А. Малое закручивание
1) Формулировка результата. Для некоторых применений важно рассмотреть случай, где «закручивание» $\frac{\partial x_2}{\partial y_1}$ в формулах (10) мало. В этом вырожденном случае возникают трудности в представлении отображения с помощью производящих функций, поскольку это требует решения уравнения $x_2=f(x_1,y_1)$ для $y_1$. С другой стороны, эта ситуация неизбежна, так как она возникает, например, в задаче устойчивости эллиптической неподвижной точки сохраняющего площадь отображения. Покажем, как можно преодолеть эти трудности,

в основном с помощью соответствующего масштабирования и введения подходящей производящей функции. В следующем разделе мы применим результирующую теорему к упомянутой задаче устойчивости.

Предположим, что сохраняющее площадь вещественно-аналитическое отображение $\phi$ зависит от параметра $\gamma \in (0,1)$ и имеет вид
$$\begin{array}{l}{x}_2=x_1+a(\gamma )+\gamma y_1+f(x_1,y_1,\gamma )\\ y_2=y_1+g(x_1,y_1,\gamma ),\end{array}$$

где функции в правой части аналитичны в комплексном диске $\left|y_1\right|⩽1$ и в $\left|\mathrm{Im}{x}_1\right|⩽r$. Обозначим через $W_{r,s}$ пространство вещественно аналитических функций, ограниченных и аналитических в $\left|y_1\right|<s$, $\left|\mathrm{Im}{x}_1\right|<r$ периода 1 по $x_1$, с нормой $|f{|}_{r,s}=sup|f|$ в этой области.

Теорема 12. Существует положительная константа $\delta$, независящая от $\gamma \in (0,1)$, такая, что если
$$|f{|}_{r,1}+|g{|}_{r,1}<\gamma \delta ,$$

то существует инвариантная кривая $x_1=u(\theta ),y_1=v(\theta )$ в $-1<v(\theta )<1$. Iри этом как $u(\theta )-\theta =\hat{u}(\theta )$, так и $v(\theta )$ имеют период, равный единице, и являются вещественно-аналитическими и $u_{\theta }>0$.

Данная теорема отличается от предыдущей, так как число вращения $\omega$ не задано, а должно быть построено в интервале длины $\gamma$. Условия гладкости на $a(\gamma )$ накладывать не обязательно. Как правило, эта теорема используется следующим образом: если $|f{|}_{r,1}+|g{|}_{r,1}=o(\gamma )$, то существует инвариантная кривая при достаточно малых $\gamma$. (Здесь использованы обозначения Ландау: $f=o\left({\gamma }^k\right)$ означает $|f|{\gamma }^{-k}\to 0$ при $\gamma \to 0$, в то время как $f=O\left({\gamma }^k\right)$ означает, что $|f|{\gamma }^{-k}$ ограничено.)
2) Производящая функция. Для того чтобы построить производящую функцию для данного отображения, будем использовать в качестве независимых переменных не $x_1,x_2$, а $x_1$ и масштабированную переменную $p={\gamma }^{-1}(x_2-x_1-a(\gamma ))$, так что
$$p=y_1+{\gamma }^{-1}\dot{f}(x_1,y_1,\gamma ).$$

Так как ${\gamma }^{-1}f=O(\delta )$ предполагается малой, можно решить это уравнение при $y_1=F(x_1,p,\gamma )=p+O(\delta )$, и, подставляя это во второе уравнение системы (39), получаем $y_2=G(x_1,p,\gamma )=p+O(\delta )$. Эти функции могут быть определены при $|p|<\vartheta$ и любом $0<\vartheta <1$, например, при $\vartheta =\frac{3}{4}$, если $\delta$ достаточно мало.

Теперь воспользуемся тем, что $y_{2}d{x}_2-y_{1}d{x}_1$ является полным дифференциалом, а, следовательно,
$${\gamma }^{-1}(y_{2}d{x}_2-y_{1}d{x}_1)={\gamma }^{-1}(y_2-y_1)d{x}_1+y_{2}dp:=dl(x_1,p,\gamma ),$$

что определяет производящую функцию $l=l(x_1,p,\gamma )$ с точностью до константы. Таким образом, имеем $y_2-y_1=G-F=\gamma l_{x_1},y_2=G=l_p$, так что $l(x_1,p)=\frac{1}{2}{p}^2+O(\delta )$, где оценка предполагается однородной по $\gamma$.

Если сравнить эту производящую функцию $l(x_1,p$ ) (мы опускаем $\gamma )$ с $h=h(x_1,x_2)$, то найдем соотношение $l(x_1,p)={\gamma }^{-1}h(x_1,x_1+$ $+a+\gamma p)$. Заметим, что область определения $h$ зависит от $\gamma$, в то время как для $l$ она фиксирована, например, $|p|<\vartheta$.

Функцию $l(x,p)$ можно рассматривать как дискретный аналог функции Лагранжа $L(x,\dot{x})$ в механике.
3) Разностное уравнение. Выразим условие, что $x_1=u(\theta )=$ $=\theta +\hat{u}(\theta ),y_1=v(\theta )$ представляет инвариантную кривую с числом вращения $\omega$, которое еще необходимо определить. Заметим, что инвариантность требует, чтобы $x_2=u(\theta +\omega )$, следовательно,
$$p={\gamma }^{-1}(u^{+}-u-a)=abla\hat{u}+\alpha$$

где мы определили масштабированные $abla$ и $\alpha$ через $ablaf={\gamma }^{-1}(f(\theta +\omega )-$ $-f(\theta )),\alpha ={\gamma }^{-1}(\omega -a)$. Аналогично, определим масштабированный функционал $E(u)(={\gamma }^{-1}(h_1(u,u^{+})+h_2(u^{-},u)))$ через
$$E(u)={\gamma }^{-1}(l_p-l_p^{-})-l_{x_1}=abl{a}^{\ast }{l}_p(x_1,abla\hat{u}+\alpha )-l_{x_1}(x_1,abla\hat{u}+\alpha ).$$

Уравнение $E(u)=0$ можно рассматривать как аналог уравнения Эйлера в механике.
4) Определение $\mathit{\omega }$. Для того, чтобы найти решение уравнения $E(u)=0$, необходимо определить $\omega$, так чтобы $\alpha$ лежало в области определения $l$. Достаточно, чтобы
$$|\omega -a|<\gamma /2,\text{ так что }-\frac{1}{2}<\alpha <\frac{1}{2}.$$

Если мы хотим найти число $\omega$ на этом интервале, удовлетворяющее условию диофантовости, необходимо заменить множитель $K$ в (9) на $\gamma K$ и потребовать, чтобы
$$|\omega -\frac{p}{q}|⩾\gamma K{q}^{-\sigma -2}.$$

Можно показать простыми аналитическими рассуждениями, что при $\gamma >0$ существует число $\omega =\omega (\gamma )$, удовлетворяющее этим двум требованиям (см. Зигель-Мозер [15]).

Зафиксировав $\omega$, имеем при $u_0=\theta$, что $E\left(u_0\right)=abl{a}^{\ast }(\alpha )+O(\delta )=$ $=O(\delta )$.

Теперь можно действовать, как при доказательстве основной теоремы:

Теорема 13. При $\omega$, выбранном как указано выше, существует ${\delta }^{\prime }>0$, зависящее от $r,\sigma ,K$, но не зависящее от $\gamma$ так, что если ${\left|E\left(u_0\right)\right|}_r<{\delta }^{\prime }$, то существует единственное решение $u(\theta )$ уравнения $E(u)=0$ с $\hat{u}(\theta )=u(\theta )-\theta \in W_{r/2}$ и нулевым средним значением.

5) Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему; необходимо просто проверить, что оценки леммы 9 все еще справедливы, однородность по $\gamma$ при использовании масштабированного $abla$ и модифицированного условия диофантовости (40). Действительно, малые делители можно оценивать независимо от $\gamma$ следующим образом. Если $m$ выбрано целым, удовлетворяющим $|n\omega -m|⩽\frac{1}{2}$, то
$${\gamma }^{-1}|e^{2\pi in\omega }-1|={\gamma }^{-1}2\sin \pi |n\omega -m|⩾{\gamma }^{-1}\mathrm{\Lambda }|n\omega -m|⩾4K{n}^{-\sigma -1}.$$

Окончание доказательства очевидно.

В. Устойчивость эллиптических неподвижных точек

Сохраняющее площадь вещественно-аналитическое отображение $\phi$ в окрестности неподвижной точки, которая принимается за начало координат, можно записать в виде $\phi :(u,v)\to (u\cos \alpha -v\sin \alpha ,u\sin \alpha +$ $+v\cos \alpha )+O(u^2+v^2)$, или в комплексных обозначениях при $w=u+iv$
$$w\to w{e}^{i\alpha }+O\left(|w{|}^2\right).$$

Если $q\alpha /2\pi$ нецелое для $q=1,2,\dots ,k$, то можно найти симплектические координаты такие, что отображение будет нормальной формой Биркгофа с точностью до порядка $k-1$, т.е.
$$w\to w{e}^{i\psi }+O\left(|w{|}^k\right),$$

где $\psi$ — вещественный полином степени $⩽\frac{k}{2}-1$ в $|w{|}^2$. Его коэффициенты инвариантны под действием симплектических преобразований; это так называемые инварианты Биркгофа.

Теорема 14. Если в (41) $\psi$ не константа, то начало координат является устойчивой неподвижной точкой при отображении $\phi$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.

Можно считать, что $\psi =\alpha +\beta |w{|}^{2m}$, где $\beta eq0$ и $2⩽2m⩽k-1$. Останавливаясь на порядке $2m+2$, можно положить, что отображение имеет вид
$$w\to w{e}^{i\psi }+O\left(|w{|}^{2m+2}\right),\psi =\alpha +\beta |w{|}^{2m}.$$

Поскольку при ${\phi }^{-1}$ коэффициент $\beta$ заменяется на $-\beta$, можно также положить $\beta >0$. Устойчивость будет установлена представлением инвариантных кривых, окружающих начало координат в любой его окрестности. Точнее, такие инвариантные кривые будут построены в любом кольце
$${\epsilon }^2(1-{\epsilon }^u)⩽|w{|}^2⩽{\epsilon }^2(1+{\epsilon }^u),u=\frac{1}{3}$$

при достаточно малом $\epsilon >0$. Заметим, что это кольцо довольно узкое, поскольку его ширина порядка ${\epsilon }^{1+u}={\epsilon }^{4/3}$, что мало по сравнению с радиусом $\epsilon$.

Существование инвариантных кривых будет выведено из теоремы предыдущего раздела с использованием подходящих «полярных координат» $x,y$, которые определены как
$$w=\epsilon \sqrt{1+{\epsilon }^{u}y}\cdot e^{2\pi ix},$$

так что кольца задаются в виде $-1⩽y⩽1$. Можно проверить, что якобиан этой замены координат равен константе, а именно $-\pi {\epsilon }^{2+u}$. Следовательно, преобразованное отображение $(x_1,y_1)\to (x_2,y_2)$ будет сохранять элемент площади $dx\wedge dy$ и, фактически, будет точным симплектическим.

Для того чтобы записать отображение в этих координатах, заметим, что для мнимой точки $w_2=\phi (w)$ имеем ${\left|w_2\right|}^2=|w{|}^2+$ $+O\left(|w{|}^{2m+3}\right)$, таким образом ${\epsilon }^2(1+{\epsilon }^u{y}_2)={\epsilon }^2(1+{\epsilon }^u{y}_1)+O\left({\epsilon }^{2m+3}\right)$ или $y_2=y_1+O\left({\epsilon }^{2m+1-u}\right)$. Аналогично, находим $x_2=x_1+\frac{1}{2\pi }(\alpha +\beta {\epsilon }^{2m}(1+$ ${+{\epsilon }^u{y}_1)}^m)+O\left({\epsilon }^{2m+1}\right)$ или, раскладывая в ряд по степеням $m$, получаем
$$x_2=x_1+a+\gamma y_1+O\left({\epsilon }^{2m+2u}\right),y_2=y_1+O\left({\epsilon }^{2m+1-u}\right),$$

где $a=\frac{1}{2\pi }(\alpha +\beta {\epsilon }^{2m}),\gamma =\frac{m\beta }{2\pi }{\epsilon }^{2m+u}>0$. Заметим, что два поправочных члена имеют одинаковый порядок в силу выбора $u$.

Это отображение имеет вид, необходимый для применимости теоремы предыдущего раздела, и так как ${\epsilon }^{2m+2u}={\epsilon }^{2m+1-u}=O\left({\gamma }^{1+\mu }\right)$ при $\mu =\frac{1}{6m+1}>0$, поправочный член существенно мал по сравнению с $\gamma$. Кроме того, отображение вещественно-аналитическое в $\left|y_1\right|<1$, $\left|\mathrm{Im}{x}_1\right|<r$. Таким образом, при достаточно малых $\epsilon$ каждое такое кольцо содержит инвариантную кривую, что и доказывает наше утверждение.

C. Замечания по литературе

Первоначальная теорема об инвариантной кривой [8] была доказана при других предположениях. При этом отображение не было ни вещественно аналитическим, ни точно симплектическим, а только достаточно гладким отображением, удовлетворяющим определенному свойству пересечения кривых (которое входит также в доказательство Дж. Д. Биркгофа обобщения «последней геометрической теоремы Пуанкаре» [1]). В этом смысле представленное утверждение более ограничено, но тем не менее достаточно для многих применений. Следует заметить, что наше доказательство может быть расширено на случай гладких сохраняющих площадь отображений, используя метод аппроксимаций, описанный в [11], [14]. Случай вещественно-аналитических отображений, удовлетворяюцих свойству пересечений кривых, был рассмотрен в [15], но с использованием теории преобразований.

Как упомянуто во введении, представленное доказательство возникает при изучении аналогичных теорем для дифференциальных уравнений в частных производных, где теория канонических преобразований неприменима. Это было проделано в [9], где также можно найти прием «вариации произвольных постоянных». В гамильтоновом случае соответствующее доказательство было проведено Саламоном и Зиндером в [14].

Существует обширная литература по более тонким вопросам, касающимся теоремы об инвариантных кривых. Например, предположение о минимальной гладкости для применимости теоремы было изучено Рюссманом [12] и в развернутых статьях М. Эрмана [3], [4], где можно найти дальнейшие результаты по этой задаче, например, по разрушению инвариантных кривых. В аналитическом случае условие диофантовости можно заменить более слабым, так называемым условием Брюно. Этот случай был подробно исследован Рюссманом, см. [13]. В частнос-

ти, мы хотим указать на то, что его аргументы в [12] и [10] приводят к улучшенным оценкам в лемме 9: можно заменить величину $\sigma +2$ на $\sigma +1$ в (20), и, следовательно, $\tau =\sigma +2$ на $\tau =\sigma +1$ в тексте, следуя лемме.

Представленный список литературы, конечно, не полный, и читатель может найти дополнительную информацию в цитированных работах. В частности, в разделе 16 исследования Мезера и Форни [7] содержится обсуждение различных результатов по отображениям кольца.

Мы также хотим указать на то, что обобщенно-аналитические отображения вблизи эллиптических неподвижных точек обладают, кроме инвариантных кривых, также и множествами Мезера, которые являются канторовскими множествами. Точнее, если зафиксировать зарождение эллиптической неподвижной точки общего типа, то можно сколь угодно малой заменой в членах произвольно высокого порядка добиться того, что измененное таким образом отображение будет обладать такими невырожденными множествами Мезера в каждой окрестности неподвижной точки. Это было доказано Дженекандом [2] при уточнении более ранней статьи Зиндера [16]. Все упомянутые доказательства основываются на функционально аналитических методах и итерационной технике. Любопытное доказательство, полностью избегающее итеративные аппроксимации, содержится в статье И. Катцнелсона и Орнстейна $[5],[6]$. Оно базируется на тонких оценках орбит отображений. Это дает более строгие результаты, но затрудняет понимание.