(a) В этом параграфе мы установим свойство локальной единственности для решений уравнения $E(U)=0$ при $
u=0$. Для $
u>0$ это следует из эллиптического типа уравнений и их инвариантности относительно сдвига $x_{n+1} \rightarrow x_{n+1}+\lambda$ (см. теорему $2 \S 2$ ).

В дальнейшем мы полагаем, что решение $U$ удовлетворяет условиям $U-x_{n+1} \in H^{-\tau+2 q+1}$ и
\[
\left\|U-x_{n+1}\right\|_{-\tau+2 q+1}<M, \quad \partial_{x_{n+1}} U>M^{-1} .
\]

Для некоторой положительной константы $M$, здесь снова $\tau>\frac{1}{2}(n+1)$ и $q=2 \tau+2$. Теперь мы имеем следующий результат о локальной единственности.

Теорема 4. Пусть $\alpha$ удовлетворяет условию (1.9). Тогда существует положительная константа $\varepsilon^{*}$, зависящая от $M$ и от грании для $|\alpha|,|F|_{C^{2}}, \gamma, \tau$, обладающая свойством: если $U$ удовлетворяет (5.1) и если функции $U$ и $\widetilde{U} \in H^{-\tau+2 q}$ являются решениями
\[
E(U)=0, \quad E(\tilde{U})=0 \quad n p u »=0
\]

и удовлетворяют
\[
\|\widetilde{U}-U\|_{-\tau+2 q}<\varepsilon^{*},
\]
mo
\[
\widetilde{U}\left(x, x_{n+1}+\lambda\right)=U(\bar{x})
\]

для некоторого $\lambda \in \mathbb{R}$.
Эта теорема имеет несколько следствий для решения $U=U(\bar{x},
u)$ уравнения $E^{
u}(U)=0$. Поскольку $U\left(\bar{x}+\lambda e_{n+1},
u\right)$ – это также решения, удобно будет нормировать решения, потребовав, чтобы
\[
\left[U-x_{n+1}\right]=0 .
\]

Если $U=U(\bar{x},
u)$ – это решение, построенное в теореме 3 для $
u \in\left[0,
u^{*}\right]$ и нормированное соотношением (5.2), то оно единственно, если число $\varepsilon$ в (2.15) выбрано достаточно малым. Для $
u>0$ это следует из теоремы 2 , а для $
u=0$ из теорема 4. Из единственности и ограниченности функции
\[
U=U(x,
u) \in H^{-\tau+q}
\]

мы заключаем, что $U$ непрерывна по $
u$, т.е.
\[
U(\cdot,
u) \in C\left(\left[0,
u^{*}\right], H^{-\tau+q}\right) .
\]

Наконец, мы получаем результат о регулярности. Если приближенное решение $U^{*}$ из теоремы 1 действительно является решением уравнения
\[
E\left(U^{*}\right)=0 \text { при }
u=0,
\]

то из теоремы единственности мы выводим, что решение $U, U$ $-x_{n+1} \in C^{\infty}$, построенное в теореме 3 , совпадает при $
u=0$ с $U^{*}$. Следовательно, мы видим, что решение, удовлетворяющее (2.13), необходимо принадлежит $C^{\infty}$.

Хотелось бы и было бы более естественным получить этот результат о регулярности и не зависящие от $
u$ оценки в теореме 3 непосредственно из основных оценок (3.10) и (3.13), примененных к решениям $U=U(x,
u)$, без дополнительного вспомогательного построения приближений $U^{s}$. Тем не менее, нам не удалось это сделать.
(b) Доказательство теоремы 4 основывается на следующей простой лемме.
Лемма 5.1. Пусть $r<s<t$-действительные числа, $\varphi \in H^{t} u$
\[
\|\varphi\|_{r} \leqslant c\|\varphi\|_{s:}^{2} \quad\|\varphi\|_{t}<a
\]

для некоторой константы с. Если $t \geqslant t^{*}=2 s-r, a \leqslant a^{*}=c^{-1}$, то $\varphi=0$ и константы $t^{*}, a^{*}$ неулучиаемые.

ДокаЗатЕльство. Поскольку по предположению $s \leqslant \frac{1}{2}(t+r)$, то для $\varphi
eq 0$ из (2.16) вытекает, что
\[
\|\varphi\|_{s}^{2} \leqslant\|\varphi\|_{t}\|\varphi\|_{r}<a\|\varphi\|_{r},
\]

следовательно,
\[
\|\varphi\|_{r}<a c\|\varphi\|_{r},
\]

а это противоречит тому, что $a c \leqslant 1$.
Можно видеть, что параметры $t^{*}, a^{*}$ неулучшаемы, если взять $d=1$ и для большого положительного целого $j$ положить
\[
\varphi=c^{-1}\left(1+j^{2}\right)^{-t^{*} / 2} e^{2 \pi i j x} .
\]

Если $t<t^{*}$ либо $t=t^{*}, a>c^{-1}$, то для этой функции выполнены оба предположения, но $\varphi
eq 0$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4. МЫ ПОЛОЖИМ
\[
V(\bar{x}, \lambda)=\tilde{U}\left(\bar{x}+\lambda e_{n+1}\right)-U(\bar{x}), \quad W(\bar{x}, \lambda)=\left(\partial_{x_{n+1}}\right)^{-1} V(\bar{x}, \lambda)
\]

и определим $\lambda=\lambda^{*}$ так, чтобы среднее значение
\[
f(\lambda)=[W]=\int_{T} W(\bar{x}, \lambda) d \bar{x}
\]

обращалось в ноль при $\lambda=\lambda^{*}$. Чтобы показать единственность $\lambda^{*}$ и найти оценку для него, мы заметим, что
\[
\frac{d f}{d \lambda}=\left[\left(\partial_{x_{n+1}} U\right)^{-1}\left(\partial_{x_{n+1}} \tilde{U}\left(\bar{x}+\lambda e_{n+1}\right)\right)\right] \geqslant c_{1}^{-1}>0
\]

для некоторой константы $c_{1}$, зависящей от $M$. Действительно, поскольку
\[
0<\partial_{x_{n+1}} U \leqslant 1+\left\|U-x_{n+1}\right\|_{\tau+1} \leqslant c_{2},
\]

ограничено такой константой и если $\varepsilon^{*}$ достаточно мало, мы выводим из предположения теоремы 4 , что
\[
\left|\partial_{x_{n+1}}(\widetilde{U}-U)\right| \leqslant\|\widetilde{U}-U\|_{\tau+1} \leqslant c^{\prime} \varepsilon^{*}<(2 M)^{-1},
\]

следовательно, $\partial_{x_{n+1}} \widetilde{U}>(2 M)^{-1}$ и
\[
\frac{d f}{d \lambda} \geqslant\left(2 M c_{2}\right)^{-1}=c_{1}^{-1} .
\]

Из этой оценки следует существование единственного нуля $\lambda^{*}$ функции $f$, удовлетворяющего неравенству
\[
\left|\lambda^{*}\right| \leqslant c_{1}|f(0)| \leqslant c_{1} M\|\widetilde{U}-U\|_{0}<c_{1} M \varepsilon^{*} .
\]

Отсюда мы получаем оценку для $V=V\left(x, \lambda^{*}\right)$
\[
\|V\|_{-\tau+2 q}<c_{3} \varepsilon^{*} .
\]

Это следует из
\[
\begin{aligned}
\|V\|_{-\tau+2 q} \leqslant\left\|\left(U^{\prime}\right)^{-1}\left(\widetilde{U}\left(\bar{x}+\lambda^{*} e_{n+1}\right)-U\left(\bar{x}+\lambda^{*} e_{n+1}\right)\right)\right\|_{-\tau+2 q}+ \\
+\left\|\left(U^{\prime}\right)^{-1}\left(U\left(\bar{x}+\lambda^{*} e_{n+1}\right)-U(\bar{x})\right)\right\|_{-\tau+2 q} .
\end{aligned}
\]

Первое слагаемое меньше $c^{\prime} \varepsilon^{*}$ по предположению и в силу того, что
\[
\left\|\left(U^{\prime}\right)^{-1}\right\|_{-\tau+2 q} \leqslant c M^{-\tau+2 q+2}\left\|U^{\prime}\right\|_{-\tau+2 q} \leqslant c^{\prime} .
\]

Здесь мы воспользовались (2.22) для $f(\varphi)=\varphi^{-1}$. Второе слагаемое наряду с (5.1) можно оценить выражением
\[
c\left\|\int_{0}^{\lambda^{*}} \partial_{x_{n+1}} U\left(\bar{x}+\lambda e_{n+1}\right) d \lambda\right\|_{-\tau+2 q} \leqslant c^{\prime}\left|\lambda^{*}\right| \mid U-x_{n+1} \|_{-\tau+2 q+1} \leqslant c^{\prime} M \lambda^{*},
\]

откуда следует (5.3).
Таким образом, функция $W=W\left(x \lambda^{*}\right)$ имеет нулевое среднее значение, и мы должны показать, что $V=V\left(x, \lambda^{*}\right)$ или, что эквивалентно, $W$ обращается в нуль, если $\varepsilon^{*}$ выбрано достаточно малым. Для этого мы используем тот факт, что
\[
\left\|E^{\prime}(U) V\right\|_{\tau}=\left\|E(U+V)-E(U)-E^{\prime}(U) V\right\|_{\tau} \leqslant c_{4}\|V\|_{\tau+2}^{2},
\]

поскольку $E(U)=0$ и $E(U+V)=0$. С другой стороны, равенство (3.2) дает
\[
U^{\prime} E^{\prime}(U) V=-L W, \quad \text { где } U^{\prime}=\partial_{x_{n+1}} U,
\]

поэтому
\[
c_{5}^{-1}\|L W\|_{\tau} \leqslant\left\|\left(U^{\prime}\right)^{-1} L W\right\|_{\tau}=\left\|E^{\prime}(U) V\right\|_{\tau} \leqslant c_{4}\|V\|_{\tau+2}^{2} .
\]

Наконец, основная оценка (3.14), которая выполнена и при $
u=0$ дает
\[
\|V\|_{-\tau} \leqslant c_{6}\|W\|_{-\tau} \leqslant c_{7}\|L W\|_{\tau} \leqslant c_{4} c_{5} c_{7}\|V\|_{\tau+2}^{2} .
\]

Здесь мы воспользовались тем, что среднее значение $W$ равно нулю. Теперь мы можем применить лемму 5.1 для $r=-\tau, s=\tau+2=-\tau+q$, $t=-\tau+2 q$ и вывести, что $V=0$, если только $\|V\|_{-\tau+2 q}$ достаточно мало; это доказывает теорему 4 .