Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике a) Нелинейный маятник описывается дифференциальным уравнением где $x$ – угол, изображающий положение материальной точки и $g(t)$ вертикальная сила, и предположим, что она периодическая по $t$ с периодом 1. Для постоянной функции $g(t)$ смысл решения понятен благодаря сохранению энергии. В этом случае все решения за исключением асимптотических орбит (сепаратрис) периодические ${ }^{1}$, если движение рассматривается на торе $T^{2}$, описанном с помощью $(t, x)$ по модулю 1 . В любом случае для всех решений $x=x(t)$ скорость $\dot{x}(t)$ ограничена для всех $t \in \mathbb{R}$. А так ли это для случая, когда сила $g(t)$ является периодической функцией от $t$ ? с $v=v(t, x)$ гладкой и периодической с периодом 1 по $t$ и (например, $v=-\frac{1}{2 \pi} g(t) \cos (2 \pi x)$ для (3.1)) устойчивой, если для каждого ее решения выполняется Устойчива ли каждая система вида (3.2) или можно ли раскачать систему периодической силой так, что угловая скорость становится неограниченной? Оказывается, каждая такая система устойчива в этом смысле. Как это доказать? Система (3.2) представляет собой уравнение Эйлера вариационной задачи Она также может быть записана в виде гамильтоновой системы которая может рассматриваться как векторное поле в трехмерном фазовом пространстве $T^{2} \times \mathbb{R}$. Ограничено ли выражение $y=\dot{x}$ при всех $t$ ? Назовем этот тор инвариантным, если векторное поле (3.4) является касательным к нему, так что торы могут рассматриваться как множество орбит. Если записать $w$ как производные по $x$ функции $S=S(t, x)$, т. е. то она определяет инвариантный тор тогда и только тогда, когда $S$ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби с произвольной функцией $f=f(t)$. Добавляя функцию от $t$ к $S$ (что не изменяет $w$ ) нахождение инвариантного тора можно свести к нахождению решения уравнения Гамильтона – Якоби ${ }^{1}$ для которого $S_{x}(t, x)$ имеет период 1 по $t, x$. Хорошо известно, как решить уравнение Гамильтона-Якоби локально или даже как решить задачу с начальными условиями (задачу Коши), но это краевая задача, решение которой неочевидно. Предположим, что мы нашли такое решение уравнения (3.6), а следовательно, и инвариантный тор, тогда и проекция фазового пространства $T^{2} \times \mathbb{R} \rightarrow T^{2}$ на тор, которая отображает $(t, x, y)$ на $(t, x)$ будет переводить орбиты на инвариантном торе в семейство кривых на $(t, x)$-торе. Очевидно, что эти кривые являются решениями системы которые определяют слоение на тора. Поскольку они также являются решениями уравнения Эйлера (3.2), они представляют собой минимальное слоение. И наоборот, любое минимальное слоение на торе, заданное гладким векторным полем определяет инвариантный тор $y=w(t, x)$ в фазовом пространстве. где $p$ имеет период 1 по $t, x$. Они квазипериодические с частотами $1, \alpha$, и частота $\alpha$ соответствует вектору наклона слоения, т. к. $x(t)-\alpha t$ ограничено. Таким образом, чтобы решить нашу задачу устойчивости, достаточно показать, что в любой окрестности $y=\infty$ : содержится инвариантный тор. Эту процедуру можно трактовать как нахождение минимального слоения для произвольно больших частот $|\alpha|$. в) Вернемся к этой задаче в главе 3. Сейчас мы хотим объяснить соответствие понятий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, соответственно изображенных в таблице: Отметим однако, что есть существенные различия. Понятие (динамической) устойчивости не имеет аналога для $n>1$, т.к. оно основывается на задаче с начальными условиями (задаче Коши), которая бессмысленна для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Теория канонических преобразований, основная в теории гамильтоновых систем, также не имеет аналога для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.
|
1 |
Оглавление
|