В общем случае предельное решение $u_{*}$ для минимального $u(\theta ; \alpha,
u)$ является разрывным. Однако, если $\alpha$ – диофантово иррациональное число, то есть для некоторых постоянных $c_{0}, \tau$ выполнено неравенство
\[
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \geqslant c_{0} q^{-\tau}
\]

для всех рациональных чисел, и если $h$ достаточно близко к $h^{0}\left(x_{0}, x_{1}\right)$, для которого существует гладкое решение $u_{0}(\theta)$ вида
\[
h_{1}^{0}\left(u_{0}, u^{+}{ }_{0}\right)+h_{2}^{0}\left(u^{-}{ }_{0}, u_{0}\right)=0 ; \quad u_{0}(\theta+1)=u_{0}(\theta)+1,
\]

то уравнение (10) также имеет гладкое решение. Это соответствует теореме об инвариантных кривых, доказанной итерационным методом, использующим последовательные преобразования. Это можно считать простейшей ситуацией приложения теории КАМ.

Обратим внимание на то, что подобный результат справедлив для уравнения Эйлера (11): его решением $u(\theta ; \alpha,
u)$ является $C^{\infty}$-функция. Однако, учитывая выше упомянутые обстоятельства, можно доказать оценки $|u|_{C^{2, \beta}} \leqslant M, \beta \in(0,1)$, которые не зависят от $
u$ и поэтому приводят к $C^{2, \beta}$-решению $u_{*}$ для $
u=0$, соответствующему дважды дифференцируемой инвариантной кривой. Несмотря на то, что этот результат не является неожиданным, его доказательство требует иного подхода, независимого от теории преобразований, так как уравнение (11) выражает инвариантность соответствующих кривых только для $
u=0$, но не для $
u>0$. Этот путь приводит к более простой итерационной процедуре, которая также применима для задач более высокой размерности.

Сформулируем результат. Предположим, что $u_{0}(\theta)=\theta$ является решением уравнения (21). Это не ограничение, потому что указанное равенство достигается с помощью преобразования $\theta \rightarrow u_{0}(\theta)$. Положим
\[
h_{1}^{0}(\theta, \theta+\alpha)+h_{2}^{0}(\theta-\alpha, \theta)=0 .
\]

Кроме того, будем считать, что $h^{0}\left(x_{0}, x_{1}\right)$ – функция класса $C^{\infty}$ в полосе $\left|x_{1}-x_{0}-\alpha\right|<p$ и удовлетворяет там условию (2). Затем рассмотрим возмущенную функцию
\[
h\left(x_{0}, x_{1}, \lambda\right)=h^{0}\left(x_{0}, x_{1}\right)+\lambda h^{1}\left(x_{0}, x_{1}, \lambda\right)
\]

с $C^{\infty}$-функцией $h^{1}$, удовлетворяющей тому же условию периодичности, что и в (2). Наша задача – оценить решение $u=u(\theta ; \alpha,
u, \lambda)$ уравнения (11) для достаточно малого $|\lambda|$.

Теорема. При сделанных предположениях для заданного $\varepsilon>0$ $u \beta \in(0,1)$ существует положительная постоянная $\lambda^{*}=\lambda^{*}(\varepsilon)$ такая, что для $|\lambda|<\lambda^{*}$ решение $u=u(\theta ; \alpha,
u, \lambda)$, нормированное условием $u=$ $=0$ для $\theta=0$, удовлетворяет оценке
\[
|u-\theta|_{C^{2, \beta}}<\varepsilon
\]

для всех $
u>0$.
Мы не будем здесь давать доказательство этой теоремы. Оно использует квадратично сходящуюся итерационную процедуру, но не теорию преобразований. Мы хотим явно указать, что доказательство использует решение линейного разностно-дифференциального уравнения
\[
L v=g,
\]

где $L-$ оператор, определенный уравнением (13). Правая часть $-g-$ полагается гладкой и имеющей период 1 , от решения $v$ также требуется, чтобы оно имело период 1. Отметим, что $L u_{\theta}=0$, то есть $u_{\theta}>0$ является решением однородного уравнения. Из этого заключаем, что обязательным условием совместности является
\[
\int_{0}^{1} u_{\theta} g d \theta=0 .
\]

Необходимо отметить, что общим решением $L v=0$ периода 1 является $v=\mu u_{\theta}$ с постоянной $\mu$, и что уравнение (23) при условии совместности (24) имеет гладкое решение.

Для того чтобы доказать первсе утверждение, положим $z=\frac{v}{u_{\theta}}$ и перепишем разностно-дифференциальное уравнение для $z$. Соответствующая формула
\[
u_{\theta} L\left(u_{\theta} z\right)=-
u\left(u_{\theta}^{2} z_{\theta}\right)+
abla\left(h_{12}\left(u^{-}, u\right) u_{\theta} u_{\theta}^{-}\left(
abla z^{-}\right)\right),
\]

где разностный оператор $
abla$ определяется как
\[

abla_{\varphi}=\varphi^{+}-\varphi=\varphi(\theta+\alpha)-\varphi(\theta) .
\]

Умножая это выражение на $z$ и интегрируя, получаем
\[
\int_{0}^{1} v L(v) d \theta=\int_{0}^{1}\left\{
u u_{\theta}^{2} z_{\theta}^{2}-h_{12}\left(u^{-}, u\right) u_{\theta} u_{\theta}^{-}\left(
abla z^{-}\right)^{2}\right\} d \theta .
\]

Поскольку $h_{12}<0$, из $L v=0$ заключаем, что $z_{\theta}=0$, то есть $z=$ const.
То же тождество (25) может быть использовано для получения априорной оценки для решения (23) и, таким образом, может быть использовано для доказательства существования.
Полагая $c^{-1} \leqslant u_{\theta} \leqslant c$, из уравнения (26) получим
\[
\int_{0}^{1} v g d \theta=\int_{0}^{1} v L(v) d \theta \geqslant \delta c^{-2} \int_{0}^{1}\left|
abla z^{-}\right|^{2} d \theta
\]

и так как $v=u_{\theta} z$, то
\[
\int_{0}^{1}\left|
abla z^{-}\right|^{2} d \theta \leqslant \delta^{-1} c^{3} \int_{0}^{1} z g d \theta=\delta^{-1} c^{3}\left|\int_{0}^{1}\left(
abla z^{-}\right)\left(
abla^{-1} g\right) d \theta\right|
\]

или
\[
\int_{0}^{1}|
abla z|^{2} d \theta \leqslant \delta^{-2} c^{6} \int_{0}^{1}\left|
abla^{-1} g\right|^{2} d \theta
\]

С помощью таких $
u$-независимых оценок возможно доказать теорему, приведенную выше.