1. Вернемся к теореме 3.3. Автор обязан следующим доказательством В. Бангерту, который сообщил о нем в письме 13 октября 1992 г. и любезно разрешил его здесь представить. Мы рассматриваем комплексный тор $T^{4}$, который мы представим, как обычно, в виде $\mathbb{C}^{2} / \Gamma$, здесь $z_{1}, z_{2}$ — комплексные координаты, Г — решетка ранга 4 . Нас интересуют голоморфные $\mathbb{C}$-вложения
\[
f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{2},
\]

которые при проекции на $T^{4}$ не имеют самопересечений.
Теорема 7.1. Если $f$ — это непостоянное голоморфное отображение из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}^{2}$ и если
\[
f(\mathbb{C}) \cap(f(\mathbb{C})+\gamma)=\varnothing
\]

для всех $\gamma \in \Gamma \backslash(0)$, то $f(\mathbb{C})$ содержится в комплексной прямой.
Перед тем как привести доказательство, мы обсудим простейший случай, когда $\Gamma=\Gamma_{2} \times \Gamma_{2}$ — стандартная решетка точек с целыми

координатами, кроме того, предполагаем, что отображение задается как график
\[
z_{1}=\zeta, \quad z_{2}=h(\zeta) .
\]

В этом случае предположение (7.2) означает, что
\[
h(\zeta+\gamma)-h(\zeta)
otin \Gamma_{2}
\]

для всех $\gamma \in \Gamma_{2} \backslash(0)$. Следовательно, левая часть — это целая функция, не принимающая целых значений из $\Gamma_{2}$, значит, по теореме Пикара, она постоянная. Следовательно,
\[
h^{\prime}(\zeta+\gamma)-h^{\prime}(\zeta)=0
\]

для всех $\gamma \in \Gamma_{2}$, поэтому $h^{\prime}(\zeta)$ — двоякопериодическая, а значит, ограниченная функция. Из теоремы Лиувилля следует, что $h$ — линейная функция.

Доказательство теоремы в общем случае также использует теорему Пикара и некоторые простые методы из гиперболической геометрии, к которой мы сейчас обратимся.

2. Теорема Броди (Brody). Для голоморфной функции $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{2}$ и диска $D_{r}=\{\zeta \in \mathbb{C},|\zeta|<r\}$ введем неевклидову норму
\[
\left\|f^{\prime}(\zeta)\right\|_{D_{r}}=\left|f^{\prime}(\zeta)\right| \frac{r^{2}-|\zeta|^{2}}{r}
\]

для $|\zeta|<r$ и
\[
\left\|f^{\prime}\right\|_{D_{r}}=\sup _{\zeta \in D_{r}}\left\|f^{\prime}(\zeta)\right\|_{D_{r}}
\]

где $f^{\prime}$ означает $\zeta$-производную. Эта норма инвариантна относительно обобщенного преобразования Мебиуса, переводящего диск $D_{r}$ в другой диск, скажем, $D_{\rho}$.

Предложение 7.2. Если $\psi$ — (обобщенное) преобразование Мебиуса
\[
\psi: D_{r} \rightarrow D_{\rho}=\psi\left(D_{r}\right) \subset D_{r},
\]
mo
\[
\left\|(f \circ \psi)^{\prime}\right\|_{D_{r}}=\left\|f^{\prime}\right\|_{\psi\left(D_{r}\right)} .
\]

Это утверждение доказывается непосредственно, его можно найти в [16]. Кроме того, для $0<\rho<r$ выполнено
\[
\left|f^{\prime}(0)\right|_{\rho} \leqslant\left\|f^{\prime}\right\|_{D_{\rho}} \leqslant \frac{\rho}{r}\left\|f^{\prime}\right\|_{D_{r}} .
\]

Следующее предложение о параметризации принадлежит Броди (Brody), см. [5, 16].

Предложение 7.3. Пусть $f$ удовлетворяет условию $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$, разование Мебиуса $\psi: D_{r} \rightarrow \psi\left(D_{r}\right)=D_{\rho} \subset D_{r}$ такое, что функция $g=$ $=f \circ \psi$ удовлетворяет соотношениям
\[
\left|g^{\prime}(0)\right|=\vartheta, \quad\left|g^{\prime}(w)\right| \leqslant \frac{\vartheta}{1-\frac{|w|^{2}}{r^{2}}} .
\]

Для удобства записи аргумент опустим: для $\rho \in(0, r)$ выражение $\left\|f^{\prime}\right\|_{D_{\rho}}$ — это непрерывная функция, принимающая значение 0 при $\rho=0$ (по формуле (7.5)) и значение $\geqslant r$ при $\rho=r$. Следовательно, можно выбрать $\rho$ так, чтобы
\[
\left\|f^{\prime}\right\|_{D_{\rho}}=\vartheta r .
\]

Супремум, определяющий левую часть, выбран; следовательно, существует $\zeta^{*} \in D_{\rho}$ такое, что
\[
\left|f^{\prime}\left(\zeta^{*}\right)\right| \frac{\rho^{2}-\left|\zeta^{*}\right|^{2}}{\rho}=\left\|f^{\prime}\right\|_{D_{\rho}}=\vartheta r .
\]

Теперь выберем преобразование Мебиуса $\psi$, переводящее $D_{r}$ на $D_{\rho}$ так, чтобы $\psi(0)=\zeta^{*}$. Тогда функция $g=f \circ \psi$ удовлетворяет требуемым условиям, так как по формуле (7.4)
\[
\left\|g^{\prime}\right\|_{D_{r}}=\left\|f^{\prime}\right\|_{D_{\rho}}=\vartheta r .
\]

Поскольку $g(0)=f\left(\zeta^{*}\right)$, мы заключаем, что $\left|g^{\prime}(0)\right| r=\left\|g^{\prime}\right\|_{D_{r}}=\vartheta r$, следовательно, $\left|g^{J}(0)\right|=\vartheta$. Это доказывает предложение.
3. Применим это предложение для того, чтобы доказать следующую лемму.

Лемма 7.4. Пусть $0<\vartheta<1$. Предположим, что голоморфное отображение (7.1) удовлетворяет условию $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$. Тогда существуют последовательность $r_{
u} \rightarrow \infty$ преобразования Мебиуса $\psi_{
u}: D_{r_{
u}} \rightarrow D_{\rho_{
u}}$ и $\gamma_{
u} \in$ Г такие, что последовательность
\[
g_{
u}=f \circ \psi_{
u}-\gamma_{
u}
\]

сходится равномерно на компактных множествах в $\mathbb{C}$ к линейной функиuи $g(w)=a w+b,|a|=\vartheta>0$.

Это утверждение следует непосредственно из предложения 7.3. Выберем для любого $r>0$ отображение $\psi_{r}: D_{r} \rightarrow D_{\rho}$ как в предложении 7.3 и $\gamma_{r} \in \Gamma$ такие, что
\[
\left|f \circ \psi_{r}(0)-\gamma_{r}\right| \leqslant M,
\]

где $M$ — диаметр тора. Следовательно, для $g_{r}=f \circ \psi_{r}(0)-\gamma_{r}$ имеем
\[
\left|g_{r}(0)\right| \leqslant M, \quad\left|g_{r}^{\prime}(w)\right| \leqslant \frac{\vartheta}{1-\frac{|w|^{2}}{r^{2}}} \quad \text { для } \quad w \in D_{r} .
\]

Следовательно, $g_{r}$ образует нормальное семейство, имеющее подпоследовательность, скажем $g_{
u}$, соответствующую $r_{
u} \rightarrow \infty$, которая сходится равномерно на компактных множествах к функции $g=g(w)$. Поскольку
\[
\left|g^{\prime}(w)\right| \leqslant\left|g^{\prime}(0)\right|=\vartheta,
\]

отсюда следует, что $g=a w+b,|a|=\vartheta>0$.
Отметим, что эта лемма не использует ограничений на рост функции $f$.

4. Эта лемма обеспечивает нам направление прямой, которую мы ищем. На самом деле, наша цель — показать, что $a_{2} f_{1}-a_{1} f_{2}$ постоянная. Возьмем $c=\left(a_{2},-a_{1}\right),|c|>0$ и предположим, что функция $(c, f(\zeta))$ не постоянная. По тереме Пикара она принимает комплексные значения, но не более чем одно. Это приводит к противоречию с нашим предположением (7.2).

Мы можем выбрать $\gamma \in \Gamma$ так, что $\gamma_{
u}
eq \gamma$ для больших $
u$ и так, что функция ( $c, f$ ) принимает значение $(c, b+\gamma)$. Таким образом, существует $\zeta^{*} \in \mathbb{C}$ такое, что
\[
(c, f-b-\gamma)=0 \quad \text { для } \quad \zeta=\zeta^{*} .
\]

Отсюда следует, что две кривые
\[
z=f(\zeta) \quad \text { и } \quad z=g(w)+\gamma
\]

пересекаются в точке $z=f\left(\zeta^{*}\right)$. Действительно, по формуле (7.7) существует $w^{*} \in \mathbb{C}$ такая, что
\[
f\left(\zeta^{*}\right)=b+\gamma+a w^{*}=g\left(w^{*}\right)+\gamma .
\]

В силу нашего предположения о том, что $(c, f)$ не постоянно, это изолированное пересечение, и поэтому кривые
\[
z=f(\zeta) \quad \text { и } \quad z=g_{
u}(w)+\gamma
\]

пересекаются при $\zeta=\zeta_{
u} \rightarrow \zeta^{*}, w=w_{
u} \rightarrow w^{*}$, т.е.
\[
f\left(\zeta_{
u}\right)=g_{
u}\left(w_{
u}\right)+\gamma=f \circ \psi_{
u}\left(w_{
u}\right)-\gamma_{
u}+\gamma .
\]

Это доказывает, что $f\left(\zeta_{
u}\right)$ принадлежит
\[
f(\mathbb{C}) \cap f(\mathbb{C})-\gamma_{
u}+\gamma .
\]

Поскольку $\gamma
eq \gamma_{
u}$, это приводит к требуемому противоречию.
5. В предположениях теоремы $7.1 f(\mathbb{C})$ лежит на комплексной прямой. Если мы предполагаем дополнительно, что отображение $f$ инъективно, то $f$ сама является линейной функцией, поскольку любое инъективное отображение из $\mathbb{C}$ в себя является линейным. Это доказывает теорему 3.3. Действительно, для любой голоморфной функции $h$ инъективной (однолистной) в диске $D_{r}$ радиуса $r$, имеется оценка $\left|h^{\prime \prime}(0)\right| \leqslant \frac{4}{r}\left|h^{\prime}(0)\right|$, из которой следует, что если $h$ инъективно, то $h^{\prime \prime} \equiv 0$.
6. Мы не можем пройти мимо аналогий с теорией Денжуа, которые возникают в связи с этой теоремой. Напомним, что теорема Денжуа была описана в разделе 6 , пункт 1. В случае векторного поля (6.1) на торе не существует периодических решений (которые эквивалентны случаю иррационального $\rho$ ), топологически сопряженных к кронекеровскому потоку. Это предположение равносильно тому, что
\[
y(x+j)-y(x)
otin \mathbb{Z}, \quad \text { если } j \in \mathbb{Z} \backslash(0),
\]

и его можно сравнить с нашим предположением (7.2) в комплексном случае. В случае комплексной кривой это прямая линия. Аналогия прослеживалась бы более отчетливо, если бы мы стартовали с интегрируемой комплексной структуры, не заданной постоянными коэффициентами. Если такая комплексная структура может быть сопряженной к структуре с постоянными коэффициентами, то любая не самопересекающаяся голоморфная кривая имеет ограниченное расстояние до некоторой плоскости, здесь ограничение не зависит от кривой. Это должно было бы обеспечить ответ на открытый вопрос 2 во введении, где мы, тем не менее, допускаем почти комплексные структуры.