a) Нелинейный маятник описывается дифференциальным уравнением
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=g(t) \sin (2 \pi x),
\]

где $x$ — угол, изображающий положение материальной точки и $g(t)$ вертикальная сила, и предположим, что она периодическая по $t$ с периодом 1. Для постоянной функции $g(t)$ смысл решения понятен благодаря сохранению энергии. В этом случае все решения за исключением асимптотических орбит (сепаратрис) периодические ${ }^{1}$, если движение рассматривается на торе $T^{2}$, описанном с помощью $(t, x)$ по модулю 1 . В любом случае для всех решений $x=x(t)$ скорость $\dot{x}(t)$ ограничена для всех $t \in \mathbb{R}$. А так ли это для случая, когда сила $g(t)$ является периодической функцией от $t$ ?
Для наших целей назовем систему
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=v_{x}(t, x)
\]

с $v=v(t, x)$ гладкой и периодической с периодом 1 по $t$ и (например, $v=-\frac{1}{2 \pi} g(t) \cos (2 \pi x)$ для (3.1)) устойчивой, если для каждого ее

решения выполняется
\[
\sup _{t \in \mathbb{R}}|\dot{x}(t)|<\infty .
\]

Устойчива ли каждая система вида (3.2) или можно ли раскачать систему периодической силой так, что угловая скорость становится неограниченной? Оказывается, каждая такая система устойчива в этом смысле. Как это доказать?

Система (3.2) представляет собой уравнение Эйлера вариационной задачи
\[
\int F(t, x, \dot{x}) d t, \quad \text { где } \quad F(t, x, p)=\frac{1}{2} p^{2}+v(t, x) .
\]

Она также может быть записана в виде гамильтоновой системы
\[
\dot{x}=H_{y} ; \quad \dot{y}=-H_{x}, \quad \text { где } \quad H(t, x, y)=\frac{1}{2} y^{2}-v(t, x),
\]

которая может рассматриваться как векторное поле в трехмерном фазовом пространстве $T^{2} \times \mathbb{R}$. Ограничено ли выражение $y=\dot{x}$ при всех $t$ ?
б) достаточным условием ограниченности выражения $y=y(t)$ для решения является то, что оно может быть заключено между двумя инвариантными торами, которые задаются двумя функциями $w_{
u}=$ $=w_{
u}(t, x),
u=1,2$ периода 1 по $t, x$ через
\[
y=w(t, x), \quad w=w_{1}, w_{2} .
\]

Назовем этот тор инвариантным, если векторное поле (3.4) является касательным к нему, так что торы могут рассматриваться как множество орбит. Если записать $w$ как производные по $x$ функции $S=S(t, x)$, т. е.
\[
y=S_{x}(t, x),
\]

то она определяет инвариантный тор тогда и только тогда, когда $S$ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
\[
S_{t}+H\left(t, x, S_{x}\right)=f(t)
\]

с произвольной функцией $f=f(t)$. Добавляя функцию от $t$ к $S$ (что не изменяет $w$ ) нахождение инвариантного тора можно свести к нахождению решения уравнения Гамильтона — Якоби ${ }^{1}$
\[
S_{t}+H\left(t, x, S_{x}\right)=0,
\]

для которого $S_{x}(t, x)$ имеет период 1 по $t, x$. Хорошо известно, как решить уравнение Гамильтона-Якоби локально или даже как решить задачу с начальными условиями (задачу Коши), но это краевая задача, решение которой неочевидно.

Предположим, что мы нашли такое решение уравнения (3.6), а следовательно, и инвариантный тор, тогда и проекция фазового пространства $T^{2} \times \mathbb{R} \rightarrow T^{2}$ на тор, которая отображает $(t, x, y)$ на $(t, x)$ будет переводить орбиты на инвариантном торе в семейство кривых на $(t, x)$-торе. Очевидно, что эти кривые являются решениями системы
\[
\dot{x}=S_{x}(t, x), \quad \dot{t}=1,
\]

которые определяют слоение на тора. Поскольку они также являются решениями уравнения Эйлера (3.2), они представляют собой минимальное слоение. И наоборот, любое минимальное слоение на торе, заданное гладким векторным полем
\[
\dot{x}=w(t, x), \quad \dot{t}=1
\]

определяет инвариантный тор $y=w(t, x)$ в фазовом пространстве.
Таким образом, инвариантные торы соответствуют минимальному слоению рассмотренным ранее образом. Существуют традиционные обозначения: $t, x, \dot{x}$ должны быть заменены на $x, u, u_{x}$. Хорошо известен результат из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [21]) о том, что с такой системой (3.7) на $T^{2}$ можно связать число вращения $\alpha$. Если $\alpha$ иррационально, то решения имеют вид
\[
x=\theta+p(t, \theta) ; \quad \theta=\alpha t+\text { const },
\]

где $p$ имеет период 1 по $t, x$. Они квазипериодические с частотами $1, \alpha$, и частота $\alpha$ соответствует вектору наклона слоения, т. к. $x(t)-\alpha t$ ограничено.

Таким образом, чтобы решить нашу задачу устойчивости, достаточно показать, что в любой окрестности $y=\infty$ :
\[
N_{\varepsilon}=\left\{(t, x, y) \in T^{2} \times \mathbb{R} ;|y|>\varepsilon^{-1}\right\}
\]

содержится инвариантный тор. Эту процедуру можно трактовать как нахождение минимального слоения для произвольно больших частот $|\alpha|$.

в) Вернемся к этой задаче в главе 3. Сейчас мы хотим объяснить соответствие понятий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, соответственно изображенных в таблице:

Отметим однако, что есть существенные различия. Понятие (динамической) устойчивости не имеет аналога для $n>1$, т.к. оно основывается на задаче с начальными условиями (задаче Коши), которая бессмысленна для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Теория канонических преобразований, основная в теории гамильтоновых систем, также не имеет аналога для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.
г) В следующих главах будут описаны два способа построения минимальных слоений или ламинаций для заданного вектора наклона $\alpha$. В следующем разделе мы получим обобщенное слоение, собирая вместе индивидуальные листы. В последнем разделе опишем альтернативный подход, в котором слоение возникает как минималь вырожденной вариационной задачи, которая будет решена с помощью регуляризации. Некоторые результаты были опубликованы в [17], но мы также приведем важный результат, полученный Бенгертом [3], в котором утверждается, что для заданной вариационной задачи и заданной $\alpha
otin \mathbb{Q}^{n}$ соответствующая ламинация определяется однозначно.