Следующая лемма дает оценку для решения уравнения (14). Будем считать, что $u$ задана, а $w$ неизвестна.
Лемма 8. Положим, что $и(\theta)$ удовлетворяет
\[
\left(u, u^{+}\right) \in \mathscr{D}_{R} \quad n p u|\operatorname{Im} \theta|<r,
\]
$u$
\[
\left|u_{\theta}\right|_{r}<N, \quad\left|u_{\theta}^{-1}\right|_{r}<N \quad n p u|\operatorname{Im} \theta|<r .
\]

Тогда (14) имеет единственное решение $w \in W_{\rho}, c w_{0} \equiv \int_{0}^{1} w d \theta=0$ при любом $0<\rho<r$, и поправка $v=u_{\theta} w$ удовлетворяет оценкам
\[
|v|_{\rho} \leqslant \frac{c}{(r-\rho)^{2 \tau}}|E(u)|_{r}, \quad\left|v_{\theta}\right|_{\rho} \leqslant \frac{c}{(r-\rho)^{2 \tau+1}}|E(u)|_{r},
\]

где $c=c(M, N, K, \sigma) u \tau=2+\sigma$.
Мы докажем эту лемму двукратным применением более простой леммы:

Лемма 9 (Уменьшение области аналитичности). Пусть $\omega$ удовлетворяет условию диофантовости (9), и пусть $g \in W_{r}$ имеет нулевое среднее значение $[g]=0$. Тогда уравнение
\[

abla \psi=g,
\]

имеет единственное решение $\psi \in W_{r^{\prime}} c[\psi]=0$ при любом $0<r^{\prime}<r$. Кроме того,
\[
|\psi|_{r^{\prime}}<c(K, \sigma) \frac{|g|_{r}}{\left(r-r^{\prime}\right)^{\tau}} .
\]

ДоКаЗаТЕЛЬСТво ЛЕМмЫ 9.
Коэффициенты Фурье величин $g$ и $\psi$ связаны соотношениями
\[
\psi_{n}=\frac{g_{n}}{e^{2 \pi i n \omega}-1}
eq 0, \quad \psi_{0}=0 .
\]

Условие диофантовости (9) дает нижнюю границу на знаменатели:
\[
\left|e^{2 \pi i n \omega}-1\right|>\frac{c(K)}{|n|^{1+\sigma}},
\]

в то время как $g \in W_{r}$ означает, что
\[
\left|g_{n}\right| \leqslant|g|_{r} e^{-2 \pi|n| r} .
\]

Используя (23) и (22) в (21), получаем при $0<r^{\prime}<s<r$ :
\[
\begin{aligned}
\left|\psi_{n}\right| \leqslant\left.\left|g{ }_{r} c^{-1}(K) e^{-2 \pi r|n|}\right| n\right|^{1+\sigma} & \\
& =|g|_{r} c^{-1}(K) e^{-2 \pi s|n|} e^{-2 \pi(r-s)|n|}|n|^{1+\sigma} .
\end{aligned}
\]

Оценим правую часть, используя оценку $x e^{-x} \leqslant e^{-1}$ при положительных $x$, которая при $x=\frac{a|n|}{b}$ дает неравенство $e^{-a|n|}|n|^{b} \leqslant e^{-b}(b / a)^{b}$ для всех $n$; при $a=2 \pi(r-s)$ и $b=1+\sigma$ получаем
\[
\left|\psi_{n}\right| \leqslant c_{1}(K, \sigma)|g|_{r} \frac{1}{(r-s)^{1+\sigma}} e^{-|n| 2 \pi s} .
\]

Из этой оценки для $\psi_{n}$ будем иметь
\[
\begin{aligned}
|\psi|_{r^{\prime}} \leqslant \sum\left|\psi_{n}\right| e^{|n| 2 \pi r^{\prime}} & \\
& \leqslant \frac{2 c_{1}|g|_{r}}{(r-s)^{1+\sigma}}\left(1-e^{-2 \pi\left(s-r^{\prime}\right)}\right)^{-1} \leqslant \frac{2 c_{1}|g|_{r}}{(r-s)^{1+\sigma}\left(s-r^{\prime}\right)},
\end{aligned}
\]

что при $s=\frac{r+r^{\prime}}{2}$ дает $^{1}$ требуемую оценку (20) для $\psi$. Это завершает доказательство леммы 9.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 8.
Вводя сокращения $\left(h_{12} u_{\theta} u_{\theta}^{+}\right)^{-1}=p$ и $-u_{\theta} E(u)=g$, перепишем (14) в виде системы:
\[
\left\{\begin{aligned}

abla^{*} \psi & =g \\
p^{-1}
abla w & =\psi+\mu
\end{aligned}\right.
\]

где $\mu$ — константа, которую необходимо подобрать. По лемме 9 (напомним, что среднее значение $[g]=0$, в соответствии с (4)) получаем единственную функцию $\psi$ с нулевым средним, удовлетворяющее условию (20):
\[
|\psi|_{r^{\prime}} \leqslant \frac{c(K, \sigma)}{\left(r-r^{\prime}\right)^{\tau}}|g|_{r}
\]

при любом $0<r^{\prime}<r$. Теперь определим $w$ из второго уравнения системы $(25):
abla w=p(\psi+\mu)$. Поскольку левая часть имеет нулевое среднее значение, необходимо, чтобы и правая часть удовлетворяла этому условию:
\[
\mu=-\frac{\int p \psi d \theta}{\int p d \theta}
\]

Из приведенных оценок на $h_{12}$ и $u_{\theta}$ получаем $|\mu|<\kappa M N^{4} c \frac{|g|_{r}}{\left(r-r^{\prime}\right)^{\tau}}$. Теперь можно заключить, что существует единственное решение $w$,

удовлетворяющее соотношениям
\[
|w|_{\rho} \leqslant c_{1} \frac{|p(\psi+\mu)|_{r^{\prime}}}{\left(r^{\prime}-\rho\right)^{\tau}} \leqslant \frac{c_{2}}{\left(r^{\prime}-\rho\right)^{\tau}\left(r-r^{\prime}\right)^{\tau}}|g|_{r} ;
\]

здесь во втором неравенстве были использованы (26) и (27). Полагая $r^{\prime}=(r+\rho) / 2$ и учитывая, что $\left|u_{\theta}\right|<N$, получим:
\[
|w|_{\rho} \leqslant \frac{c_{3}}{(r-\rho)^{2 \tau}}|E(u)|_{r}, \quad c_{3}=c_{3}(M, N, K, \kappa, \sigma) .
\]

Используя снова $\left|u_{\theta}\right| \leqslant N$, получаем первую оценку в (18). Используя оценку Коши $\left|v_{\theta}\right|_{\rho} \leqslant \frac{|v|_{r}}{s-\rho}$ (при подходящем $s$ ), получаем также второе неравенство в (18). Это завершает доказательство леммы 8 и анализ гомологического уравнения.