§ 1.6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ПО СРАВНЕНИЮ С КЛАССИЧЕСКОЙ

При одних и тех же средние числа испытаний до вынесения окончательного решения в последовательной процедуре меньше, чем соответствующее фиксированное число испытаний в классической процедуре.

Это практическое обстоятельство привлекло внимание к последовательному анализу его создателя А. Вальда,

а затем вслед за ним и ряд других исследователей.

Однако не при всех истинных значениях параметра а величина меньше но из соображений непрерывности можно утверждать, что в окрестностях значения меньше Эффективность последовательного анализа по сравнению с классическим естественно измерять отношением

Вальд называл его эффективностью последовательного анализа, и в [1] проанализировал величину при нормальной плотности При этом рассматривались не очень разнящиеся значения в пределах от 0,1 до 0,05 (симметричные пороги). При этом оказалось, что Длительное время эта величина считалась традиционным показателем эффективности последовательного анализа.

В работе авторов [36] впервые было обращено внимание на то, что для нормальной плотности в несимметричном случае порогов либо неравноценность ошибок первого и второго рода), эффективность последовательного анализа теоретически стремится к 1 (неограниченный выигрыш), т. е.

Это обстоятельство, имеющее первостепенное практическое значение, в основном и стимулировало дальнейшие теоретические исследования авторов.

Проанализируем величину последовательного анализа для случая близких гипотез в окрестности значений

Имеет место следующий важный факт.

Для случая близких гипотез в окрестности значений

является функцией лишь и имеет соответственно вид

В самом деле, разделив выражения для в окрестностях а на выражение для получим соотношение (1.118).

Заметим, что аналогичные выражения для но только при значениях а, в точности равных впервые встречаются у Вальда [1] для случая нормальных плотностей и в [37 и 38] для случая близких гипотез. В последней работе проведен наиболее тщательный анализ (в том числе и численный) выражения в зависимости от

Рассмотрим асимптотический случай малых значений а или (3 или их обоих. Легко видеть, что в этом случае

Подставив выражения (1.119), (1.120) и (1.121) в соотношение (1.119), будем иметь

Из (1.122) и (1.123) следует, что если имеют один и тот же порядок малости, то асимптотически при в окрестностях значений

На этот факт впервые обращено внимание в работе [38]. Таким образом, в случае симметричных порогов, когда

Как показали численные расчеты [38], стремление к 0,25 при крайне медленное (при см. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Зависимость отношения от (взято из [38]).

Рассмотрим теперь случай несимметричных порогов разного порядка малости).

Пусть тогда из (1.122) и (1.123) будем иметь

Соотношение (1.125) впервые приведено в [36] (формула (12) для случая нормальной плотности и

Аналогично при иеем

Если положить то получим из (1.122) и (1.123)

Соотношения (1.129) и (1.130) впервые приведены в [38] для случая близких гипотез

Соотношения (1.125), (1.126) и (1.127), (1.128) показывают, что в случае несимметричных порогов в зависимости от порядка малости повышение эффективности последовательного анализа, если верна одна из гипотез, происходит за счет нивелирования его эффективности, если верна другая гипотеза. Несмотря на то в ряде практических ситуаций (см. гл. 4) такой эффект несимметричности оказывается чрезвычайно полезным, а сама несимметричность порогов (связанная с неравноценностью ошибок обоих родов) адекватна постановке задачи.

Проанализируем теперь эффективность для случая истинного значения параметра а когда достигает своего максимального значения, т. е. наименее благоприятный случай последовательного анализа.

В случае близких гипотез значение т. е.

В этом случае рассчитывается по формуле (1.36). Подставив в нее соотношение (1.56), а затем,

поделив на получим в случае близких гипотез

Если а и то из (1.131) имеем

В случае симметричных порогов, когда а из (1.132) имеем

В случае несимметричных порогов, когда

и, когда

Соотношения (1.133), (1.134) и (1.136) указывают на то, что и эффективность последовательного анализа в наихудшем случае в случае близких гипотез может быть отрицательной (т. е. анализ не выгоден), правда только для очень малых значений . Для симметричных порогов при этом должны иметь значения Как бы то ни было, но при практическом использовании последовательного анализа при чрезмерной затяжке последовательной процедуры то ли от дисперсионных факторов, то ли от попадания истинного значения параметра между нужно выносить решение о прекращении испытаний до выхода за пороги окончания процедуры. При этом возникает новая ситуация так называемого усеченного последовательного анализа.

Эффективное построение оптимальной процедуры усеченного последовательного анализа до сих пор не найдено. В следующем параграфе будут описаны две практически важные операции, «злоупотребление»

которыми понижает эффективность последовательного анализа по сравнению с классическим. Такими операциями являются усечение и группировка.