§ 1.5. СЛУЧАЙ БЛИЗКИХ ГИПОТЕЗ

1.5.1. Вводные замечания.

Если при выборе между двумя гипотезами о параметре плотности разность между гипотетическими значениями параметра мала, то при равномерной непрерывности по а разности соответствующих вероятностных характеристик и другие также малы. Если при этом зафиксировать , то, согласно соотношению (1.21), для их достижения чем меньше тем больший необходим объем выборки Очевидно, что при фиксированных

Рассматриваемый асимптотический случай (и, как следствие этого, мы будем называть случаем близких гипотез.

Другими словами, сколь бы мало ни было всегда найдется такое большое что может быть осуществлена оптимальная (в смысле минимального классическая процедура с заданными

Случай близких гипотез имеет важное практическое значение, так как он соответствует случаю обнаружения слабых сигналов на фоне шума.

В этом случае статистические методы обнаружения сигналов на фоне шума (см. гл. 4) являются единственными эффективными методами.

Вместе с тем все приведенные соотношения между параметрами как классической, так и последовательной процедур в случае близких гипотез существенно упрощаются.

Кроме того, в этом случае могут быть получены новые результаты, касающиеся распределения числа испытаний в последовательной процедуре (см. п. 1.54), оценки эффективности последовательной процедуры (см. § 1.6), а также оптимальной дискретизации (см. § 2.2). Без предположения о близости гипотез получить эти результаты затруднительно и они не носят такого универсального характера, сложнее, чем в этом случае, зависят от конкретного вида распределения Случай близких гипотез при фиксированных как уже отмечалось выше, эквивалентен случаю «больших выборок» (большое ), что в свою очередь приводит к асимптотической нормальности логарифма коэффициента правдоподобия в силу центральной предельной теоремы.