г и является инвариантной кривой этого отображения, неподвижная точка $w=0$ неустойчива по Ляпунову. Траектории дифференциального уравнения, если они начинаются внутри инвариантного тора, его не покидают, но решению $w=0$ тем не менее ничто не мешает быть неустойчивым. Предостережение: рисунок, приведенный выше, изображает только модельный случай, а вовсе не типичную ситуацию. Асимптотические кривые, исходящие из $w=0$, вообще говоря, не обязаны «срастаться» так, как изображено на рисунке.

Мы видели, что магнитную поверхность можно создать, выдержав среднее значение $\psi$ достаточно малым и сделав величину $A$ из теоремы 11 отличной от нуля. Потенциалы, создаваемые в тороидальных устройствах для удержания плазмы, имеют в точности такой же тип, хотя те соображения, которые определили их первоначальный выбор, отличны от изложенных здесь. Нам удалось показать, что даже если потенциал $\varphi$ выбран лишь приблизительно таким же, как описанный выше, то и тогда существуют кольцеобразные магнитные поверхности.
е. Приведенные выше результаты, касающиеся магнитных поверхностей, обобщают результаты Фолкнера [9]. По поводу других подходов к задаче и относящихся сюда численных результатов мы отсылаем читателя к статье Гибсона и Тейлора [10], а также к работе Грэда [12]. Обычно в литературе по «адиабатическим инвариантам» довольствуют-

ся формальными рядами, что позволяет предвычислять орбиты лишь на конечные промежутки времени вперед. В противоположность этому вышеприведенные результаты позволяют получить адиабатические инварианты, сохраняющиеся в продолжение всего бесконечного времени. На эту возможность указал В. И. Арнольд в работе [2].

Я выражаю благодарность Мартину Брауну за его помощь в подготовке настоящей рукописи.