Мы упоминали уже, что, вообще говоря, решения рассматривавшихся выше систем имеют лишь конечное число производных. При пользовании нашим критерием оценки числа производных у решения

это соответствует тому факту, что форма $\left\langle a_{x}\right\rangle$ на замкнутом многообразии не может быть положительно определенной.

Но возникает вопрос, будет ли аналитическая система иметь аналитическое решение, если $\left\langle a_{x}\right\rangle$ – положительно определенная форма на области с границей. Пусть $D$ – область в вещественном пространстве переменных $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, имеющая гладкую границу. Мы предположим, что граничная гиперповерхность имеет непрерывные частные производные по крайней мере второго порядка. Пусть имеет место неравенство
\[
\sum_{k, l, \mu,
u} \frac{\partial a_{k l}^{(
u)}}{\partial x_{\mu}} \xi_{
u} \xi_{\mu} \eta_{k} \eta_{l} \geqslant \gamma_{0}|\xi|^{2}|\eta|^{2}
\]

с положительной константой $\gamma_{0}$. Пусть, кроме того, вектор внешней нормали $\left(N_{1}, \ldots, N_{n}\right)$ в каждой точке границы удовлетворяет неравенству
\[
\left(\sum_{
u} a^{(
u)} N_{
u} \eta, \eta\right) \geqslant 0 .
\]

Тогда если функции $F_{k}(x, y, p)$ вещественно-аналитичны, то система (2.1) имеет вещественно-аналитическое решение в некоторой подобласти области $D$.

Неожиданным является тот факт, что решение единственно без предположений о граничных условиях, – но здесь мы не будем доказывать этот факт ${ }^{1}$.

Причиной этого странного явления будет то, что, как правило, из условий (3.1) и (3.2) следует существование особенности у левых частей уравнения (2.1), а решение, которое остается гладким в особенности, единственно.
Пример такого типа мы разберем в следующем параграфе.
Для доказательства сформулированного утверждения мы установим некоторые априорные оценки в комплексной окрестности области $D$. Пусть $D_{\rho}$ обозначает множество всех точек $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ комплексного пространства, для которых существует $z_{0} \in D$ такое, что $\left|z-z_{0}\right|<\rho$. Если $\rho$ меньше, чем радиус кривизны $\partial D$ в любой точке и по любому направлению, то любую граничную точку $D_{\rho}$ можно

единственным образом представить в виде
\[
z=z_{0}+\rho N,
\]

где $N$ – комплексная нормаль.
Предположим, что все коэффициенты, входящие в $L$, являются вещественно-аналитическими функциями и, следовательно, можно расширить $D$ на функции $u(z)$, которые аналитичны при $z=x+i y \in D_{\rho}$. Скалярное произведение для комплексных функций вводится следующим образом:
\[
(u, v)_{0}=\iint_{D_{\rho}} \bar{u} v d \tau,
\]

где $d \tau=d x_{1} d y_{1} \ldots d x_{n} d y_{n}$ – вещественный элемент объема в $2 n$-мерной области $D_{\rho}$. Докажем следующую оценку для $L$.

Лемма. Если коэффициенты $a^{(
u)}$ удовлетворяют условиям (3.1) $u(3.2)$, и если $\left(\eta, b_{0} \eta\right) \geqslant 2 \gamma|\eta|^{2}$ для $x \in D$, то при достаточно малых $\rho$
\[
\operatorname{Re}(u, L u)_{0} \geqslant \gamma(u, u)_{0} .
\]

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО.
Трудность доказательства состоит в том, что матрицы $a^{(
u)}$, симметричные при вещественных $z$, могут не быть самосопряженными при комплексных $z$. Поэтому построим с помощью матриц $a^{(
u)}(z)$ симметричные матрицы $a_{0}^{(
u)}(z)$ следующим образом. Если $\rho$ достаточно мало, любую точку $z \in D_{\rho}$ можно единственным способом представить в виде $z=z_{0}+r N$, где $z_{0} \in D, r$ – расстояние от $z$ до $D$, а $N$ – единичный комплексный нормальный вектор. При $r=0$ мы получаем точку из $D_{0}$, а при $r=\rho$ – граничную точку области $D_{\rho}$. Определим матрицы $a_{0}^{(
u)}(z)=a^{(
u)}\left(z_{0}\right)$. Матрицы $a_{0}^{(
u)}$ симметричны, так как $z_{0} \in D_{0}$, т.е. $z_{0}$ – вещественный вектор.
По теореме Тейлора
\[
a^{(
u)}(z)=a_{0}^{(
u)}(z)+r \sum_{\mu} A^{
u \mu} N_{\mu}+O\left(r^{2}\right),
\]

где $A^{
u \mu}=\frac{\partial a^{(
u)}}{\partial x_{\mu}}\left(z_{0}\right)$, а члены, входящие в $O\left(r^{2}\right)$, оцениваются через вторые производные от $a$. Для получения нужной нам оценки применим

комплексную формулу Грина
\[
\int_{D_{\rho}} \frac{\partial}{\partial z_{
u}}\left\langle\bar{u}, a^{(
u)} u\right\rangle d \tau=\frac{1}{2} \sum_{
u} \int_{\partial D_{\rho}} \bar{N}_{
u}\left\langle\bar{u}, a^{(
u)} u\right\rangle d \sigma,
\]

где $d \sigma-(2 n-1)$-мерный элемент объема на гиперповерхности $\partial D_{\rho}$. Коэффициент $\frac{1}{2}$ в правой части формулы появляется из-за того, что
\[
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right)
\]

Заметим, что $u$ – аналитическая функция и, следовательно, $\frac{\partial u}{\partial \bar{z}_{
u}}=$ $=0$. В силу этого получаем $\frac{\partial}{\partial z_{
u}}\left\langle\bar{u}, a^{(
u)} u\right\rangle=\left\langle\bar{u}, a^{(
u)} \frac{\partial u}{\partial z_{
u}}\right\rangle+\left\langle\bar{u}, \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial z_{
u}} u\right\rangle$ и, используя уравнение (3.5),
\[
(u, L u)_{0}-\left(u,\left(b-\sum \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial z_{
u}}\right) u\right)_{0}=\frac{1}{2} \int_{\partial D_{\rho}} \bar{N}_{
u}\left\langle\bar{u}, a^{(
u)} u\right\rangle d \sigma .
\]

Взяв вещественную часть от этого тождества и замечая, что выражение $\left(\bar{u}, a_{0}^{(
u)} u\right.$ ) вещественно, находим
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Re}\left((u, L u)_{0}-\left(u,\left(b-\sum \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial z_{
u}}\right)_{0}\right)_{0}\right)= \\
\quad=\frac{1}{2} \int_{\partial D_{\rho}} \operatorname{Re} N_{
u}\left\langle\bar{u}, a_{0}^{(
u)} u\right\rangle d \sigma+\frac{\rho}{2} \int \bar{N}_{
u}\left\langle\bar{u}, A^{
u \mu} N_{\mu} u\right\rangle d \sigma+O\left(\rho^{2}\right) .
\end{array}
\]

Из наших предположений следует, что два интеграла в правой части положительны и превосходят оставшийся член, следовательно,
\[
\operatorname{Re}(u, L u)_{0} \geqslant \operatorname{Re}\left(u,\left(b-\sum \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial z_{
u}}\right) u\right)_{0} .
\]

Наконец, так как правая часть содержит члены
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial a^{(
u)}}{\partial z_{
u}}+\frac{\partial \bar{a}^{(
u)}}{\partial z_{
u}}\right)=\frac{1}{2} \frac{\partial a_{0}^{(
u)}}{\partial x_{
u}}+O(\rho),
\]

мы можем с небольшой погрешностью заменить выражение $b-\sum \frac{\partial a^{(
u)}}{\partial z_{
u}}$ на $b_{0}$, определяемое формулой (1.2), и получить
\[
\operatorname{Re}(u, L u)_{0} \geqslant \operatorname{Re}\left(u, b_{0} u\right)_{0}-c \rho(u, u)_{0} \geqslant \gamma(u, u)_{0} .
\]

Лемма доказана.
Следствием из леммы является неравенство
\[
\|L u\|_{0} \geqslant \gamma\|u\|_{0},
\]

с помощью которого стандартным способом устанавливается существование слабого решения у уравнения $L u=f$, если $f$ – комплексноаналитическая функция в области $D_{\rho}$. Однако в этом случае слабое решение является комплексно-аналитической функцией и, следовательно, классическим решением в $D_{\rho}$. В этом смысле эта задача оказывается значительно более легкой, чем предыдущая.

Покажем теперь вкратце, как установить существование аналитического решения у нелинейной задачи, которая в данном случае также легче, чем в предыдущих. Пусть $\mathfrak{F}(u)=F\left(x, u, u_{x}\right)$. Будем строить последовательные решения линеаризованного уравнения
\[
\mathfrak{F}^{\prime}\left(u_{s}\right) v+\mathfrak{F}\left(u_{s}\right)=0, \quad u_{s+1}=u_{s}+v,
\]

по методу Ньютона. Предположим, что функция $u_{s}$ – комплексноаналитическая в комплексной окрестности области $D$ радиуса $\rho_{s}$, где $\rho_{s+1}=\rho_{s}-\delta_{s}$, а $\delta_{s}$ выбраны заранее так, что $\sum \delta_{s}<\frac{\rho}{2}$. Предположим, что $\left\|\mathfrak{F}\left(u_{s}\right)\right\|_{0}<\varepsilon_{s}$.

Используя априорные оценки д.Ія линеаризованного дифференциального уравнения
\[
\sum_{
u} a^{(
u)} u_{z_{
u}}+b u=-F\left(x, u, u_{x}\right),
\]

находим $\left\|u_{s+1}-u_{s}\right\|_{0}=\|v\|_{0} \leqslant \gamma^{-1} \varepsilon_{s}$.
Оценим теперь
\[
\left\|\mathfrak{F}\left(u_{s+1}\right)\right\|_{0}=\left\|\mathfrak{F}\left(u_{s}\right)+\mathfrak{F}^{\prime}\left(u_{s}\right) v+\mathfrak{A}\left(u_{s}, v\right)\right\|_{0}=\left\|\mathfrak{U}\left(u_{s}, v\right)\right\|_{0} .
\]

Однако квадратичный член содержит производные от $v$. Оценивая их аналогично тому, как это было сделано выше, получим
\[
\left\|\mathfrak{A}\left(u_{s}, v\right)\right\|_{0} \leqslant c\left(\left\|v_{x}\right\|_{0}+\|v\|_{0}\right) \times \max \left(\left|v_{x}\right|+|v|\right) \leqslant \gamma^{-1} c \delta_{s}^{-(n / 2-2)} \varepsilon_{s}^{2} .
\]

Эти оценки имеют место в суженной комплексной окрестности радиуса $\rho_{s}-\delta_{s}$. Таким образом,
\[
\left\|\mathfrak{F}\left(u_{s+1}\right)\right\|_{0} \leqslant \varepsilon_{s+1},
\]

если только $\varepsilon_{s+1} \geqslant \gamma^{-1} c \delta_{s}^{-(n / 2-2)} \varepsilon_{s}^{2}$.
Положив, например, $\delta_{s}=s^{-2} \frac{\rho}{4}$, получим $\sum_{s=1}^{\infty} \delta_{s} \leqslant \frac{\rho}{2}$ и $\varepsilon_{s+1}=$ $=c_{1} \rho^{-n-4} \varepsilon_{s}^{2}$.

При достаточно малом $\varepsilon_{0}$ ряд $\sum \varepsilon_{s}$ сходится. Этим доказана сходимость итераций, так как
\[
\left\|u_{s+p}-u_{s}\right\|_{0} \leqslant \gamma^{-1} \sum_{
u=s}^{s+p-1} \varepsilon_{
u}
\]

при $|z-D|<\frac{\rho}{2}<\rho-\sum \delta_{s}$. Таким образом, решение – аналитическая функция.
Суммируем полученные результаты.
Теорема. Если функции $F_{
u}(x, y, p)$ вещественно-аналитичны в комплексной окрестности области $|y|+|p| \leqslant 1$ и если матрииы $a^{(
u)}(x)=F_{p_{
u}}(x, 0,0), b=F_{y}(x, 0,0)$ удовлетворяют условиям (3.1) и (3.2), то при достаточно малом $\sup |F(x, 0,0)|$ существует вещественно-аналитическое решение уравнения $F\left(x, u, u_{x}\right)=0$.