Сначала рассмотрим решение с минимальной энергией $u \in \mathscr{M}(\alpha)$ в случае, когда $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n},-1$ являются рационально независимыми, вследствие чего $u$ не допускает никаких периодов. В этом случае решения после переноса
\[
\tau_{\bar{j}} u, \quad \bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}
\]

различаются, т. к. $u$ не имеет самопересечений на торе $\mathrm{T}^{n+1}$. Таким образом, они приводят к упорядочению фундаментальной группы, определенному с помощью $\tau_{\bar{j}} u<\tau_{\bar{k}} u$. Следует отметить, что этот порядок не зависит ни от решения, ни от вариационной задачи. Например, для $F=\left|u_{x}\right|^{2}$ очевидно, что $u^{(0)}=\alpha \cdot x$ принадлежит к $\mathscr{M}(\alpha)$, и наше утверждение равносильно следующему предложению
\[
\tau_{\bar{j}} u<\tau_{\bar{k}} u \quad \text { тогда и только тогда, когда } \tau_{\bar{j}} u^{(0)}<\tau_{\bar{k}} u^{(0)} .
\]

Иными словами, утверждается
Лемма 6.1. Если $u \in \mathscr{M}(\alpha)$ и $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n},-1$ рационально независимы, то $u(x+j)-j_{n+1}<u(x+k)-k_{n+1}$, тогда и только тогда, когда $j \cdot \alpha-j_{n+1}<k \cdot \alpha-k_{n+1}$.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВО.
Достаточно доказать это утверждение для $x=0$ и $\bar{j}=0$ или
\[
u(k)-u(0)>k_{n+1}, \text { если } k \cdot \alpha>k_{n+1} .
\]

При использовании прежних обозначений отображение
\[
\tau^{k}: u(j) \rightarrow u(j+k) \quad \text { для } \quad j \in \mathbb{Z}^{n}
\]

имеет число вращений $k \cdot \alpha$, которое не является целым числом. Кроме того, по следствию 4.4 это отображение $\tau^{k}$ является непрерывным по Липшицу на множестве $S=\left\{u(j), j \in \mathbb{Z}^{n}\right\}$ и может быть продолжено по непрерывности до $\bar{S}$ и, при определении его линейным на интервалах $\mathbb{R} \backslash \bar{S}$, продолжено до отображения на $\mathbb{R}$. Это продолжение монотонно, непрерывно, удовлетворяет равенству $\tau^{k}(s+1)=\tau^{k}(s)+1$ и тоже имеет число вращений $k \cdot \alpha$. Хорошо известно, что для целого числа $g$
$g+1>\tau^{k}(s)-s>g$ тогда и только тогда, когда $g+1>k \cdot \alpha>g$, что эквивалентно утверждению (6.1).
Семейство линейных функций
\[
\theta=\alpha \cdot x+\alpha \cdot j-j_{n+1}
\]

отображается на переносы
\[
x_{n+1}=\tau_{\bar{j}} u=u(x+j)-j_{n+1}
\]

функции $u \in \mathscr{M}(\alpha)$ с помощью отображения
\[
(x, \theta) \rightarrow(x, U(x, \theta)),
\]

где $U(x, \theta)$ определяется равенством
\[
U\left(x, \alpha \cdot x+j \cdot \alpha-j_{n+1}\right)=u(x+j)-j_{n+1}
\]

для плотных значений $\theta=\alpha \cdot x+j \cdot \alpha-j_{n+1}$. Это определение однозначно, т.к. $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n},-1$ рационально независимы. По лемме 6.1 функция $U(x, \theta)$ монотонна по $\theta$, и поэтому может быть продолжена до монотонных функций
\[
U^{+}(x, \theta)=\lim _{\theta^{\prime} \searrow_{\theta}} U\left(x, \theta^{\prime}\right), \quad U^{-}(x, \theta)=\lim _{\theta^{\prime \prime}
earrow \theta} U\left(x, \theta^{\prime \prime}\right),
\]

где $\theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}$ убывающая и, соответственно, возрастающая последовательности, взятые из плотного множества, на котором определена $U$. Ясно, что для фиксированного $x$ имеем
\[
U^{+}(x, \theta)=U^{-}(x, \theta)
\]

за исключением счетного множества, и разрывы лежат на гиперплоскостях $\theta=\alpha \cdot x+\beta$. В целом $U^{+}(x, \theta) \geqslant U^{-}(x, \theta)$ и $U^{+}, U^{-}$непрерывны тогда и только тогда, когда равны.

Лемма 6.2. Определенные выше функции $U^{+}, U^{-}$строго монотонны по $\theta$ и таковы, что
\[
\begin{aligned}
U^{ \pm}\left(x+e_{
u}, \theta\right) & =U^{ \pm}(x, \theta), \\
U^{ \pm}(x, \theta+1) & =U^{ \pm}(x, \theta)+1 .
\end{aligned}
\]

Поэтому отображения
\[
(x, \theta) \rightarrow\left(x, U^{ \pm}(x, \theta)\right)
\]

могут рассматриваться в качестве отображений из $\mathrm{T}^{n+1}$ на $\mathrm{T}^{n+1}$.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Вышеописанные условия периодичности непосредственно проверяются для $U$ из определения 6.3 и потому сохраняются для продолжений $U^{ \pm}$. Также очевидно, что $U^{ \pm}$монотонны, они являются строго монотонными, т. к. $U(x, \theta)$ строго монотонна на плотном множестве $\{\alpha \cdot j-$ $\left.-j_{n+1}\right\}$.

Теперь отбросим условие, что $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n},-1$ рационально независимы. Если эти величины рационально зависимы, тогда в общем смысле отображение (6.3) не вполне определено. Чтобы избежать подобных затруднений, построим минимальное решение $u$ с дополнительным свойством
\[
u(x+j)-j_{n+1}=u(x), \text { если } \alpha \cdot j-j_{n+1}=0 .
\]

Если это условие удовлетворяется, то определение (6.3) вновь однозначно для всех $\theta=\alpha \cdot x+j \cdot \alpha-j_{n+1}$. Они образуют плотное множество, если мы будем предполагать, что не все $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ рациональны.

Для построения $u \in \mathscr{M}(\alpha)$, удовлетворяющей (6.5), введем максимальную решетку
\[
\Gamma=\left\{\gamma \in \mathbb{Z}^{n}, \alpha \cdot \gamma \in \mathbb{Z}\right\}
\]

и
\[
\bar{\Gamma}=\left\{\bar{\gamma} \in \mathbb{Z}^{n+1}, \alpha \cdot \gamma-\gamma_{n+1}=0\right\} .
\]

Пусть $r=\operatorname{dim}_{\mathbb{Z}} \Gamma<n$, и $\gamma^{(1)}, \gamma^{(2)}, \ldots, \gamma^{(r)}$ является базизом $\Gamma$ и $\bar{\gamma}^{(1)}, \bar{\gamma}^{(2)}, \ldots, \bar{\gamma}^{(r)}$ – соответствующий базис $\bar{\Gamma}$. Можно предположить, что $\operatorname{det}\left(\gamma_{
u}^{(\rho)}\right)_{
u, \rho \leqslant r}
eq 0$.

Теперь аппроксимируем $\alpha$ рациональными $\alpha^{(s)}$, удовлетворяющими
\[
\alpha^{(s)} \cdot \gamma-\gamma_{n+1}=0 \quad \text { для всех } \quad \bar{\gamma} \in \bar{\Gamma} .
\]

Другими словами, соответствующие решетки $\bar{\Gamma}^{(s)}$ должны содержать $\bar{\Gamma}$. Для этого выберем $\alpha_{r+1}^{(s)}, \ldots, \alpha_{n}^{(s)}$ – рациональные числа, стремящиеся к $\alpha_{r+1}, \ldots, \alpha_{n}$ при $s \rightarrow \infty$. Тогда уравнения
\[
\sum_{
u=1}^{n} \alpha_{
u}^{(s)} \gamma_{
u}^{(\rho)}-\gamma_{n+1}^{(\rho)}=0 \quad \text { для } \quad \rho=1,2, \ldots, r
\]

однозначно определяют рациональные числа $\alpha_{1}^{(s)}, \alpha_{2}^{(s)}, \ldots, \alpha_{r}^{(s)}$, т. к. матрица $\left(\gamma_{
u}^{(\rho)}\right),
u, \rho=1,2, \ldots, r$ не вырождена. Очевидно, что эти $\alpha^{(s)}$ удовлетворяют (6.6). Кроме того, $\alpha^{(s)} \rightarrow \alpha$ при $s \rightarrow \infty$.

Для этих $\alpha^{(s)}$ построим минимальные решения $u^{(s)} \in \mathscr{M}_{\text {per }}\left(\alpha^{(s)}\right)$, чья решетка периодов $\bar{\Gamma}^{(s)}$ содержит $\bar{\Gamma}$ по теореме 5.4, т.е.
\[
u^{(s)}(x+j)-j_{n+1}=u^{(s)}(x) \quad \text { для всех } \quad \bar{j} \in \bar{\Gamma} .
\]

Можно предположить, что $0 \leqslant u^{(s)}(0)<1$, и получаем, что подпоследовательность $u^{(s)}$ сходится к к элементу $u \in \mathscr{M}(\alpha)$, удовлетворяющему (6.5), т.к. эти соотношения выполняются для всех аппроксимаций.

С учетом этого замечания можно определить $U(x, \theta)$ с помощью (6.3) для $\alpha$, у которых не все компоненты рациональны. В этом случае $U^{ \pm}(x, \theta)$ определяются аналогичным образом и обладают свойствами из леммы 6.2 .

Если $\alpha$ – рациональный вектор, то аналогичным образом определим $U^{ \pm}(x, \theta)$. Только необходимо отметить, что множество $\{\alpha \cdot j-$ $\left.-j_{n+1}\right\}$ не является плотным. Таким образом, если $u \in \mathscr{M}_{\mathrm{per}}(\alpha)$, тогда (6.3) определяет $U(x, \theta)$ для $\theta=\alpha \cdot x+\alpha \cdot j-j_{n+1}$. Теперь определим $U^{+}(x, \theta)$ как самую большую монотонную функцию от $\theta \in \mathbb{R}$, которая продолжает $U(x, \theta)$. Подобным образом $U^{-}(x, \theta)$ обозначает наименьшую монотонную функцию, продолжающую $U(x, \theta)$. Поэтому $U^{ \pm}(x, \theta)$ определены для всех $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$.

Теорема 6.3. Для всех $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ существует функция $U(x, \theta)$, строго монотонная по $\theta$ и удовлетворяющая
\[
\begin{aligned}
U\left(x+e_{\mu}, \theta\right) & =U(x, \theta), \\
U(x, \theta+1) & =U(x, \theta)+1,
\end{aligned}
\]

такая, что для всех $\beta \in \mathbb{R}$
\[
U(x, \alpha \cdot x+\beta)
\]

принадлежит к $\mathscr{M}(\alpha)$.
Это очевидное следствие (6.3) при $U=U^{+}$или $U^{-}$. Действительно, если $\alpha$ не рационально и $\beta^{\prime}=\alpha \cdot j-j_{n+1}$, то
\[
U\left(x, \alpha \cdot x+\beta^{\prime}\right)=u(x+j)-j_{n+1} \in \mathscr{M}(\alpha),
\]

и если $\beta^{\prime}$ – возрастающая последовательность, стремящаяся к $\beta$, то соответствующая последовательность $U\left(x, \alpha \cdot x+\beta^{\prime}\right)$ возрастает к $U^{+}(x, \alpha \cdot x+\beta)$. По теореме 4.3 сходимость равномерная на компактных множествах. Из компактности $\mathscr{M}_{A} / \mathbb{Z}$ следует, что $U^{+}(x, \alpha \cdot x+\beta)$ также принадлежит $\mathscr{M}_{A}$, и по лемме 3.4 она принадлежит $\mathscr{M}(\alpha)$. Такое же доказательство подходит и для $U^{-}(x, \alpha \cdot x+\beta)$.

В том случае, когда $\alpha$ рационально, $U^{+}(x, \theta)$ является ступенчатой функцией и $U^{+}(x, \alpha \cdot x+\beta)$ совпадает с
\[
U^{+}\left(x, \alpha \cdot x+\alpha \cdot j-j_{n+1}\right)=u(x+j)-j_{n+1}
\]

для некоторого $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}$. Таким образом, в этом случае утверждение тривиально.

Решения $U^{ \pm}(x, \alpha \cdot x+\beta)$ теоремы 6.3 не обязаны содержать порождающую их функцию $u \in \mathscr{M}(\alpha)$, если вектор $\alpha$ не рациональный. Они обладают дополнительным свойством. Воспользуемся терминологией динамических систем ( $n=1$ ):

Определение 6.4. Минималь $u \in \mathscr{M}(\alpha)$ называется рекуррентной, если $u$ является пределом последовательности переносов
\[
\tau_{\bar{j}^{(s)}} u \quad \text { с } \quad\left|\bar{j}^{(s)}\right| \rightarrow \infty, \quad \bar{j}^{(s)} \in \mathbb{Z}^{n+1} .
\]

Теорема 6.5. Решения $U^{ \pm}(x, \alpha \cdot x+\beta)$ рекуррентны.
ДоКаЗаТЕЛЬСТВо.
Это очевидное следствие того, что $U^{+}(x, \alpha \cdot x+\beta)$ является, например, пределом
\[
U\left(x, \alpha \cdot x+\alpha \cdot j-j_{n+1}\right)=u(x+j)-j_{n+1}
\]

для возрастающей последовательности $\beta^{\prime}=\alpha \cdot j-j_{n+1}$, где $|j|+\left|j_{n+1}\right| \rightarrow \infty$. Кроме того, преде.ьное множество любого предельного множества, такого как $S$, совпадает с самим множеством.

Необходимо различать два разных случая:
A) Минимальное решение $x_{n+1}=u(x)$ является плотным на $\mathrm{T}^{n+1}$.
В) $x_{n+1}=u(x)$ не является плотным на $\mathrm{T}^{n+1}$.

Встречаются оба случая и даже для $n=1$ можно привести примеры, иллюстрирующие обе ситуации. Первый случай встречается, например, для подынтегральной функции $F=F(p)$, не зависящей от $x$ и $u$, когда $\alpha$ не является рациональным ${ }^{1}$.
Случай A) характеризуется следующей теоремой.
Теорема 6.6. Для данной $и \in \mathscr{M}(\alpha)$ следуюшие утверждения эквивалентны:
i) $\left(x, x_{n+1}\right)=(x, u(x))$ является плотным на $\mathrm{T}^{n+1}$.
ii) Множество $\left\{u(j)-j_{n+1},\left(j, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1}\right\}$ является плотным $\mu a \mathbb{R}$.
iii) $U^{+}(x, \theta)=U^{-}(x, \theta)$, т. е. обе функции являются непрерывными на $\mathbb{R}^{n+1}$.
iv) $x_{n+1}=U^{ \pm}(x, \alpha \cdot x+\beta), \beta \in \mathbb{R}$ определяет слоение минимальных решений, которые посредством гомеоморфизма
\[
(x, \theta) \rightarrow(x, U(x, \theta)),
\]

переходят в слоение $\theta=\alpha \cdot x+\beta$.
ДоКАЗаТЕЛЬСтво.
Утверждение $i$ ) равносильно плотности $u(x+j)-j_{n+1}$ для фиксированного $x$ и переменных $j, j_{n+1}$, что по теореме 4.3 эквивалентно $i i$ ).

Если $U^{+}(x, \theta)>U^{-}(x, \theta)$, то интервал $\left(U^{-}(x, \theta), U^{+}(x, \theta)\right)$ не содержит ни одной предельной точки $u(x+j)-j_{n+1}$. Действительно, если $j \cdot \alpha-j_{n+1}$ проходит по возрастающей последовательности, стремящейся к $\theta-\alpha \cdot x$, то $u(x+j)-j_{n+1}$ стремится к $U^{-}(x, \theta)$, а для убывающей последовательности получаем $U^{+}(x, \theta)$. Это противоречит $\left.i\right)$, следовательно, из $i$ ) следует $i i i$ ). Обратное следствие очевидно.

И наконец, $i v$ ) является просто переформулировкой теоремы 6.3. Только необходимо заметить, что
\[
(x, \theta) \rightarrow\left(x, U^{+}(x, \theta)\right)
\]

является гомеоморфизмом. Это следует из строгой монотонности $U^{+}(x, \theta)$, которая следует из строгой монотонности $U(x, \theta)$ на плотном множестве. Отметим, что случай, описанный в теореме 6.6 возникает только если $\alpha$ не рациональный.

В случае, когда $\alpha$ не рациональный и $u \in \mathscr{M}(\alpha)$ плотна на $\mathrm{T}^{n+1}$, имеем $U^{+}=U^{-}=U$ и
\[
x_{n+1}=U(x, \alpha \cdot x+\beta)
\]

определяет слоение на $\mathrm{T}^{n+1}$. Т.к. $U(x, \theta)$ непрерывна и строго монотонна по $\theta$ для данного $\bar{x}=\left(x, x_{n+1}\right)$ можно найти единственное $\beta$ такое, что (6.7) выполняется. Определим $u(x, \beta)=U(x, \alpha \cdot x+\beta)$; по теореме 6.3 это является минимальным решением $\mathscr{M}(\alpha)$ для каждого $\beta$. Определяем $\psi_{
u}=\psi_{
u}\left(x, x_{n+1}\right)$ с помощью соотношения
\[
\psi_{
u}\left(x, x_{n+1}\right)=u_{x_{
u}}(x, \beta), \text { если } x_{n+1}=u(x, \beta) .
\]

Тогда дифференциальное уравнение
\[
u_{x_{
u}}=\psi_{v}(x, u)
\]

определяет слоение, чьими листами являются $u=u(x, \beta), \beta \in \mathbb{R}$. Из определения следует, что $\psi_{
u}$ имеет период 1 по $x_{1}, \ldots, x_{n+1}$ и $\psi_{
u} \in C\left(\mathrm{~T}^{n+1}\right)$. Таким образом, (6.8) определяет слоение на $\mathrm{T}^{n+1}$. По теореме 4.5 функции $\psi_{
u}$ являются непрерывными по Липшицу по $u$. Т. к. $u(x, \beta)$ для всех фиксированных $\beta$ дважды непрерывно дифференцируема по $x$, получаем следующий результат:

Теорема 6.7. Если $u \in \mathscr{M}(\alpha)$ является плотной на $\mathrm{T}^{n+1}$ и $\alpha$ не рациональный, то функции $\psi_{
u}(x, u)$, определяющие слоение (6.7), являются непрерывными по Липшицу на $\mathrm{T}^{n+1}$.
ДоКаЗаТЕЛЬСТво.
Если $\bar{x}=\left(x, x_{n+1}\right), \bar{x}^{\prime}=\left(x^{\prime}, x_{n+1}^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}$, находим $\beta, \beta^{\prime}$ такие, что
\[
x_{n+1}=u(x, \beta) ; \quad x_{n+1}^{\prime}=u\left(x^{\prime}, \beta^{\prime}\right),
\]

где $u(x, \beta)=U(x, \alpha \cdot x+\beta)$. Используя вспомогательную точку $\bar{y}=$ $=\left(x^{\prime}, u\left(x^{\prime}, \beta\right)\right)$, по теореме 4.5 получим
\[
\begin{aligned}
\mid \psi_{
u}\left(\bar{x}^{\prime}\right) & -\psi_{
u}(\bar{x})|\leqslant| \psi_{
u}\left(\bar{x}^{\prime}\right)-\psi_{
u}(\bar{y})|+| \psi_{
u}(\bar{y})-\psi_{
u}(\bar{x}) \mid \leqslant \\
& \leqslant \gamma\left|u\left(x^{\prime}, \beta^{\prime}\right)-u\left(x^{\prime}, \beta\right)\right|+\left|u_{x_{
u}}\left(x^{\prime}, \beta\right)-u_{x_{
u}}(x, \beta)\right| \leqslant \\
& \leqslant \gamma\left(\left|x_{n+1}^{\prime}-x_{n+1}\right|+\left|u(x, \beta)-u\left(x^{\prime}, \beta\right)\right|\right)+\sup \left|u_{x x}\right|\left|x^{\prime}-x\right| \leqslant \\
& \leqslant \gamma\left|x_{n+1}^{\prime}-x_{n+1}\right|+\left(\sup \left|u_{x}\right| \gamma+\sup \left|u_{x x}\right|\right)\left|x^{\prime}-x\right| .
\end{aligned}
\]

Благодаря периодичности, можно ограничиться $\left|x_{
u}\right| \leqslant \frac{1}{2},
u=1$, $2, \ldots, n+1$. Используя оценки (4.7), правую часть можно оценить с помощью $\gamma^{\prime}\left|\bar{x}-\bar{x}^{\prime}\right|$, что завершает доказательство теоремы.

Отметим, что в этом случае решения $u(x, \beta)$ являются квазипериодическими в том смысле, что существует функция $\widehat{U}(x, \theta)=U-$ $-\theta \in C\left(\mathrm{~T}^{n+1}\right)$ такая, что
\[
u(x, \beta)=\alpha \cdot x+\beta+\widehat{U}(x, \alpha \cdot x+\beta) .
\]

Более правильно говорить, что $\exp (2 \pi i u(x, \beta))$ является квазипериодической, т.к. $u$ даже не ограничена для $\alpha
eq 0$, но мы будем полагать, что эта интерпретация понятна.

Вернемся к более интересному случаю В), в котором переносы $\tau_{\bar{j}} u$ от $u \in \mathscr{M}(\alpha)$, удовлетворяющие (6.5), не являются плотными, когда $\alpha$ не рациональный. По теореме 6.6 это равносильно предположению, что множество
\[
S=\left\{u(j)-j_{n+1}, \quad\left(j, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1}\right\}
\]

не является плотным на $\mathbb{R}$. Это множество можно рассматривать как орбиту, проходящую через $u(0)$ при действии коммутирующих переносов $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$ и $\tau_{n+1}: x_{n+1} \rightarrow x_{n+1}-1$. Рассмотрим предельное множество точек $L(S)$ как множество предельных точек для точек из $S$ при $|j| \rightarrow \infty$. Кроме того, определим $L^{+}(S), L^{-}(S)$ как множества $s \in \mathbb{R}$, для которых существуют убывающие и, соответственно, возрастающие последовательности $s^{(m)} \in S$, которые стремятся к $s$ при $m \rightarrow \infty$. Очевидно
\[
L(S)=L^{+}(S) \cup L^{-}(S) .
\]

Хорошо известно, что $L(S)$ – множество Кантора, совершенное, нигде не плотное подмножество $\mathbb{R}$, если, как мы сейчас предполагаем, $L(S)
eq \mathbb{R}$. Из нашего определения (6.4) $U^{ \pm}(x, \theta)$ имеем
\[
\begin{array}{ll}
L^{+}(S)=\left\{U^{+}(0, \theta),\right. & \theta \in \mathbb{R}\}, \\
L^{-}(S)=\left\{U^{-}(0, \theta),\right. & \theta \in \mathbb{R}\} .
\end{array}
\]

Действительно, если $s^{(m)}=u\left(j^{(m)}\right)-j_{n+1}^{(m)}$ является возрастающей последовательностью, стремящейся к $s$, тогда $\alpha \cdot j^{(m)}-j_{n+1}^{(m)}=\theta^{(m)}$ тоже возрастает и если $\theta^{(m)} \rightarrow \theta$, то
\[
s=\lim _{m \rightarrow \infty} s^{(m)}=\lim _{m \rightarrow \infty} U\left(0, \theta^{(m)}\right)=U^{-}(0, \theta) .
\]

Обратно, любое $U^{-}(0, \theta)$ принадлежит $L^{-}(S)$. То же доказательство подходит и для $L^{+}(S)$.

Более обобщенно, определим предельное множество $\mathscr{L} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ как множество элементов $\left(x, x_{n+1}\right.$ ), для которого $x_{n+1}$ является пределом $u\left(x+j^{(m)}\right)-j_{n+1}^{(m)},\left|\bar{j}^{(m)}\right| \rightarrow \infty$. С помощью $\mathscr{L}^{+}$и $\mathscr{L}^{-}$определим предельные множества, где последовательности убывают и, соответственно, возрастают. Если $E_{n+1}=\left\{\bar{x} \in \mathbb{R}^{n+1}, x=0\right\}$ обозначает ось $x_{n+1}$, то $\mathscr{L}=\mathscr{L}^{+} \cup \mathscr{L}^{-}$и
\[
L^{ \pm}(S)=\mathscr{L}^{ \pm} \cap E_{n+1} .
\]

Кроме того,
\[
\mathscr{L}^{ \pm}=\left\{\left(x, U^{ \pm}(0, \theta)\right), \theta \in \mathbb{R}\right\} .
\]

Эти множества инвариантны при переносах $\bar{x} \rightarrow \bar{x}+e_{
u},
u=1,2, \ldots, n+1$ и могут рассматриваться как множества на торе $\mathrm{T}^{n+1} . \mathscr{L}-$ канторово множество на $\mathrm{T}^{n+1}$, если оно не равно $\mathrm{T}^{n+1}$.

Промежутки в этом канторовом множестве $\mathscr{L}$ связаны с разрывами $U^{ \pm}(x, \theta)$. Эти разрывы возникают вдоль гиперплоскостей $\theta=\alpha \cdot x+$ $+\beta$. Пусть $\theta=\alpha \cdot x+\beta^{*}$ будет таким разрывом и
\[
u^{ \pm}=U^{ \pm}\left(x, \alpha \cdot x+\beta^{*}\right), \quad u^{-}(x)<u^{+}(x) .
\]

Тогда ширина промежутка $\delta(x)=u^{+}(x)-u^{-}(x)>0$ по теореме 4.5 удовлетворяет
\[
\max _{x \in Q} \delta(x) \leqslant \gamma \min _{x \in Q} \delta(x)
\]

с константой $\gamma$, зависящей только от $c, \delta$ и $|\alpha|$. Это значит, что ширина промежутка равномерно ограничена на $Q$, независимо от $u$ и конкретного промежутка.

Заметим, что в случае, когда $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n},-1$ рационально независимы
\[
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left(u^{+}(x)-u^{-}(x)\right) d x \leqslant 1.1
\]

Действительно, интеграл совпадает с
\[
\sum_{j} \int_{Q}\left[\left(u^{+}(x+j)-j_{n+1}\right)-\left(u^{-}(x+j)-j_{n+1}\right)\right] d x
\]

и множества $u^{-}(x)-j_{n+1}<x_{n+1}<u^{+}(x+j)-j_{n+1}$ не пересекаются. При подходящем выборе $j_{n+1}$ можно поместить эти множества в $Q \times$ $\times[0,1]$ так, что этот интеграл не превосходит 1.

На множестве $\mathscr{L}$, как и раньше, можно определить слоение $\psi_{
u}(\bar{x})$ так, что
\[
u_{x_{
u}}-\psi_{
u}(x, u)
\]

удовлетворяется $u(x, \beta)=U^{ \pm}(x, \alpha \cdot x+\beta)$ для всех $\beta \in \mathbb{R}$. Как и раньше $\psi_{
u}(\bar{x})$ инвариантно при переносах $\bar{x} \rightarrow \bar{x}+e_{
u}(
u=1,2, \ldots, n+1)$ и поэтому определено на $\mathscr{L} / \mathbb{Z}^{n+1}$. По той же причине, что и раньше, $\psi_{
u}(\bar{x})$ непрерывно по Липшицу:
\[
\left|\psi_{
u}\left(\bar{x}^{\prime}\right)-\psi_{
u}(\bar{x})\right| \leqslant \gamma\left|\bar{x}^{\prime}-\bar{x}\right| \quad \text { для всех } \quad \bar{x}^{\prime}, \bar{x} \in \mathscr{L} .
\]

Подведем итог: в случае В) слоение (6.9), определенно на кантором множестве $\mathscr{L} \subset \mathrm{T}^{n+1}$, которое задано непрерывными по Липшицу функциями.

Отметим, что для $n=1$ это утверждение соответствует тому, что множества Мезера монотонных закручивающих отображений являются подмножествами непрерывных по Липшицу кривых (см. [14]).