2.3.3. Экспоненциальное распределение.

Экспоненциально распределенная случайная величина имеет плотность

и функцию распределения

Среднее и дисперсия просто выражаются через параметр а

Ставится задача выбора между двумя гипотезами о значении параметров

Классическое решение задачи основывается на однопороговом анализе логарифма коэффициента правдоподобия выборки фиксированного объема который в экспоненциальном случае имеет вид

Логарифм элементарного коэффициента правдоподобия имеет вид

Заметим, что случайная величина 5 пропорциональна случайной величине квадрату с двумя степенями свободы (см. [6, стр. 159]).

Откуда

В силу устойчивостираспределения (при композиции складываются степени свободы [6]) получим точное

выражение для оперативной характеристики классической процедуры, при

Итак,

где

и -кваитиль распределения -является корнем уравнения

Используя соотношения (2.61) и (2.63), будем иметь:

Соотношения (2.64) определяют связь между параметрами классической процедуры в рассматриваемом случае. Распределение табулированы [102, 103, 104].

При распределение хорошо аппроксимируется -нормальным распределением [6], т. е.

Учитывая (2.65), преобразуем соотношения (2.64) в более простые (см.

Так как здесь

и

то легко видеть, что соотношения (2.66) являются частным случаем соотношений (1.23), (1.24), (1.25), (1.21) соответственно.

В рассматриваемом случае легко показать, что

поэтому при соотношения (2.67) являются частным случаем соотношений (1.55) и (1.56), а соотношения -частным случаем соотношений (1.66).

Если строить классическую процедуру, основываясь на статистике

[см. (2.57)], то соотношения между параметрами процедуры (2.64) сохраняются при замене порога на порог

Последовательная процедура состоит в двухпороговом анализе статистики (2.57) с постоянными нижними и верхними порогами и переменным объемом выборки Если здесь перейти к статистике

то для нее нижний и верхний пороги будут линейно зависеть от числа испытаний

где

Параметры последовательной процедуры, так же как и классической, здесь имеют более сложные связи, чем в нормальном случае. Легко видеть, что уравнение (1.30) оказывается трансцендентным

Однако можно воспользоваться простой методикой Вальда применяемой им в бинарном дискретном случае для численного расчета оперативной характеристики

В самом деле, из (2.73) имеем

Теперь соответствующие значения могут быть получены из соотношений (2.75) и (2.74) для одних и тех же заданных значений Получив соответствующие значения при изменении от нуля до со, значения соответствующие — как легко видеть, можно получить из соотношений

Среднее число испытаний имеет вид

Откуда

и при когда

В случае несимметричных порогов при

используя соотношения (2.67), имеем

и параметр распределения Вальда при имеет вид

При соотношения (2.77) — (2.82) являются частным случаем общих соотношений (1.32), (1.34), (1.35), (1.36), (1.53), (1.54) и (1.98) соответственно.

Экспоненциальное распределение принадлежит классам и имеет оптимальный порог дискретизации при равный где

Непосредственно экспоненциальное распределение используется в гл. 7 при статистической оценке надежности.

Кроме того, с ним связано так называемое распределение Релея.

Вид оптимальной обработки (2.57), а также связь параметров последовательной процедуры в случае экспоненциального вида (кроме (2.81) и содержатся в [45], где имеются также ссылки на более ранние работы.