Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике a) Нас интересует следующий вопрос: какой из двух случаев А) или В) возникает в данной ситуации. В частности, если вариационная задача зависит от параметра, как, например, в (2.3), что может быть сказано о существовании гладкого слоения в зависимости от такого параметра. Для этого частного примера, данного в § 2, (2.3) Бангертом было доказано [2], что для любого положительного числа $A$ существует грань $\lambda^{*}(A)$ такая, что для $\lambda>\lambda^{*}(A)$ не существует непрерывного слоения при $|\alpha| \leqslant A$. Другими словами, для всех $\alpha \in \mathbb{R}^{n},|\alpha| \leqslant A$, множества $\mathfrak{M}_{\alpha}^{\text {reс }}$ являются канторовыми множествами, а функции, построенные в $\S 5$, имеют разрывы. С другой стороны, при достаточно малых $|\lambda|$ существуют гладкие минимальные слоения для этого примера (2.3), что гарантирует следующая теорема. При этом для любого фиксированного $\lambda$ можно построить гладкое минимальное слоение при определенных $\alpha$ с достаточно большим $|\alpha|$. Таким образом, ситуация очень сложная и общего ответа не следует ожидать. Однако можно получить простые геометрические критерии, которые являются достаточными условиями для несуществования непрерывных слоений. Но сначала мы обсудим прямо противоположный случай с гладкими слоениями. где $\Omega-$ открытая область в $\left(T^{n+1} \times \mathbb{R}^{n}\right)$ с $\pi_{1} \Omega=T^{n+1}$, где $\pi_{1}(\bar{x}, p)=$ $=\bar{x}$. Предполагается, что проекция $\Omega$ на $p$-направление ограничена. Кроме того, предположим, что $\Omega$ инвариантно относительно переносов $(\bar{x}, p)>(\bar{x} \mid \bar{j}, p)$ для вссх $\bar{j} \subset \mathbb{Z}^{n+1}$. Предположим, что $F=F^{\lambda} \in C^{\infty}(\Omega)$ непрерывно зависит от вещественного параметра $\lambda \in(-\delta,+\delta)$, например, Таким образом, если условие Лежандра выполняется при $\lambda=0$, то оно выполняется и при достаточно малых $|\lambda|$. Поставим условие, что для $F=F^{0}$ и данного вектора $\alpha$ существует гладкое слоение, заданное гладкой функцией $U=U^{0}(x, \theta)$, такое, что и такое, что $U^{0}$ удовлетворяет условиям (5.3), (5.9), в которых $F$ заменено на $F^{0}$, и условию строгой монотонности Нам требуется гладкое $F^{\lambda}$-минимальное слоение с тем же вектором вращения $\alpha$, если $|\lambda|$ достаточно мал. Как объяснялось в $§ 1$, для этого потребуются диофантовы условия на $\alpha$, которые мы запишем в следующем виде. Должны существовать положительные числа $\gamma, \tau$ такие, что для всех $\bar{j}=\left(j, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1} \backslash(0)$ выполняется неравенство Доказательство этой теоремы использует быстро сходящийся итерационный метод, аналогичный применяемому в так называемой КАМ-теории. На самом деле эта теорема является обобщением теоремы существования инвариантных торов для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на дифференциальные уравнения в частных производных. В то время, как традиционное доказательство существования инвариантных торов использует теорию канонических преобразований, это не возможно при доказательстве теоремы для дифференциальных уравнений в частных производных, т. к. аналоги канонических преобразований тривиальны. Поэтому мы должны действовать в «конфигурационном пространстве» и применить теорему о неявной функции непосредственно к (5.3). Этот подход приводит к упрощенному доказательству существования инвариантных торов для $n$ степеней свободы, что было не так давно показано Саламоном и Цендером [19]. то отображение определяет диффеоморфизм тора $T^{n+1}$ на себя и переводит $\mathcal{F}^{0}$ в $\mathcal{F}^{\lambda}$. Теорема 6.2. При предположениях теоремы 6.1 существует такая $C^{\infty}\left(T^{n+1} \times \Omega\right)$-окрестность $\mathfrak{N}=\mathfrak{N}_{\alpha}\left(F^{0}\right)$, что для каждого $F \in \mathfrak{N}$ существует решение $U=U(x, \theta)$ уравнений (5.9) $и$ (5.3), непрерывно зависяще от $F$. Слоения $\mathcal{F}_{U}: x_{n+1}=U(x, \theta)$ снова эквивалентны $\mathcal{F}^{0}: x_{n+1}=U(x, \theta)$ при диффеоморфизме где Следовательно, такие слоения «устойчивы», если определить, что гладкое слоение $\mathcal{F}^{0}$, минимальное относительно $F^{0}$, является устойчивым, если для всех $F$ в $C^{\infty}$-окрестности $\mathfrak{N}$ этого $F^{0}$ существует гладкое $F$-минимальное слоение $\mathcal{F}$, сопряженное $\mathcal{F}^{0}$. Таким образом, получим: Следствие 6.3. При предположениях теоремы 6.1 слоение $\mathcal{F}^{0}$ устойчиво. где $p_{n+1}=-1, D=\sqrt{\operatorname{det}\left(g_{ Отметим, что эти подынтегральные выражения нарушают условие квадратичного роста (1.8) (III), но в теореме 6.2 требуется только, чтобы $F$ было определено в открытой области $\Omega$, содержащей слоение $\mathcal{F}^{0}$. Можно выбрать и условие роста является несущественным. для всех $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1} \backslash(0)$, если $\gamma=\left(2|\bar{\alpha}|^{2}\right)^{\tau} c_{0}$. Обратно, из этого последнего условия при $\gamma=\left(2^{\tau}|\alpha|\right)^{-1} c_{0}$ вытекает (1.5). для всех $\bar{x} \in \mathbb{R}^{n+1}$, которое легко проверить. Таким образом, (6.6) влечет (1.5), если заметить, что С другой стороны, из (1.5) следует, что Сейчас заметим, что по неравенству треугольника следовательно, $\delta(\bar{j}) \geqslant \frac{1}{2}$, если $|j|^{2} \geqslant 2|\alpha|^{2} j_{n+1}^{2}+1$, так что в этом случае неравенство доказано при $\gamma \geqslant 2$. Но в оставшемся случае $|j|^{2} \leqslant$ $\leqslant 2|\alpha|^{2} j_{n+1}^{2}+1$ получим следовательно что и требовалось доказать. Мезер в [14] получил результат для монотонных закручивающих отображений, который может быть переформулирован в следующее утверждение для минимальных слоений на $T^{2}$, т.е. для $n=1$. В этом случае в условиях требуются константы $\gamma, \tau$ такие, что для всех рациональных чисел $p / q$. Число $\alpha$, для которого таких констант не существует называется числом Лиувилля. Они характеризуются следующим свойством: для любых больших чисел $\gamma, \tau$ существует рациональное число $p / q$ такое, что Примером числа Лиувилля является Числа Лиувилля образуют множество нулевой меры. Другими словами, диофантово условие является необходимым для теоремы 6.2. Что касается условия малости $|\lambda|$, то в $\S 2$ уже упоминался пример (2.3), для которого Бенгерт доказал, что не существует минимальных гладких слоений при $|\lambda|>\lambda^{*}(A)$ с вектором вращения $\alpha,|\alpha| \leqslant A$. Таким образом, в этом примере имеем минимальное слоение $\mathcal{F}^{\lambda}(\alpha)$ для достаточно малого $|\lambda|$, всегда предполагая выполненным (6.3), но для некоторого критического значения $\lambda$ слоение разрушается, переходя в «ламинацию», и дыры плотно располагаются на торе. Аналитически это значит, что решение $U=U^{\lambda}(x, \theta)$, описывающее $\mathcal{F}^{\lambda}(\alpha)$, является гладким для малых значений $|\lambda|$, но становится разрывным после некоторого критического значения. которая, очевидно, непрерывна. ДоказатЕльСТво. Можно предположить, что $\alpha_{1}>0$. Если то можно заключить из существование такого $s^{*}$, что Принцип максимума (предложение 4.4) влечет, что $u\left(x+s^{*} e_{1}\right) \equiv u(x)$, что противоречит (6.7). Следовательно, $u_{x_{1}} \geqslant 0$, и снова, исходя из принципа максимума, получим, что $u_{x_{1}}>0$. то любое и $\in \mathfrak{M}_{\alpha}$ порождает минимальное слоение, заданное функиией В этой теореме предполагается, что $\bar{\gamma}$ является рациональным вектором, т.к., в противном случае, $F$ должно быть независимо от $\bar{x}$, т. е. $F=F(p)$. В этом случае единственные минимальные слоения задаются параллельными гиперплоскостями.
|
1 |
Оглавление
|