2.2.3. Решение задачи оптимальной бинарной дискретизации.

Для случая бинарной дискретизации имеется один порог дискретизации [см. (2.5)]

При этом согласно (2.4) после несложных преобразований принимает простой вид

Продифференцируем по Будем иметь

Приравнивая соотношение (2.7) нулю (предполагаем, что множитель перед фигурной скобкой отличен от нуля)

получаем основное уравнение для определения экстремального значения порога

Рассмотрим решение задачи бинарной дискретизации для некоторых широких классов плотностей

1. Рассмотрим класс плотностей аддитивным вхождением параметра а, симметричных по х вокруг нуля с единственным максимумом в нем, при Это означает, что

откуда

и

С учетом соотношений (2.10) и того, что основное трансцендентное уравнение (2.8) в нашем случае имеет вид

Для отыскания решения уравнения (2.11) заметим, что из (2.9) следует откуда Поэтому, так как видим, что уравнение (2.11) имеет корень Можно показать, что этот корень является единственным и при нем достигает максимума (см. также рис. 2.1), равного [см. (2.6)]:

При этом оптимальный порог дискретизации

2. Рассмотрим класс плотностей с Функцией распределения, имеющей следующий вид:

где дифференцируемая функция; при х, меняющемся от до пусть монотонно возрастает от до

Рис. 2.1. Величины при неоптимальном выборе порога бинарной дискретизации х в зависимости от нормальная и Релея функции распределения из класса соответственно).

Пусть возможные значения а больше

Введем обозначения и Из (2.13) имеем

С учетом соотношений (2.14) и того, что уравнение (2.8) в нашем случае имеет вид

Так как по условию монотонно возрастает, то и из (2.15) получаем после несложных преобразований уравнение

Но поэтому имеем окончательно трансцендентное уравнение

Значение при котором удовлетворяется уравнение (2.16), таково, что

Таким образом,

Можно показать, что этот корень является единственным и при нем достигает максимума (см. также рис. 2.1), равного [см. (2.6), (2.14) и (2.16)]

Итак, имеем окончательно

3. Рассмотрим экспоненциальный класс плотностей плотности которого имеют следующий вид:

где и - неотрицательные, дифференцируемые функции. Исходя из (2.19), имеем:

следовательно,

Использовав соотношения (2.20), получим из (2.8) следующее уравнение для экстремального

Пусть тогда, используя двойное представление будем иметь после несложных преобразований (2.21) следующее уравнение для

Без дополнительных ограничений класса трудно что либо сказать о решении (2.22). Однако если потребовать симметричности плотности вокруг значения то как легко видеть, корнем (2.22) окажется значение

В частности, если положить и потребовать аддитивного вхождения а в то мы придем к плотностям принадлежащим одновременно к классам

Пусть теперь Тогда, для того чтобы плотность удовлетворяла обязательному свойству необходимо, чтобы а лежало на отрицательной полуоси — То есть Таким образом, мы пришли к частному случаю плотности из класса для которой и параметр играет роль 0. Можно проверить, что в этом случае уравнение (2.23) переходит в уравнение (2.16), т. е. имеет корень В самом деле, имеем в нашем случае, обозначая

Далее

и

Подставив соотношения (2.24) и (2.25) в (2.22), будем иметь

После несложных преобразований получим трансцендентное уравнение которое при замене переходит в эквивалентное ему трансцендентное уравнение (2.16) с тем же корнем. Простых решений в классе для плотностей, не принадлежащих классам не найдено. Однако общее трансцендентное уравнение (2.22) приведено для возможности его использования в численных расчетах для других плотностей. Оптимальная бинарная дискретизация была рассмотрена для частотных распределений (см. § 2.3) Райса [39, 40], Релея [34] и нормального [33].