a) В следующих двух разделах нашей целью является построение минимального слоения путем соединения в одно целое формирующих его листов. Эта процедура проиллюстрирована простым примером слоения из параллельных гиперплоскостей $x_{n+1}-(\alpha, x)=\mathrm{const}$, которые

образуют минимальные слоения для интеграла Дирихле. Если взять один из этих листов, скажем
\[
x_{n+1}=u_{0}(x)=(\alpha, x),
\]

то можно получить другие листы с помощью переносов под действием фундаментальной группы $G=\mathbb{Z}^{n+1}$ :
\[
x_{n+1}=u_{0}(x+j)-j_{n+1}=u_{0}(x)+(\bar{\alpha}, \bar{j}),
\]

где $\bar{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n},-1\right)$ и $\bar{j} \in G$. Если $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ не рациональное, то числа ( $\bar{\alpha}, \bar{j}), \bar{j} \in G$ плотны в $\mathbb{R}$, и в этом случае все листы слоения аппроксимируются с помощью переносов одного из них. Это служит примером используемой нами процедуры, за исключением того, что в общем случае не требуется, чтобы переносы листа были плотными на торе, даже если $\alpha$ не является рациональным вектором.

Сначала покажем, что с любым $\mathbb{Z}^{n+1}$-инвариантным минимальным слоением (определение 1.2) можно связать единственный вектор наклона $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ так, что расстояние между любым из его листов $x_{n+1}=u(x)$ и гиперповерхностью $x_{n+1}=(\alpha, x)$ будет ограничено, т. е. будет выполнено (2.2). Вопрос заключается в следующем: пусть заданы вариационная задача (1.7) и вектор $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$, тогда существует ли $F$-минимальное слоение, соответствующее вектору наклона $\alpha$ ?

В §1 мы убедились, что листы такого слоения имеют два основных свойства: они являются минималями в смысле определения 1.3 и не имеют самопересечений на торе. Поэтому сейчас мы изучим такие минимали без самопересечений, получим априорные оценки и свойства компактности, которые позволят нам собрать их вместе (§4) в минимальное слоение или ламинацию.
б) Функции без самопересечения. В пространстве $C\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ непрерывных функций $u=u(x)$ рассмотрим действие группы $G=\mathbb{Z}^{n+1}$ переносами
\[
\left(\tau_{\bar{j}} u\right)(x)=u(x+j)-j_{n+1} \quad \text { для } \quad \bar{j}=\left(j, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1} .
\]

Основываясь на обсуждении в конце $§ 1$, дадим следующее
Определение 4.1. $u \in C\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ не имеет самопересечений, если орбита $\left\{\tau_{\bar{j}} u, \bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}\right\}$ вполне упорядочена, т. е. если для всех $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}$ при любом $x \in \mathbb{R}^{n}$ либо $\left(\tau_{\bar{j}} u\right)(x)-u(x)>0$, либо $<0$, либо $\equiv 0$.

Теорема 4.2. Если $и \in C\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ не имеет самопересечений, то существует вектор $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ такой, что
\[
\sup _{x \in \mathbb{R}^{n}}|u(x)-(\alpha, x)|<\infty .
\]

Более того, при таком $\alpha$ мы имеем
\[
\begin{array}{c}
|u(x+j)-u(x)-(\alpha, j)| \leqslant 1, \\
(\alpha, j)-j_{n+1}>0 \quad \text { влечет } u(x+j)-j_{n+1}-u(x)>0 .
\end{array}
\]

Эта теорема является следствием стандартных результатов об отображениях окружности (см. [17]). Приведем доказательство.
Рассмотрим счетное множество
\[
S_{x}=\left\{\left(\tau_{\bar{j}} u\right)(x), \quad \bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}\right\}
\]

и для $k \in \mathbb{Z}^{n}$ определим отображение $f^{k}: S_{x} \rightarrow S_{x}$ как перенос $x$ на $k$
\[
f^{k}: u(x+j)-j_{n+1} \rightarrow u(x+j+k)-j_{n+1} .
\]

Тогда, т.к. $u$ не имеет самопересечений, получим
\[
\begin{array}{c}
f^{k}(s)<f^{k}\left(s^{\prime}\right) \quad \text { для } \quad s<s^{\prime}, \quad s, s^{\prime} \in S_{x} \\
f^{k}(s+1)=f^{k}(s)+1 .
\end{array}
\]

Кроме того, отображения $f^{k}, f^{l}$ коммутируют для $k, l \in \mathbb{Z}^{n}$.
Для такого отображения $f=f^{k}$ известны следующие факты, взятые из теории гомеоморфизмов окружности Данжуа (см. [17], приложение к разделу 2 ):
$\alpha$ ) Предел
\[
\lim _{q \rightarrow \infty} \frac{f^{k q}(s)}{q}=\alpha(k)=\sum_{
u=1}^{n} \alpha_{
u} k_{
u}
\]

существует и не зависит от $s$. Это число $\alpha(k)$ называется числом вращения $f^{k}$.
$\beta$ ) Для периодических функций $f^{k}(s)-s$ верно неравенство
\[
\left|f^{k}(s)-s-\alpha(k)\right| \leqslant 1 \quad \text { для всех } \quad s \in S_{x} .
\]

$\gamma$ ) Для любых двух целых чисел $p, q$ верно следующее утверждение: $q \alpha(k)-p>0$ влечет $f^{k q}(s)-p-s>0$ для всех $s \in S_{x}$. Другими словами, точки $\left\{f^{k q}(s) ; q \in \mathbb{Z}\right\}$ упорядочены на окружности $\mathbb{R} / \mathbb{Z}$ также, как точки $\alpha(k) \cdot q$.

Утверждения $\beta$ ) и $\gamma$ ) преобразуются в (4.2) и (4.3). Чтобы доказать первое утверждение теоремы 4.2 , примем
\[
Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}, \quad\left|x_{
u}\right| \leqslant \frac{1}{2}\right\}
\]

и выберем для данного $x \in \mathbb{R}^{n}$ такой вектор $j \in \mathbb{Z}^{n}$, что $x+j=y \in Q$. Тогда функция $w(x)=u(x)-(\alpha, x)$ удовлетворяет неравенству (4.2)
\[
|w(y)-w(x)| \leqslant 1 .
\]

Следовательно,
\[
|w(x)-w(0)| \leqslant|w(y)-w(0)|+1 \leqslant \underset{Q}{\operatorname{osc}} w+1 .
\]

Из этого следует ограниченность $w(x)$ и, что более точно, оценка
\[
|u(x)-u(0)-(\alpha, x)| \leqslant 1+\underset{Q}{\operatorname{osc}}(u(x)-(\alpha, x)) .
\]

Из-за связи с числом вращения для отображений окружности назовем вектор наклона $\alpha$ также вектором вращения.
в) Теперь предположим, что $u$ является минималью вариационной задачи (1.7).

Определение 4.3. Функция $u \in H_{\text {loc }}^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ называется минималью задачи (1.7), если выполняется условие (1.11).

Используя работу Джиаквинты и Джиусти о $Q$-минималях, можно заключить, что эти минимали являются функциями непрерывными по Гельдеру. Для этого нам требуются только условия (1.8) (I), (III), но не условие (II). Добавляя это предположение (1.8) (II), можно установить, что минимали принадлежат классу $C^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ и удовлетворяют уравнению Эйлера (1.10). Поэтому для таких минималей получаем классический принцип максимума.

Предложение 4.4. Если $u, v$-две минимали, удовлетворяющие условию $u \leqslant v$ в открытой области $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$, то либо $u<v$, либо $u \equiv v$ ${ }_{8} \Omega$.

Семейство минималей инвариантно относительно переносов $\tau_{\bar{j}}$ (см. (4.1)). Сейчас рассмотрим класс минималей без самопересечений, который мы обозначим $\mathfrak{M}$. Требование отсутствия самопересечений довольно ограничивающее, как показывает пример интеграла Дирихле $F=\frac{1}{2} u_{x}^{2}$. В этом случае каждая гармоническая функция является минималью, но только линейные функции принадлежат $\mathfrak{M}$. С помощью теоремы 4.2 можно связать с $u \in \mathfrak{M}$ вектор $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Минимали, соответствующие $\alpha$, будут объединены в множество $\mathfrak{M}_{\alpha}$. Так
\[
\mathfrak{M}=\bigcup_{\alpha} \mathfrak{M}_{\alpha}
\]

является объединением непересекающихся множеств.
Прежде чем ответить на вопрос о том, верно ли, что $\mathfrak{M}_{\alpha}
eq \varnothing$, получим некоторые априорные оценки и свойства компактности. Доказательства см. в [17].
г) Теорема 4.5. Существует константа $c_{1}$, зависящая от $F$, такая, что для любого $u \in \mathfrak{M}_{\alpha}$ выполнено неравенство
\[
|u(x+y)-u(x)-(\alpha, y)| \leqslant c_{1} \sqrt{1+|\alpha|^{2}} .
\]

Здесь $c_{1}$ не зависит от $\alpha и u$.
Кроме того, для всех $|\alpha| \leqslant A$ существуют положительные константы $\gamma, \varepsilon$, зависящие от $F$ и $A$ такие, что для всех $u \in \mathfrak{M}_{\alpha}$ выполнена оценка
\[
\left|u_{x}\right|_{C^{\varepsilon}} \leqslant \gamma .
\]

Первое неравенство, основа для всего следующего изложения, означает, что график $u$ находится на расстоянии $\leqslant 2 c_{1}$ от гиперплоскости $x_{n+1}=(\alpha, x)+u(0)$. Это может рассматриваться как аналог теоремы Хедлунда [10] о минимальных геодезических на двумерном торе. Его работа основана на работе Морса [15] о таких геодезических на поверхностях более высокого рода.

Для доказательства требуется, в соответствии с (4.5), оценка osc $u$, и она может быть получена с помощью работы Джиаквинты и Джиусти $[7,8]$. Они доказали, что минимали (даже $Q$-минимали) принадлежат к так называемому классу де Джорджи, для которого могут быть получены поточечные оценки (см. Ладышенская и Уральцева [12]). Доказательство теоремы 4.5 смотрите в [17].

Самым важным следствием теоремы 4.5 является свойство компактности минимали. Если $u_{m} \in \mathfrak{M}_{\alpha_{m}},\left|\alpha_{m}\right| \leqslant A$ последовательность минималей, для которой можно предположить, что $0 \leqslant u_{m}(0)<1$, вычитая целое число, то подпоследовательность сходится к функции $u$ в $C^{1}$-топологии. Под $C^{r}$-топологией мы понимаем равномерную сходимость функций и их производных вплоть до порядка $r$ на всех компактных подмножествах $\mathbb{R}^{n}$. Можно легко проверить, что предельная функция $u$ является минималью. Кроме того, $u$ не имеет самопересечений. В самом деле очевидно, что для каждого $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}$ функция $\tau_{\bar{j}} u-u$ не меняет знак, и, учитывая предложение 4.4, применяемое для $v=\tau_{\bar{j}} u$, получаем строгое неравенство, если не верно тождество $\tau_{\bar{j}} u \equiv u$.

Это доказательство приводит к следующей теореме, где $\mathfrak{M}_{\alpha} / \mathbb{Z}$ получено из $\mathfrak{M}_{\alpha}$ путем отождествления $u$ с $u+\left(\right.$ целые числа) и где $\mathfrak{M}_{A}=$ $=\bigcup_{|\alpha| \leqslant A} \mathfrak{M}_{\alpha}$ :

Теорема 4.6. Множество $\mathfrak{M}_{A} / \mathbb{Z}$ компактно относительно $C^{0}$-топологии. Кроме того, $\alpha=\alpha(u)$ является непрерывной функцией на $\mathfrak{M}_{A} / \mathbb{Z}$ в этой топологии.

Отметим, что с учетом теоремы 4.5, последовательность $u_{m} \in \mathfrak{M}$ сходится в $C^{0}$-топологии тогда и только тогда, когда она сходится в $C^{1}$-топологии.
д) Перейдем к вопросу о существовании элемента в $\mathfrak{M}_{\alpha}$. Это необычная задача, т.к. базисная область $u$, а именно $\mathbb{R}^{n}$, некомпактна и вектор $\alpha$ в некотором смысле представляет граничное условие на бесконечности. Чтобы преодолеть эти трудности, рассмотрим рациональные векторы $\alpha \in \mathbb{Q}^{n}$. Тогда $j \in \mathbb{Z}^{n}$ такие, что $(j, \alpha) \in \mathbb{Z}$ формируют подрешетку конечного индекса в $\mathbb{Z}^{n}$, а функции из
\[
\mathfrak{M}_{\alpha}^{\text {per }}=\left\{u \in \mathfrak{M}_{\alpha} \mid \tau_{\bar{j}} u=u \text { всякий раз, когда }(\bar{j}, \bar{\alpha})=0\right\}
\]

определяют график, который является подтором в $T^{n+1}$. На самом деле, $u(x)-(\alpha, x)$ является периодической функцией, периоды которой состоят из подрешетки $\left\{j \in \mathbb{Z}^{n} \mid(j, \alpha) \in \mathbb{Z}\right\}$. Ее фундаментальная область компактна, и можно применить стандартные вариационные методы, чтобы доказать, что $\mathfrak{M}_{\alpha}^{\text {per }}
eq \varnothing$ для $\alpha \in \mathbb{Q}^{n}$.

Здесь необходимо преодолеть некоторую трудность: нужно доказать, что функция $u$, минимизирующая (1.7) в фундаментальной области с указанным ранее условием периодичности, автоматически мини-

мизирует (1.7) в смысле (1.11) в целом. В данном случае существенной является скалярная природа (принцип максимума) (см. [17]). Таким образом получим $\mathfrak{M}_{\alpha}
eq \varnothing$ для $\alpha \in \mathbb{Q}^{n}$.

Если $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ произвольно, то выберем аппроксимирующую последовательность $\rho_{m} \in \mathbb{Q}^{n}, \rho_{m} \rightarrow \alpha$ и последовательность $u_{m} \in \mathfrak{M}_{\rho_{m}}$. Из теоремы 4.6 получим:
Теорема 4.7. $\mathfrak{M}_{\alpha}
eq \varnothing$ для всех $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$.
Отсюда вытекает, что $\mathfrak{M}_{\alpha}^{\text {per }}$ является в общем случае собственным подмножеством $\mathfrak{M}_{\alpha}$ для рациональных $\alpha$. Непериодичные функции $u \in \mathfrak{M}_{\alpha}, \alpha \in \mathbb{Q}^{n}$ были недавно изучены В. Бангертом. (В. Бангерт, лекция, прочитанная на конференции по динамическим системам, Оберволфах, май, 1987.)