a) Нелинейный маятник описывается дифференциальным уравнением
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=g(t)\sin (2\pi x),$$

где $x$ — угол, изображающий положение материальной точки и $g(t)$ вертикальная сила, и предположим, что она периодическая по $t$ с периодом 1. Для постоянной функции $g(t)$ смысл решения понятен благодаря сохранению энергии. В этом случае все решения за исключением асимптотических орбит (сепаратрис) периодические ${}^1$, если движение рассматривается на торе $T^2$, описанном с помощью $(t,x)$ по модулю 1 . В любом случае для всех решений $x=x(t)$ скорость $\dot{x}(t)$ ограничена для всех $t\in \mathbb{R}$. А так ли это для случая, когда сила $g(t)$ является периодической функцией от $t$ ?
Для наших целей назовем систему
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=v_x(t,x)$$

с $v=v(t,x)$ гладкой и периодической с периодом 1 по $t$ и (например, $v=-\frac{1}{2\pi }g(t)\cos (2\pi x)$ для (3.1)) устойчивой, если для каждого ее

решения выполняется
$$\underset{t\in \mathbb{R}}{sup}|\dot{x}(t)|<\mathrm{\infty }.$$

Устойчива ли каждая система вида (3.2) или можно ли раскачать систему периодической силой так, что угловая скорость становится неограниченной? Оказывается, каждая такая система устойчива в этом смысле. Как это доказать?

Система (3.2) представляет собой уравнение Эйлера вариационной задачи
$$\int F(t,x,\dot{x})dt,\text{ где }F(t,x,p)=\frac{1}{2}{p}^2+v(t,x).$$

Она также может быть записана в виде гамильтоновой системы
$$\dot{x}=H_y;\dot{y}=-H_x,\text{ где }H(t,x,y)=\frac{1}{2}{y}^2-v(t,x),$$

которая может рассматриваться как векторное поле в трехмерном фазовом пространстве $T^2\times \mathbb{R}$. Ограничено ли выражение $y=\dot{x}$ при всех $t$ ?
б) достаточным условием ограниченности выражения $y=y(t)$ для решения является то, что оно может быть заключено между двумя инвариантными торами, которые задаются двумя функциями $w_u=$ $=w_u(t,x),u=1,2$ периода 1 по $t,x$ через
$$y=w(t,x),w=w_1,w_2.$$

Назовем этот тор инвариантным, если векторное поле (3.4) является касательным к нему, так что торы могут рассматриваться как множество орбит. Если записать $w$ как производные по $x$ функции $S=S(t,x)$, т. е.
$$y=S_x(t,x),$$

то она определяет инвариантный тор тогда и только тогда, когда $S$ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
$$S_t+H(t,x,S_x)=f(t)$$

с произвольной функцией $f=f(t)$. Добавляя функцию от $t$ к $S$ (что не изменяет $w$ ) нахождение инвариантного тора можно свести к нахождению решения уравнения Гамильтона — Якоби ${}^1$
$$S_t+H(t,x,S_x)=0,$$

для которого $S_x(t,x)$ имеет период 1 по $t,x$. Хорошо известно, как решить уравнение Гамильтона-Якоби локально или даже как решить задачу с начальными условиями (задачу Коши), но это краевая задача, решение которой неочевидно.

Предположим, что мы нашли такое решение уравнения (3.6), а следовательно, и инвариантный тор, тогда и проекция фазового пространства $T^2\times \mathbb{R}\to T^2$ на тор, которая отображает $(t,x,y)$ на $(t,x)$ будет переводить орбиты на инвариантном торе в семейство кривых на $(t,x)$-торе. Очевидно, что эти кривые являются решениями системы
$$\dot{x}=S_x(t,x),\dot{t}=1,$$

которые определяют слоение на тора. Поскольку они также являются решениями уравнения Эйлера (3.2), они представляют собой минимальное слоение. И наоборот, любое минимальное слоение на торе, заданное гладким векторным полем
$$\dot{x}=w(t,x),\dot{t}=1$$

определяет инвариантный тор $y=w(t,x)$ в фазовом пространстве.
Таким образом, инвариантные торы соответствуют минимальному слоению рассмотренным ранее образом. Существуют традиционные обозначения: $t,x,\dot{x}$ должны быть заменены на $x,u,u_x$. Хорошо известен результат из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [21]) о том, что с такой системой (3.7) на $T^2$ можно связать число вращения $\alpha$. Если $\alpha$ иррационально, то решения имеют вид
$$x=\theta +p(t,\theta );\theta =\alpha t+\text{ const },$$

где $p$ имеет период 1 по $t,x$. Они квазипериодические с частотами $1,\alpha$, и частота $\alpha$ соответствует вектору наклона слоения, т. к. $x(t)-\alpha t$ ограничено.

Таким образом, чтобы решить нашу задачу устойчивости, достаточно показать, что в любой окрестности $y=\mathrm{\infty }$ :
$$N_{\epsilon }=\{(t,x,y)\in T^2\times \mathbb{R};|y|>{\epsilon }^{-1}\}$$

содержится инвариантный тор. Эту процедуру можно трактовать как нахождение минимального слоения для произвольно больших частот $|\alpha |$.

в) Вернемся к этой задаче в главе 3. Сейчас мы хотим объяснить соответствие понятий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, соответственно изображенных в таблице:

Отметим однако, что есть существенные различия. Понятие (динамической) устойчивости не имеет аналога для $n>1$, т.к. оно основывается на задаче с начальными условиями (задаче Коши), которая бессмысленна для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Теория канонических преобразований, основная в теории гамильтоновых систем, также не имеет аналога для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.
г) В следующих главах будут описаны два способа построения минимальных слоений или ламинаций для заданного вектора наклона $\alpha$. В следующем разделе мы получим обобщенное слоение, собирая вместе индивидуальные листы. В последнем разделе опишем альтернативный подход, в котором слоение возникает как минималь вырожденной вариационной задачи, которая будет решена с помощью регуляризации. Некоторые результаты были опубликованы в [17], но мы также приведем важный результат, полученный Бенгертом [3], в котором утверждается, что для заданной вариационной задачи и заданной $\alpha otin{\mathbb{Q}}^n$ соответствующая ламинация определяется однозначно.