a) В этом разделе мы увидим, что можно установить связь между произвольным минимальным слоением и асимптотическим нормальным вектором $\bar{\alpha}$ также, как в первом примере. Так как мы ограничиваемся слоениями, листы которых являются графиками, последняя компонента этого вектора не равна 0 и с помощью нормировки может быть сделана равной -1 , т.е.
\[
\bar{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n},-1\right) ; \quad \alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\]

Вектор $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ будем называть вектор наклона. Тривиальный пример минимального слоения для
\[
\int u_{x}^{2} d x
\]

задается выражением
\[
x_{n+1}-(\alpha, x)=\text { const. }
\]

В дальнейшем мы увидим, что для любого минимального слоения, листы которого являются графиками $x_{n+1}=u(x)$, существует единственный вектор наклона $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ такой, что
\[
\sup _{x}|u(x)-(\alpha, x)|<\infty .
\]

Этот вектор не зависит от индивидуального листа и определяется вышеприведенным условием.
б) Таким образом, любое из рассматриваемых минимальных слоений имеет вектор наклона $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Возникает несколько вопросов:
1) Дана вариационная задача (1.7), можно ли найти для произвольного вектора наклона $\alpha$ соответствующее минимальное слоение?
2) Устойчивы ли такие слоения относительно возмущения подынтегрального выражения $F$ вариационной задачи?

Оказывается, что ответ уже на первый вопрос отрицателен. Однако, если понятие обобщено правильно, ответ будет положительным. Для каждого $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ существует минимальная «ламинация». Она может рассматриваться как слоение определенного подмножества на торе.

Это подмножество является канторовым множеством (или всем тором), и однозначно связанно с $F$ и $\alpha$. Отсюда возникает вопрос: при каких обстоятельствах существуют слоения, покрывающие весь тор и когда появляется ламинация на канторовом множестве?

Опишем минимальное слоение с помощью определенной функции, которая должна удовлетворять нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных (см. главу 4). Гладкое решение этих уравнений будет соответствовать гладкому слоению, а «ламинация» (которая еще не определена) – слабому решению с разрывами.

И, наконец, нас интересует, каким образом такие обобщенные слоения зависят от параметров. Например, рассмотрим
\[
F\left(x, u, u_{x}\right)=\frac{1}{2}\left|u_{x}\right|^{2}+\lambda V(x, u)\left(1+\left|u_{x}\right|^{2}\right)^{1 / 2}
\]

с гладким $V\left(x, x_{n+1}\right)$ периода 1 по всем переменным. Если $\bar{\alpha}=(\alpha,-1)$ удовлетворяет условию (1.5), то действительно существуют гладкие слоения для малых $|\lambda|$, но для больших $|\lambda|$ они могут распадаться или разрываться на части, как показывают примеры. Таким образом, решения могут потерять гладкость при изменении $\lambda$. С другой стороны, независимо от величины $\lambda$ существуют гладкие минимальные слоения для определенных $\alpha$ с достаточно большим $|\alpha|$. Таким образом, ответ на этот вопрос неочевиден, и некоторые замечания в этом направлении будут обсуждаться в главе 3 .
в) Развитие этой теории было обусловлено задачами механики, в частности, задачами устойчивости динамических систем. Для системы с двумя степенями свободы такая теория устойчивости основана на построении двухмерных инвариантных торов (КАМ теория). Явление потери устойчивости связано с разрушением инвариантных торов. Понимание этого явления было значительно улучшено важной работой Ю. Мезера [13], который изучал дискретные системы, итерации отображений сохраняющих площадь, называемые монотонными закручивающими отображениями. В то же время Обри и его коллеги изучали простые модели движения электронов в одномерном кристалле. Конфигурации с минимальной энергией, найденные Обри, соответствуют орбитам инвариантных множеств для монотонных закручивающих отображений, найденных Мезером (для обзора см. [1]).

Эта теория Обри и Мезера применима лишь к двумерным отображениям или одномерным кристаллам. И те и другие соответствуют

гамильтоновым системам с двумя степенями свободы. Попытки обобщить их теорию на более, чем две степени свободы не удались. Однако замена одномерных орбит гамильтоновых систем на поверхности коразмерности 1, приводит к различным многомерным обобщениям, которые мы обсудим в этой работе. Листы минимального слоения могут рассматриваться как минимальные конфигурации из теории Обри, рассматриваемой на $n$-мерной решетке.

Связь рассмотренных выше минимальных слоений с теорией Обри и Мезера обсуждалась в [16]. Она соответствует особому случаю $n=1$, т.е. слоению на двумерном торе. Более точно, их теория относится к дискретным системам, в то время как здесь описывается непрерывный аналог, изученный Д. Дензлером [6]. Поэтому мы обратимся к случаю $n=1$ и обсудим отношение минимальных слоений к простой задаче устойчивости.