1. Построение $u, v$. Для доказательства теоремы 2 рассмотрим опять отображение кольца
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=x+y+f(x, y) \quad \text { при } \quad|y-\omega|<\frac{1}{M}, \\
y_{1}=y+g(x, y)
\end{array}\right.
\]
и попытаемся с помощью преобразования
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=\xi+u(\xi, \eta) \\
y=\eta+v(\xi, \eta)
\end{array}\right.
\]
перевести его в новое отображение
\[
\left\{\begin{array}{l}
\xi_{1}=\xi+\eta+\varphi(\xi, \eta) \\
\eta_{1}=\eta+\psi(\xi, \eta)
\end{array}\right.
\]
точнее приближающее кручение.
Мы постараемся мотивировать осуществляемое ниже построение сначала для $u, v$. Формулы преобразования имеют вид
\[
\left\{\begin{aligned}
\xi+\eta+\varphi+u_{1} & =\xi+u+\eta+v+f(\xi+u, \eta+v) \\
\eta+\psi+v_{1} & =\eta+v+g(\xi+u, \eta+v)
\end{aligned}\right.
\]
для краткости мы пишем $u_{1}=u\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right), v_{1}=v\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right)$. Мы линеаризируем уравнения, получающиеся при $\varphi=\psi=0$, имея в виду следующее: рассматривая $f, g, u, v$ и $|\eta-\omega|$ как малые величины порядка $\lambda$, отбросим члены порядка малости $\lambda^{2}$. Так, например, согласно этому процессу линеаризации, мы заменим $u_{1}$ на $u(\xi+\omega, \eta)$, так как $\left|u_{1}-u(\xi+\omega, \eta)\right| \leqslant|u|_{1} \cdot|\eta-\omega|$ ма.ла, порядка квадрата $\lambda$. Итак, эта линеаризация приводит к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
u(\xi+\omega, \eta)-u(\xi, \eta)=v+f(\xi, \eta), \\
v(\xi+\omega, \eta)-v(\xi, \eta)=g(\xi, \eta) .
\end{array}
\]
При решении этих разностных уравнений появляются малые знаменатели. Отметим, что второе уравнение может быть решено только в том случае, когда среднее значение $g$ равно нулю. Для дальнейшего важно,
кроме того, что функции $f, g$ соответствующим образом сглаживаются, чтобы нейтрализовать потери производных.
Исходя из этих соображений, определим $u, v$ как решения системы
\[
\left\{\begin{array}{l}
u(\xi+\omega, \eta)-u(\xi, \eta)=v+T f(\xi, \eta),[u]=0, \\
v(\xi+\omega, \eta)-v(\xi, \eta)=T(g-[g]) .
\end{array}\right.
\]
Здесь $T$ означает оператор $T_{N M}$ из предыдущего параграфа и через [] обозначено среднее значение функции по угловому переменному. Взяв среднее значение правой и левой частей первого уравнения в (4.5), найдем
\[
[v]+[T f]=0,
\]
так что
\[
v=L(T g)+[v]=L(T g)-[T f] .
\]
Так как в первом уравнении (4.5) среднее значение правой части равно нулю, то
\[
u=L(v+T f)=L^{2} T g+L T f .
\]
Соотношения
\[
\left\{\begin{array}{l}
u=L^{2} T g+L T f \\
v=L T g-[T f]
\end{array}\right.
\]
определяют $u, v$ в кольце
\[
|\eta-\omega|<\frac{1}{M_{-}}-\frac{1}{M}
\]
2. Оценка на $u, v$. Из (3.12), (3.13) и предположения (2.6) следует
\[
|u|+|v| \leqslant c_{3} N^{2 \sigma}\left(|f|_{0}+|g|_{0}\right)<c_{3} N^{2 \sigma} \delta_{-}=c_{3} N^{2 \sigma} M^{-2}
\]
и аналогично
\[
\left\{\begin{array}{l}
\left|D_{\xi} u\right|+\left|D_{\xi} v\right| \leqslant c_{4} N^{2 \sigma+1} M^{-2} \leqslant c_{4} N^{2 \sigma} M^{-1}, \\
\left|D_{\eta} u\right|+\left|D_{\eta} v\right| \leqslant c_{4} N^{2 \sigma} M^{-1} .
\end{array}\right.
\]
Так как, согласно $(2.4),
u \geqslant 2 \sigma+1$, то
\[
\left\{\begin{array}{l}
|u|_{0}+|v|_{0}<\frac{1}{N M}, \\
|u|_{1}+|v|_{1}<\frac{1}{N}
\end{array}\right.
\]
что доказывает (2.7).
Таким образом, $u, v$ определены в кольце
\[
|\eta-\omega|<\frac{1}{M_{-}}-\frac{1}{M}>\frac{3}{M} \quad\left(\text { если } M_{0}>2^{\frac{1}{\chi-1}}\right)
\]
и внутри него удовлетворяют (4.7). Из теоремы о неявной функции заключаем, что образ кольца $|\eta-\omega|<3 / M$ при отображении (4.2) покрывает по меньшей мере кольцо $|y-\omega|<2 / M$. Следовательно, отображение, обратное к (4.2), однозначно определено в кольце $|y-\omega|<2 / M$ и непрерывно дифференцируемо в нем (при условии, что $M \geqslant M_{0}$ выбрано достаточно большим).
Из этого видно, что отображение (4.3) определено и дифференцируемо в кольце $|\eta-\omega|<1 / M$, а именно посредством (4.2) это кольцо отображается в
\[
|y-\omega|<|\eta-\omega|+|v|<\frac{1}{M}+\frac{1}{N M},
\]
а посредством (4.1) – в
\[
\left|y_{1}-\omega\right|<|y-\omega|+\delta_{-}<\frac{1}{M}+\frac{1}{N M}+\frac{1}{M^{2}}<\frac{2}{M},
\]
где определено обратное отображение к (4.2). Следовательно, (4.3) определено и дифференцируемо при $|\eta-\omega|<1 / M$.
3. Оценка на $|\varphi|+|\psi|$. Чтобы оценить $|\varphi|,|\psi|$ в кольце $|\eta-\omega|<$ $<1 / M$, отметим сначала, что по предположению каждая замкнутая кривая вблизи окружности $y=\mathrm{const}$, например $\eta=\stackrel{\circ}{\eta}$, пересекается со своим образом, в данном случае с кривой
\[
\eta_{1}=\stackrel{\circ}{\eta}+\psi(\xi, \stackrel{\circ}{\eta})
\]
т. е. $\psi(\xi, \stackrel{\circ}{\eta})$ имеет по крайней мере один нуль. Отсюда следует, что
\[
\sup _{\xi}|\psi(\xi, \stackrel{\circ}{\eta})| \leqslant \operatorname{osc}_{\xi}^{\operatorname{osc}} \psi(\xi, \stackrel{\circ}{\eta}) \leqslant 2 \sup _{\xi}|\psi(\xi, \stackrel{\circ}{\eta})+w(\stackrel{\circ}{\eta})|,
\]
где $w(\eta)$ есть любая функция от $\eta$ и где через $\underset{\xi}{\operatorname{osc}} \psi(\xi, \stackrel{\circ}{\eta})$ обозначена осцилляция $\psi$. Мы положим $w(\eta)=-[T g(\xi, \eta)]$. Таким образом, из (4.4) имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}|\psi(\xi, \eta)|_{0} & \leqslant|\psi(\xi, \eta)-[T g(\xi, \eta)]|_{0}= \\
& =\left|v(\xi, \eta)-v\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right)+g(\xi+u, \eta+v)-[T g]\right|_{0} .
\end{aligned}
\]
Воспользовавшись тем, что $v$ удовлетворяет $(4,5)$, найдем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}|\psi|_{0} & \leqslant\left|v(\xi+\omega, \eta)-v\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right)\right|_{0}+|g(\xi+u, \eta+v)-[T g]|_{0} \leqslant \\
& \leqslant\left|D_{\xi} v\right|_{0}|\eta-\omega+\varphi|_{0}+\left|D_{\eta} v\right|_{0}|\psi|_{0}+ \\
& +|T g(\xi+u, \eta+v)-T g|_{0}+\sup _{|y-\omega|<1 / M_{-}}|(I-T) g(x, y)| .
\end{aligned}
\]
Учитывая (4.7), имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}|\psi|_{0} \leqslant c_{4} N^{2 \sigma+1} M^{-2} & |\eta-\omega|+|v|_{1}\left(|\varphi|_{0}+|\psi|_{0}\right)+ \\
& +|T g(x, y)|_{1}\left(|u|_{0}+|v|_{0}\right)+|(I-T) g(x, y)|_{0} .
\end{aligned}
\]
В последних двух членах, в которых указаны переменные $x, y$, максимум берется по бо́льшему кольцу $|y-\omega|<1 / M_{-}-1 / M$. Для $\varphi$ получим аналогичную оценку из первого уравнения (4.4) и из (4.5); вычитая одно из этих соотношений из другого, найдем
\[
\varphi=u(\xi+\omega, \eta)-u\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right)+f(\xi+u, \eta+v)-T f
\]
и
\[
\begin{aligned}
|\varphi|_{0} \leqslant c_{4} N^{2 \sigma+1} M^{-2} \mid & \eta-\left.\omega|+| u\right|_{1}\left(|\varphi|_{0}+|\psi|_{0}\right)+ \\
& +|T f(x, y)|_{1}\left(|u|_{0}+|v|_{0}\right)+|(I-T) f(x, y)|_{0} .
\end{aligned}
\]
Сложив это неравенство с оценкой для $|\psi|_{0}$ и воспользовавшись соотношением (4.7), получим
\[
\begin{aligned}
|\varphi|_{0}+|\psi|_{0} & \leqslant 3 c_{4} N^{2 \sigma+1} M^{-3}+\left(|u|_{1}+2|v|_{1}\right)\left(|\varphi|_{0}+|\psi|_{0}\right)+ \\
& +\left(2|T g(x, y)|_{1}+|T f|_{1}\right) N^{2 \sigma} M^{-2}+ \\
& +|(I-T) g|_{0}+|(I-T) f|_{0} .
\end{aligned}
\]
Второй член можно исключить, предварительно перенеся его в правую часть, так как, согласно (4.8), $|u|_{1}+2|v|_{1}<2 / N<1 / 2$ при $N>4$. Член $|T f|_{1}$ можно оценить с помощью леммы 2 , а именно
\[
|T f|_{1} \leqslant c_{5} M|f|_{0}<\frac{c_{5}}{M} .
\]
Вместе с аналогичной оценкой для $g$ имеем
\[
\left.|\varphi|_{0}+|\psi|_{0} \leqslant\left. c_{6}\left\{N^{2 \sigma+1} M^{-3}+\mid(I-T) g\right)\right|_{0}+|(I-T) f|_{0}\right\} .
\]
Используя предположения (2.6′) и лемму 2 , получаем
\[
\begin{array}{l}
|(I-T) g|_{0}+|(I-T) f|_{0} \leqslant c_{7} \sup _{\rho_{1}+\rho_{2}=l}\left(N^{-\rho_{1}} M^{-\rho_{2}} N_{-}^{\rho_{1}+1} M_{-}^{\rho_{2}}\right) \leqslant \\
\leqslant c_{7} N_{-} \sup _{\rho_{1}+\rho_{2}=l}\left(\frac{N_{-}}{N}\right)^{\rho_{1}}\left(\frac{M_{-}}{M}\right)^{\rho_{2}}=c_{7} N_{-}\left(\frac{N_{-}}{N}\right)^{l}=c_{7} N_{-}^{1+(1-\chi) l},
\end{array}
\]
и, следовательно,
\[
|\varphi|_{0}+|\psi|_{0} \leqslant c_{8}\left\{N^{2 \sigma+1} M^{-3}+N_{-}^{1+(1-\chi) l}\right\} .
\]
Воспользуемся теперь соотношениями (2.4):
\[
c_{8} N^{2 \sigma+1} M^{-3}=c_{8} M^{\frac{2 \sigma+1}{
u}-3}<\frac{1}{2} M^{-2 \chi}
\]
при условии, что $M_{0}$ достаточно велико и
\[
u>\frac{2 \sigma+1}{3-2 \chi}=6 \sigma+3 ;
\]
последнее вытекает из (2.4). Аналогично
\[
c_{8} N_{-}^{1+(1-\chi) l}<\frac{1}{2} M^{-2 \chi}=\frac{1}{2} N_{-}^{-2 \chi^{2}
u},
\]
если
\[
(\chi-1) l>1+2 \chi^{2}
u
\]
что следует из (2.4) при $\chi=4 / 3$ и $
u$, определенном, как и выше. Следовательно, из (4.9) вытекает
\[
|\varphi|_{0}+|\psi|_{0}<M^{-2 \chi}=\delta,
\]
что и доказывает (2.9).
4. Оценка для высших производных. Чтобы доказать, наконец, $\left(2.9^{\prime}\right)$, введем новые переменные
\[
\begin{array}{ll}
\widehat{x}=N x, & \widehat{\xi}=N \xi, \\
\widehat{y}=M y, & \widehat{\eta}=M \eta
\end{array}
\]
Тогда отображение (4.1) принимает вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\widehat{x}_{1}=\widehat{x}+\frac{N}{M} \widehat{y}+\widehat{f}(\widehat{x}, \widehat{y}), \\
\widehat{y}_{1}=\widehat{y}+\widehat{g}(\widehat{x}, \widehat{y}),
\end{array}\right.
\]
где
\[
\widehat{f}=N f, \quad \widehat{g}=M g .
\]
Покажем сначала, что производные $\widehat{f}, \widehat{g}$ по $\widehat{x}, \widehat{y}$ до порядка $l$ включительно можно оценить постоянной, не зависящей от $N, M$. Для этой цели мы используем предположение $\left(2.6^{\prime}\right)$ и при $\rho_{1}+\rho_{2}=l$ получим
\[
\begin{aligned}
\left|D_{\widehat{x}}^{\rho_{1}} D_{\widehat{y}}^{\rho_{2}} N f\right|+\left|D_{\widehat{x}}^{\rho_{1}} D_{\widehat{y}}^{\rho_{2}} M g\right| & \leqslant N_{-} \frac{M}{M_{-}} \cdot\left(\frac{N_{-}}{N}\right)^{\rho_{1}}\left(\frac{M_{-}}{M}\right)^{\rho_{2}} \leqslant \\
& \leqslant N_{-} \frac{M}{M_{-}}\left(\frac{N_{-}}{N}\right)^{l}=N_{-}^{1+(1-\chi)(l-
u)} \leqslant 1,
\end{aligned}
\]
так как ввиду (4.11) показатель степени отрицателен. С другой стороны, в области $|y-\omega|<1 / M_{-}$
\[
|N f|+|M g| \leqslant M \cdot \delta_{-}=\frac{1}{M_{-}} \leqslant 1 .
\]
Следовательно, функции $\widehat{f}(\widehat{x}, \widehat{y}), \widehat{g}(\widehat{x}, \widehat{y})$ определены для всех действительных $\widehat{x}$ и в области $|\widehat{y}-M \omega|<M / M_{-}>1$ эти функции и все их производные до порядка $l$ ограничены числом 1. Отсюда (многократным применением теоремы о среднем значении) получаем, что все производные меньшего порядка можно оценить с помощью зависящей только от $l$ постоянной $c_{9}$ :
\[
|\widehat{f}(\widehat{x}, \widehat{y})|_{l^{\prime}}+|\widehat{g}(\widehat{x}, \widehat{y})|_{l^{\prime}}<c_{9}, \quad 0 \leqslant l^{\prime} \leqslant l .
\]
Следовательно, записав отображение (4.12), которое мы обозначим через $\widehat{\mathscr{F}}$, в виде $\widehat{x}_{1}=F(\widehat{x}, \widehat{y}), \widehat{y}_{1}=G(\widehat{x}, \widehat{y})$, получим
\[
|F|_{l}+|G|_{l}<c_{10}
\]
или, сокращенно, $|\widehat{\mathscr{F}}|_{l}<c_{10}$.
Аналогичная оценка справедлива для $\widehat{\mathscr{U}}$ :
\[
\widehat{x}=\widehat{\xi}+\widehat{u}(\widehat{\xi}, \widehat{\eta}), \quad \widehat{y}=\widehat{\eta}+\widehat{v}(\widehat{\xi}, \widehat{\eta}),
\]
где $\widehat{u}=N u, \widehat{v}=M v$. Производные $\widehat{u}, \widehat{v}$ по $\xi, \eta$ оцениваются из (4.6) и леммы 2 (при $\rho_{1}+\rho_{2} \leqslant l+2 \sigma$ ):
\[
|\widehat{u}|_{l}+|\widehat{v}|_{l} \leqslant c^{\prime} M N^{2 \sigma} \delta_{-}=c^{\prime} M^{-1} N^{2 \sigma}<\frac{1}{N}<\frac{1}{4},
\]
где производные берутся по $\widehat{\xi}, \widehat{\eta}$. Теорема о неявной функции гарантирует существование в кольце $|y-\omega|<2 / M$ обратного отображения с не зависящей от $N, M$ оценкой для производных до порядка $l$ включительно. В символической записи
\[
|\widehat{\mathscr{U}}|<2, \quad\left|\widehat{\mathscr{U}}^{-1}\right|<2,
\]
так что отображение $\widehat{\Phi}=\widehat{\mathscr{U}}^{-1} \widehat{\mathscr{F}} \widehat{\mathscr{U}}$ записывается с помощью функций, производные которых до порядка $l$ включительно оцениваются не зависящей от $N, M$ постоянной, скажем $c_{11}$. В применении к $\varphi, \psi$ это означает, что
\[
\left|D_{\xi}^{\rho_{1}} D_{\eta}^{\rho_{2}} N \varphi\right|+\left|D_{\xi}^{\rho_{1}} D_{\eta}^{\rho_{2}} M \psi\right| \leqslant c_{11} N^{\rho_{1}} M^{\rho_{2}} \quad \text { при } \quad|\eta-\omega|<\frac{1}{M} .
\]
Оценка (2.9) будет справедлива при $\rho_{1}+\rho_{2} \leqslant l$. Этим доказательство теоремы 2 закончено.
