a. В этом приложении будут детально рассмотрены утверждения, высказанные в конце пункта д. Мы начнем с того замечания, что даже если $\lambda^{q}=1$, то все еще можно ввести координаты (по-прежнему обозначаемые нами через $x, y$ ), в которых отображение $M$ принимает нормальную форму. Мы подразумеваем под этим, что в них оно имеет вид $x+i y=z \rightarrow \chi(z, \bar{z})$, где степенной ряд $\chi$ содержит только члены $z^{
u} \bar{z}^{\mu}$, удовлетворяющие условию
\[

u-\mu-1=k q, \quad k-\text { целое. }
\]

Существование этой нормальной формы является аналогом результата Густавсона для случая отображения.
б. Имеется интересная характеристика отображений, приведенных к нормальной форме. Именно, справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Отображение $M$ имеет нормальную форму тогда и только тогда, когда оно коммутирует с поворотом $\Lambda$ (определенным в пункте д лекции 2), m.e.
\[
M \circ \Lambda=\Lambda \circ M .^{1}
\]

ДоКАЗаТЕЛЬСТво.
Если отображение $M$ выразить через функцию $\chi(z, \bar{z})$, то уравнение (1) превратится в
\[
\chi(\lambda z, \bar{\lambda} \bar{z})=\lambda \chi(z, \bar{z}) .
\]

Для общего члена $z^{
u} \bar{z}^{\mu}$ ряда $\chi$ уравнение (2) сводится к
\[
\lambda^{
u-\mu} z^{
u} \bar{z}^{\mu}=\lambda z^{
u} \bar{z}^{\mu} .
\]

Таким образом, если $\lambda^{q}=1$, то (2) удовлетворяется в точности тогда, когда
\[

u-\mu-1=k q, \quad k-\text { целое, }
\]

а если $\lambda$ не является корнем из единицы, то в точности тогда, когда
\[

u-\mu-1=0 .
\]

В обоих случаях для выполнения уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы $M$ имело нормальную форму, что и доказывает лемму 1 .

Из этой леммы непосредственно следует, что отображения $M$, которые коммутируют с поворотом, а следовательно имеют нормальную форму, образуют групny $\mathfrak{G}$.
в. Поскольку отображения в нормальной форме образуют группу, то ясно, что вместе с $M$ и любая его итерация, в частности $M^{q}$, имеет нормальную форму. Отсюда мы можем вывести, что гамильтониан $H$, порождающий $M^{q}$ при сдвиге вдоль траекторий на время $t=q$, также имеет некоторую нормальную форму; именно, $H(z, \bar{z})$ содержит только члены вида $z^{
u} \bar{z}^{\mu}$, где
\[

u-\mu=k q, \quad k \text { – целое. }
\]

Это утверждение имеет важное следствие: гамильтониан $H$ является интегралом преобразования поворота $\Lambda$, т.е.
\[
H(\lambda z, \bar{\lambda} \bar{z})=H(z, \bar{z}) .
\]

Это тривиальным образом вытекает из того факта, что $H(z, \bar{z})$ содержит только члены вида $z^{
u} \bar{z}^{\mu}$, где $
u-\mu=k q, k$ – целое. Мы отметим, не доказывая этого, что поток $M^{t}$, порождаемый $H$, также имеет нормальную форму.
г. Наши основные результаты в значительной мере являются следствием следующей теоремы.

Теорема S. Если отображение $M$ имеет нормальную форму, то $M=\Lambda \circ M^{1}=M^{1} \circ \Lambda$ (здесь $\Lambda$ есть поворот на угол $\alpha$, а $M^{t}$ определяется как поток, порождаемый гамильтонианом $H$ ).

Теорема $S$ доказывается с помощью леммы, относящейся к задаче нахождения корня $q$-й степени из отображения, линейная часть которого известна. Мы сформулируем наш результат следующим образом.

Лемма 2. Уравнение $M^{q}=N$, если $\lambda$ известно и $N \in \mathfrak{G}$, т. е. имеет нормальную форму, определяет $M \in \mathfrak{G}$ однозначно.
Доказательство леммы будет дано ниже.
Теорема $S$ вытекает отсюда немедленно. В самом деле, из леммы 1 следует, что
\[
\left(\Lambda \circ M^{1}\right)^{q}=\left(M^{1} \circ \Lambda\right)^{q}=M^{q} .
\]

А поскольку $q$-е итерации, как и линейные части, отображений $\Lambda \circ M^{1}$ и $M$ совпадают, то по лемме 2
\[
M=\Lambda \circ M^{1}=M^{1} \circ \Lambda .
\]

Теперь мы почти готовы доказать, что $H$ является интегралом для $M$ или что все величины $H(P), H(M P), \ldots, H\left(M^{q-1} P\right)$ совпадают.

Для этого достаточно заметить просто, что, как было упомянуто выше, $H$ является интегралом для $\Lambda$, т.е.
\[
H(\lambda z, \bar{\lambda} \bar{z})=H(z, \bar{z}) .
\]

Таким образом, поскольку $M=M^{1} \circ \Lambda$, а $H$ – интеграл и для $\Lambda$ и для $M^{1}, H$ является интегралом и для самого $M$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 2.

Рассмотрим отображение $M$, определяемое рядом
\[
z_{1}=\lambda z+\ldots+f_{k}(z, \bar{z})+\ldots,
\]

и пронаблюдаем, что произойдет с членом $f_{k}$ при итерациях этого отображения. Итак,
\[
\begin{aligned}
z_{2} & =\lambda\left(\lambda z+\ldots+f_{k}+\ldots\right)+f_{k}(\lambda z, \bar{\lambda} \bar{z})+\ldots= \\
& =\lambda^{2} z+\ldots+\lambda f_{k}(z, \bar{z})+f_{k}(\lambda z, \bar{\lambda} \bar{z})+\ldots,
\end{aligned}
\]

и вообще
\[
z_{q}=z+\ldots+\lambda^{q-1} f_{k}(z, \bar{z})+\lambda^{q-2} f_{k}(\lambda z, \bar{\lambda} \bar{z})+\ldots+f_{k}\left(\lambda^{q-1} z, \bar{\lambda}^{q-1} \bar{z}\right)+\ldots,
\]

где мы выделяем только те члены, в которые входит $f_{k}$.
Для нахождения $f_{k}$ мы должны решить уравнение вида
\[
\lambda^{q-1} f_{k}(z, \bar{z})+\lambda^{q-2} f_{k}(\lambda z, \bar{\lambda} \bar{z})+\ldots+f_{k}\left(\lambda^{q-1} z, \bar{\lambda}^{q-1} \bar{z}\right)=g_{k},
\]

где $g_{k}$ определяется из $N$ и членов $M$ меньшего порядка. Если мы теперь положим
\[
f_{k}(z, \bar{z})=\sum_{
u+\mu=k} c_{
u \mu} z^{
u} \bar{z}^{\mu},
\]

то левая часть (3) приведется к виду
\[
\sum_{
u+\mu=k} c_{
u \mu} z^{
u} \bar{z}^{\mu} \lambda^{q-1}\left[1+\lambda^{
u-\mu-1}+\lambda^{2(
u-\mu-1)}+\ldots+\lambda^{(q-1)(
u-\mu-1)}\right] .
\]

Сумма в скобках равна
\[
\left\{\begin{array}{rlrl}
\frac{1-\lambda^{q(
u-\mu-1)}}{1-\lambda^{
u-\mu-1}} & =0 & \text { при } &
u-\mu-1
eq k q \quad(k-\text { целое }), \\
q
eq 0 & \text { при } &
u-\mu-1=k q .
\end{array}\right.
\]

Итак, мы видим, что $c_{
u \mu}$ однозначно определяется тогда и только тогда, когда
\[

u-\mu-1=k q,
\]
т. е. в точности тогда, когда отображение $M$ имеет нормальную форму. Этим доказательство леммы 2 заканчивается.
д. Поскольку $M=\Lambda \circ M^{1}=M^{1} \circ \Lambda$, мы видим, что $\Lambda^{t} \circ M^{t}$ определяет требуемую интерполяцию $M$. Мы напомним далее, что отображения $M$, удовлетворяющие условию
\[
M \circ \Lambda=\Lambda \circ M,
\]

образуют группу $\mathfrak{G}$. Таким образом, указанная интерполяция остается в группе $\mathfrak{G}$ преобразований, коммутирующих с поворотом $\Lambda$.