a. Нашим отправным пунктом будет изучение автономных гамильтоновых дифференциальных уравнений вблизи точки равновесия, поскольку большинство типичных задач возникает уже в этом простейшем случае. В частности, нас будут интересовать вопросы устойчивости и задача о существовании интегралов и периодических решений.

Рассматриваемую гамильтонову систему запишем в векторном виде
\[
\dot{w}=J H_{w},
\]

где $w=\left(w_{1}, \ldots, w_{2 n}\right), J=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$ и через $H_{w}$ обозначен градиент $H$.
Без ограничения общности можно считать, что точка равновесия находится в начале координат, так что градиент $H$ при $w=0$ обращается в нуль. Предполагая, что $H$ является вещественно-аналитической функцией, представим ее степенным рядом от $w_{1}, \ldots, w_{2 n}$ начинающимся с членов 2-го порядка. В силу автономности системы (1) $H$ является интегралом движения. Интересная задача о существовании других

интегралов у рассматриваемой системы, функционально независимых от $H$, имеет длинную историю. Этим вопросом занимался еще Пуанкаре (ему принадлежит теорема о несуществовании однозначных интегралов); ею также занимался Зигель [29], [30]. Относящиеся сюда численные и аналитические исследования Контопулоса, проведенные недавно, позволят, быть может, взглянуть на этот тонкий вопрос по-новому.

Мы начнем с двух основных результатов: теоремы Ляпунова о существовании периодических решений и теоремы Биркгофа о существовании нормальной формы. Затем перейдем к вопросу о сходимости рядов, задающих преобразование к нормальной форме и некоторым последним результатам Густавсона [13] о нормальной форме в резонансном случае.
б. Периодические решения, теорема Ляпунова. Весьма важную роль в наших дальнейших рассуждениях будет играть линеаризованная система дифференциальных уравнений, которая определяется квадратичной частью $H_{2}$ гамильтониана. Будем предполагать, что эта линеаризованная система имеет только ограниченные решения, и более того, потребуем, чтобы собственные значения матрицы $J\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial w_{k} \partial w_{l}}\right)$ были чисто мнимы и притом различны. Как хорошо известно, в этом случае можно найти такое линейное каноническое преобразование координат, что $H_{2}$ в новых координатах приобретает вид
\[
H_{2}=\sum_{
u=1}^{n} \frac{\alpha_{
u}}{2}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)
\]

где $x_{
u}=w_{
u}, y_{
u}=w_{
u+n}$ при $
u=1,2, \ldots, n$. Это соответствует приведению матрицы к диагональному виду при помощи симплектической матрицы $^{1}$. В новых координатах решение линеаризованного уравнения выглядит очень просто:
\[
x_{
u}+i y_{
u}=c_{
u} e^{-i \alpha_{
u} t} .
\]

Стоит заметить, что все эти решения ограничены независимо от того, определена ли положительно $H_{2}$ или нет, поскольку $\alpha_{
u}$ вещественны (и различны, как мы предположили).

Чтобы получить информацию о нелинейной системе, мы сначала попытаемся найти для нее аналоги периодических решений
\[
x_{1}+i y_{1}=c_{1} e^{-i \alpha_{1} t}, \quad x_{
u}+i y_{
u}=0 \quad \text { для } \quad
u>1,
\]

так называемых «нормальных мод». Если воспользоваться геометрическим языком, то можно сказать, что эти решения заполняют двумерную плоскость $x_{1}, y_{1}$. Хорошо известен результат Ляпунова, согласно которому у нелинейной системы существует двумерное многообразие $x_{
u}=$ $=\varphi_{
u}\left(x_{1}, y_{1}\right), y_{
u}=\psi_{
u}\left(x_{1}, y_{1}\right)(
u=2, \ldots, n)$, заполненное периодическими решениями. Посредством канонического преобразования
\[
x_{
u}=u_{
u}(\xi, \eta), \quad y_{
u}=v_{
u}(\xi, \eta) \quad(
u=1, \ldots, n)
\]

мы переведем это многообразие в координатную плоскость $\xi_{1}, \eta_{1}$. Это означает, что для преобразованного гамильтониана $\Gamma(\xi, \eta)=H(x, y)$ выполняются условия $\Gamma_{\xi_{
u}}=\Gamma_{\eta_{
u}}=0$ при $\xi_{
u}=\eta_{
u}=0,
u=2, \ldots, n$. Другими словами, инвариантное многообразие определяется теперь соотношением $\xi_{
u}=\eta_{
u}=0(
u=2, \ldots, n)$.
Теперь мы можем сформулировать теорему Ляпунова.
Теорема 1 (А. М. Ляпунов). Если при всех $
u
eq 1$ отношение $\frac{\alpha_{
u}}{\alpha_{1}}$ не является целым, то существует каноническое преобразование, обратимое в окрестности $w=0$, которое приводит гамильтониан к виду
\[
\Gamma=\Phi\left(\xi_{1}^{2}+\eta_{1}^{2}\right)+O\left(\left|\omega^{\prime}\right|^{2}\right),
\]

где $\omega^{\prime}=\left(\xi_{2}, \ldots, \xi_{n}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{n}\right)$, а является функией единственной переменной $\rho=\xi_{1}^{2}+\eta_{1}^{2}$.

Доказательство этой теоремы можно найти в [31]. От читателя потребуются, однако, некоторые дополнительные усилия, чтобы установить каноничность приводящего преобразования, доказательство которой там опущено ${ }^{1}$.

Теорема Ляпунова утверждает, таким образом, что на многообразии $\omega^{\prime}=0$ рассматриваемая система приводится к гамильтоновой системе с одной степенью свободы, а именно
\[
\begin{array}{l}
\dot{\xi}_{1}=2 \Phi_{\rho} \eta_{1}, \\
\dot{\eta}_{1}=-2 \Phi_{\rho} \xi_{1},
\end{array}
\]

которая обладает только периодическими решениями
\[
\xi_{1}+i \eta_{1}=c e^{-2 i \Phi_{\rho} t},
\]

заполняющими все это многообразие, т.е. найденные решения составляют искомое семейство. Функция $\rho$, разумеется, постоянна на любом решении этой системы, т.е. является «интегралом движения». Полезно заметить, что частота $\alpha_{1}$ заменяется здесь функцией $2 \Phi_{\rho}$, которая, вообще говоря, зависит от $\rho$.

Эта теорема применима к целому ряду задач, в частности к изучению периодических решений вблизи точек равновесия $L_{4}, L_{5}$ в ограниченной задаче трех тел при достаточно малом параметре $\mu$.

С алгебраической точки зрения интересно отметить, что функция $\Phi$ инвариантна при канонических преобразованиях. Если обозначить через $I_{1}$ криволинейный интеграл
\[
I_{1}=\sum_{
u=1}^{n} \int y_{
u} d x_{
u}=2 \pi \rho,
\]

вычисленный вдоль периодических решений с периодами, близкими к $\frac{2 \pi}{\alpha_{1}}$, то точный период $\frac{\pi}{\Phi_{\rho}}$ оказывается инвариантно определенной функцией от $I_{1}=2 \pi \rho$. В частности, коэффициенты $\alpha_{1}, \beta, \gamma, \ldots$ разложения
\[
\Phi=\frac{\alpha_{1}}{2} \rho+\beta \rho^{2}+\gamma \rho^{3}+\ldots
\]

являются каноническими инвариантами, которые будут играть важную роль в дальнейшем.
в. Квазипериодические решения, теорема Биркгофа. Изложенные выше результаты относятся только лишь к некоторым периодическим решениям, к «нормальным модам», в то время как можно попытаться получить информацию обо всех решениях вблизи точки равновесия, что приводит к теореме Биркгофа; к ней мы сейчас и перейдем. Чтобы избежать принципиальных трудностей, связанных со сходимостью, все степенные ряды, с которыми нам придется иметь дело, включая и те, которые задают преобразования координат:
\[
x=u(\xi, \eta)=\xi+\ldots, \quad y=v(\xi, \eta)=\eta+\ldots,
\]

условимся считать формальными степенными рядами, т.е. заботиться об их сходимости мы не будем. Формальное преобразование будем называть каноническим, если оно задается производящей функцией
\[
W(x, \eta)=\sum_{
u=1}^{n} x_{
u} \eta_{
u}+\ldots
\]

также являющейся формальным рядом, с помощью формул
\[
\xi_{
u}=W_{\eta_{
u}}, \quad y_{
u}=W_{x_{
u}} .
\]

Теорема 2 (Дж.Биркгоф [5]). Если собственные числа $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ рационально независимы, то существует формальное каноническое преобразование (4), которое переводит $H(x, y)$ в формальный гамильтониaн
\[
\Gamma=\Gamma\left(\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right),
\]

являющийся степенным рядом от $\rho_{
u}=\xi_{
u}^{2}+\eta_{
u}^{2}$.
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем. Она, однако, содержится в более общей теореме 3 следующего пункта, которая будет доказана.

Теорема Биркгофа может рассматриваться как обобщение теоремы Ляпунова: если бы все ряды, о которых идет речь, сходились, то система
\[
\dot{\xi}_{
u}+i \dot{\eta}_{
u}=\Gamma_{\eta_{
u}}-i \Gamma_{\xi_{
u}}=-2 i \Gamma_{\rho_{
u}}(\rho)\left(\xi_{
u}+i \eta_{
u}\right)
\]

полностью интегрировалась бы и ее решения давались бы формулой
\[
\xi_{
u}+i \eta_{
u}=c_{
u} e^{-2 i \Gamma_{\rho_{
u}} t}
\]

а решения исходной системы имели бы вид
\[
x=u(\xi, \eta), \quad y=v(\xi, \eta)
\]

где $\xi, \eta$ – тригонометрические выражения (5). Координаты $x_{
u}$ следовательно, представлялись бы тригонометрическими рядами вида
\[
\sum_{j} c_{j} e^{2 i t\left\langle j, \Gamma_{\rho}\right\rangle},
\]

где вектор $j=\left(j_{1}, \ldots, j_{n}\right)$ имеет целочисленные компоненты, а скобки $\langle$,$\rangle означают скалярное произведение. Если подобный ряд сходит-$ ся, то его сумма именуется квазипериодической функцией. Квазипериодическая функция – это функция почти периодическая, характеризующаяся тем, что ее частоты имеют конечное число образующих, здесь $\Gamma_{\rho_{1}}, \ldots, \Gamma_{\rho_{n}}$.

Заметим, что если бы ряды для $\rho_{
u}=\xi_{
u}^{2}+\eta_{
u}^{2}$ сходились, то эти выражения были бы интегралами движения; в общем же случае мы можем говорить только о формальных интегралах. Ряд $G(x, y)$ мы называем формальным интегралом, если формальный степенной ряд $\frac{d}{d t} G$, иначе
\[
\sum_{
u=1}^{n} G_{x_{
u}} H_{y_{
u}}-G_{y_{
u}} H_{x_{
u}}=[G, H]
\]

равен нулю тождественно. Таким образом, выразив $\rho_{
u}$ через $x, y$, мы получим $n$ формальных интегралов. Ясно, что эти интегралы независимы (в формальном же смысле) друг от друга, но гамильтониан Г от них зависит, ибо представляется в виде формального ряда от $\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots, \rho_{n}$.

Все эти утверждения имели бы содержательный характер, если бы преобразование к нормальной форме выражалось сходящимися рядами. Однако, как теперь известно, эти ряды сходятся только в исключительных случаях, а в большинстве случаев (в смысле категорий Бэра) они расходятся. Это обстоятельство обязано – среди прочего – своим происхождением наличию так называемых малых знаменателей $\sum_{
u=1}^{n} j_{
u} \alpha_{
u}=$ $=\langle j, \alpha\rangle$, которые входят в коэффициенты $u, v$. Другое слабое место нереалистичность предположения о рациональной независимости $\alpha_{
u}$. Отметим контраст между этим предположением и предположением теоремы Ляпунова об отличии от нуля только выражений $j_{1} \alpha_{1}-\alpha_{
u}$ для $
u>1$. Как следствие эти выражения оказываются отделенными от нуля и сходимость обеспечена. В теореме 2 выражения $\langle j, \alpha\rangle$, как было предположено, отличны от нуля при $j
eq 0$, но тем не менее они подходят к нулю произвольно близко (если $n \geqslant 2$ ). Более того, в этой ситуации значения $\langle j, \alpha\rangle$ образуют плотное множество на вещественной оси.

Как и в предыдущем случае, можно показать, что нормальная форма $\Gamma$ инвариантна при канонических преобразованиях и что любое каноническое преобразование, переводящее одну «нормальную форму»

в другую, с гамильтонианом $\widetilde{\Gamma}=\widetilde{\Gamma}(\widetilde{\xi}, \widetilde{\eta})$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{\xi}_{
u}=\xi_{
u} \cos \psi_{\rho_{
u}}+\eta_{
u} \sin \psi_{\rho_{
u}}, \\
\widetilde{\eta}_{
u}=-\xi_{
u} \sin \psi_{\rho_{
u}}+\eta_{
u} \cos \psi_{\rho_{
u}}
\end{array}
\]

где $\psi$ – формальный степенной ряд от $\rho_{
u}=\xi_{
u}^{2}+\eta_{
u}^{2}$. Это в точности те канонические преобразования, которые сохраняют $\rho_{
u}=\xi_{
u}^{2}+\eta_{
u}^{2}$ и, следовательно, $\widetilde{\Gamma}=\Gamma$. Ясно, что они образуют коммутативную группу; это обстоятельство является центральным фактом в доказательстве инвариантности $\Gamma$.
г. Резонансный случай. Недавно Контопулос [6] при изучении галактических моделей рассмотрел некоторый класс задач, в которых допускаются резонансы. Численные исследования, в особенности те, которые были проведены Хеноном и Хейлесом [15], определенно указывали на то, что может существовать нетривиальный интеграл, отличный от рассмотренных ранее. Это представляется на первый взгляд весьма удивительным; но, как показал Густавсон [13], можно дать простое формальное построение этого интеграла ${ }^{1}$.
Хенон и Хейлес рассматривали гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left\{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{1}^{2} x_{2}-\frac{2}{3} x_{2}^{3}\right\}
\]

с двумя одинаковыми частотами $\alpha_{1}=\alpha_{2}=1$. Здесь метод, использованный нами выше, разумеется, неприменим, однако можно найти другую нормальную форму для гамильтониана, для которой соответствующий интеграл может быть вычислен сравнительно просто.

Мы начнем, следуя Густавсону, с более общей ситуации и попытаемся построить нормальную форму для произвольного гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{n} \alpha_{
u}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)+\ldots
\]

Рассмотрим все целочисленные векторы $j$, для которых
\[
\langle j, \alpha\rangle=0 .
\]

Они образуют модуль $J$, размерность которого мы обозначим через $r$. Для рационально независимых $\alpha$, например, $r=0$.

Помимо членов, входящих в старую нормальную форму, в новую войдут и другие. Переходя к комплексным переменным $\zeta_{
u}=\xi_{
u}+i \eta_{
u}$, $\bar{\zeta}_{
u}=\xi_{
u}-i \eta_{
u}$, разложим $\Gamma$ по произведениям
\[
\zeta^{k} \bar{\zeta}^{l}=\prod_{
u=1}^{n} \zeta_{
u}^{k_{
u}} \bar{\zeta}_{
u}^{l_{
u}}
\]

Говорят, что $\Gamma$ имеет нормальную форму, если ее разложение содержит только члены $\zeta^{k} \bar{\zeta}^{l}$ с $k-l \in J$, что равносильно требованию
\[
D \Gamma=0,
\]

где $D=\sum_{
u=1}^{n} \alpha_{
u}\left(\xi_{
u} \frac{\partial}{\partial \eta_{
u}}-\eta_{
u} \frac{\partial}{\partial \xi_{
u}}\right)$. То, что эти условия эквивалентны, очевидно, так как
\[
D\left(\zeta^{k} \bar{\zeta}^{l}\right)=i \sum_{
u=1}^{n} \alpha_{
u}\left(k_{
u}-l_{
u}\right)\left(\zeta^{k} \bar{\zeta}^{l}\right),
\]
т.е. $i\langle\alpha, k-l\rangle$ являются собственными числами дифференциального оператора $D$, действующего на формальных степенных рядах.

Теорема 3. ${ }^{1}$ Если модуль $J$ определяется условием (7), то существует формальное каноническое преобразование (4), такое, что гамильтониан $H(x, y)$ преобразуется к нормальной форме, т. е. справедливо равенство
\[
D \Gamma=0 .
\]

ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Мы попытаемся найти такую производящую функцию $W(x, \eta)$, чтобы преобразование, определяемое ею посредством уравнений $\xi=\frac{\partial W}{\partial \eta}$, $y=\frac{\partial W}{\partial x}$, переводило $H(x, y)$ в $\Gamma(\xi, \eta)$, другими словами, мы попытаемся решить уравнение
\[
H\left(x, W_{x}\right)=\Gamma\left(W_{\eta}, \eta\right)
\]

относительно $W$ и Г. Для этого мы сравним коэффициенты при соответствующих членах разложений, рассматривая $x, \eta$ как независимые величины.

Допустим, что разложение $W$ начинается с $\sum_{
u=1}^{n} x_{
u} \eta_{
u}$, т. е. линейная часть искомого преобразования есть просто тождественное отображение. Тогда функция $W$ имеет вид
\[
W=\sum_{
u=1}^{n} x_{
u} \eta_{
u}+W^{(3)}+\ldots+W^{(s)}+\ldots,
\]

где $W^{(s)}$ – однородный полином степени $s$ от $x, \eta$.
Выбор $W^{(2)}=\sum x_{
u} \eta_{
u}$ основан на том, что $H^{(2)}$ уже имеет нормальную форму. Мы можем продолжить по индукции, считая первый шаг сделанным. Пусть $W^{(2)}, \ldots, W^{(s-1)}$ уже определены таким образом, что $\Gamma^{(2)}, \ldots, \Gamma^{(s-1)}$ имеют требуемую форму. Приравнивая члены порядка $s$ в (8), мы получим уравнение
\[
\begin{array}{c}
D W^{(s)}+\Gamma^{(s)}=P^{(s)}(x, \eta) ; \\
D=\sum_{
u=1}^{n} \alpha_{
u}\left(x_{
u} \frac{\partial}{\partial \eta_{
u}}-\eta_{
u} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}\right)
\end{array}
\]

для $W^{(s)}(x, \eta)$, где $P^{(s)}(x, \eta)$ есть однородный полином степени $s$, а его коэффициенты выражаются через коэффициенты $H$ и через коэффициенты полиномов $W^{(2)}, \ldots, W^{(s-1)}$, которые уже определены.

Выразим переменные $x$ и $\eta$, входящие в уравнение (9), через комплексные переменные ${ }^{1}$
\[
\zeta_{
u}=x_{
u}+i \eta_{
u} ; \quad \bar{\zeta}_{
u}=x_{
u}-i \eta_{
u}
\]

и вспомним, что
\[
D\left(\zeta^{k} \bar{\zeta}^{l}\right)=i\langle\alpha, k-l\rangle \zeta^{k} \bar{\zeta}^{l} .
\]

Любой однородный полином, скажем $P$, можно разбить на две части $P=P_{N}+P_{R}$, где $P_{N}$ содержит все члены $P$ нормального вида, т.е. те, которые допускались в нормальной форме, тогда как $P_{R}$ содержит оставшиеся члены. Ясно, что это разбиение единственно и мы имеем $D P_{N}=0$. Отметим, что $(D W)_{R}=D W$ для любого $W$, поэтому уравнение (9) приводит к системе
\[
D W^{(s)}=P_{R}^{(s)}, \quad \Gamma^{(s)}=P_{N}^{(s)} .
\]

Первое уравнение разрешимо относительно $W^{(s)}$, поскольку $P_{R}^{(s)}$ содержится в образе $D$, а второе определяет требуемое $\Gamma^{(s)}$, т.е. такое, что $D \Gamma^{(s)}=0$. Этим индукция, а следовательно, и доказательство заканчиваются.

При $J=0$ эта теорема совпадает с теоремой Биркгофа, которая тем самым в ней содержится.

Заметим, снова опуская вопрос о сходимости, что можно построить $n-r$ независимых интегралов вида
\[
G=\sum_{
u=1}^{n} \gamma_{
u}\left(\xi_{
u}^{2}+\eta_{
u}^{2}\right), \quad \text { где } \quad \gamma \perp J .
\]

Действительно,
\[
\frac{d}{d t} G=\sum_{
u=1}^{n} G_{\xi_{
u}} \Gamma_{\eta_{
u}}-G_{\eta_{
u}} \Gamma_{\xi_{
u}}=2 \sum_{
u=1}^{n} \gamma_{
u}\left(\xi_{
u} \Gamma_{\eta_{
u}}-\eta_{
u} \Gamma_{\xi_{
u}}\right),
\]

и если $\Gamma$ мы выразим через $\zeta, \bar{\zeta}$, то общий член $\zeta^{k} \bar{\zeta}^{l}$ будет умножаться на $2 i\langle\gamma, k-l\rangle$, где $k-l \in J$. Следовательно, если мы выберем $\gamma \perp J$, то $G$ будет формальным интегралом. Так как $J$ имеет размерность $r$, мы можем найти $n-r$ линейно независимых векторов $\gamma$ и, следовательно, $n-r$ функционально независимых интегралов, что мы и хотели показать.

Для гамильтониана (6) эти интегралы были вычислены Густавсоном; его результаты очень хорошо согласуются с результатами Хенона и Хейлеса, по крайней мере для величин энергии, не превышающих $\frac{1}{8}$. В примере у нас $n=2, r=1, J: j_{1}+j_{2}=0$, и чтобы получить второй интеграл, мы можем положить $\gamma_{1}=\gamma_{2}=1$, что дает
\[
G=\left(\xi_{1}^{2}+\eta_{1}^{2}\right)+\left(\xi_{2}^{2}+\eta_{2}^{2}\right) .
\]

Если $H$ преобразовано к нормальной форме $\Gamma$, то
\[
2 \Gamma=\xi_{1}^{2}+\eta_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\eta_{2}^{2}+\ldots
\]

начинается с тех же самых членов, что и $G$, и выражение $2 \Gamma-G$ дает нам, вообще говоря, еще один интеграл. Возможно, конечно, что этот интеграл зависит от $G$; так бы и случилось, если бы Г было степенным рядом от $G$. Прямые вычисления показывают, однако, что это не так.

Заметим, что коэффициенты $Г$, вообще говоря, не инвариантны относительно канонических преобразований. Это происходит из-за того, что преобразования нормальной формы в себя не образуют коммутативную группу.

д. Численные результаты. Для того чтобы представить свои численные результаты графически, Хенон и Хейлес заменили некоторым стандартным образом четырехмерный поток двумерным отображением. Используя сохранение $H$ вдоль траекторий, они ограничились рассмотрением движений на трехмерном многообразии $H=E$, где $E>0$. На этой изоэнергетической гиперповерхности была выделена двумерная поверхность $x_{1}=0$ и отмечались последовательные точки, в которых частное решение пересекает эту поверхность.
Если исключить $y_{1}$, используя уравнение
\[
H=\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+x_{1}^{2} x_{2}-\frac{1}{3} x_{2}^{3}=E,
\]

и положить $x_{1}=0$, то в качестве координат на двумерной поверхности можно использовать $x_{2}, y_{2}$. Так как $y_{1}^{2} \geqslant 0$, на эти координаты налагается ограничение
\[
\frac{1}{2}\left(y_{2}^{2}+x_{2}^{2}\right)-\frac{1}{3} x_{2}^{3} \leqslant E .
\]

В этой области, которая при малых значениях $E$ представляет собой овал, Хенон и Хейлес отметили последовательные точки попадания решения на секущую поверхность (рис. $1^{\prime}-4^{\prime}$ ). Оказалось, что для малых значений $E$ эти точки имеют тенденцию группироваться в семейство кривых на плоскости ${ }^{1}$. При возрастании же $E$ эта структура довольно внезапно начинает распадаться (см. рис. $3^{\prime}, 4^{\prime}$ ).

Наличие структуры семейства кривых, наблюдаемое при малых значениях $E$, отчетливо указывает на существование интеграла. А именно, если $G$ – интеграл, то последовательный ряд точек пересечения принадлежит множеству $G=$ const, которое представляет собой кривую на плоскости. Используя найденный выше формальный интеграл, Густавсон вычислил соответствующее семейство кривых. Он

Рис. 1′. Результаты непосредственного интегрирования при $E=0.04167$
Рис. 1\”. Линии уровня формального интеграла при $E=0.04167$

Рис. 2′. Результаты непосредственного интегрирования при $E=0.08333$
Рис. 2\”. Линии уровня формального интеграла при $E=0.08333$

отбросил члены выше 8-го порядка и использовал этот приближенный интеграл для вычислений, иллюстрируемых рисунками $1^{\prime \prime}-4^{\prime \prime}$. Сравнение пар рисунков демонстрирует превосходное совпадение только при $E \leqslant \frac{1}{12}$, тогда как при $E=\frac{1}{8}$ и $E=\frac{1}{6}$ у Хенона и Хейлеса кривые распадаются, что, конечно, с результатами Густавсона не согласуется. Это расхождение представляет собой недвусмысленное указание

Рис. $3^{\prime}$. Результаты непосредственного интегрирования при $E=0.125$
Рис. $3^{\prime \prime}$. Линии уровня формального интеграла при $E=0.125$

Рис. 4′. Результаты непосредственного интегрирования при $E=0.16667$

на расходимость рядов, фигурирующих в рассуждениях. Мы вернемся к вопросу о сходимости и расходимости этих рядов в следующей главе.

Тем не менее, несмотря на предположительную расходимость, формальный интеграл отражает действительную ситуацию с большой степенью точности. Это явление очень похоже на использование расходящихся рядов для получения асимптотики. $К$ примеру, функция
\[
f(x)=\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{1-t x} d t, \quad x<0,
\]

имеет формальное тейлоровское разложение $\sum_{n=0}^{\infty} n ! x^{n}$, которое, понятно, расходится, но весьма полезно для численных оценок интеграла.

Однако у этой аналогии есть дефект: упомянутая функция $f(x)$ корректно определена, независимо от своего разложения в ряд, в то время как интеграл $G$ существовать не обязан. Другими словами, наши ряды аппроксимируют, возможно, несуществующий интеграл!
е. Мы упомянем о другом подходе к построению нормальной формы. Вместо процедуры исключения нерезонансных членов, основанной на использовании линеаризованного уравнения (что дает в конце концов нормальную форму), можно использовать нелинейную аппроксимацию системы. Малые знаменатели оказываются тогда не числами, а полиномами, что приводит к разложениям по рациональным функциям. Такая процедура намечена в [20] и проведена Глиммом в [11].