§ 2.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ К ДИСКРЕТНЫМ. (ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ)

2.2.1. Оптимальные принципы дискретизации.

Традиционный математический переход от дискретных величин к непрерывным диктуется в основном физической проблематикой и в ряде случаев упрощает математические рассмотрения.

В технических задачах, где все рассмотрения лимитируются ограниченной разрешающей способностью приборов, предельно «мелкая» дискретизация достигается на порогах их разрешающей способности. Более мелкая дискретизация, приводящая в пределе к непрерывным рассмотрениям, является абстракцией, часто удобной для упрощения математических рассмотрений.

В целом обе эти схемы практически неразличимы при достаточно малых порогах разрешающей способности.

Современное развитие вычислительной техники дискретного счета требует рассмотрения предельно «грубой», вплоть до бинарной, дискретизации реально непрерывных величин. При этом ряд известных принципиальных технических преимуществ дискретного счета часто имеют большее значение, чем связанные с дискретизацией потери в точности задания непрерывных величин. С математической точки зрения такого рода новые задачи в отличие от старых требуют перехода от непрерывных величин к дискретным, а не наоборот.

В зависимости от цели, для которой используется непрерывная случайная величина, можно формулировать оптимальные правила замены ее соответствующим дискретным аналогом. Ниже формулируются оптимальные принципы такой замены для непрерывной случайной величины о значениях параметра плотности которой выдвигаются две гипотезы.

Прежде всего опишем процедуру дискретизации непрерывной случайной величины с плотностью в результате чего получается дискретная случайная величина принимающая значений.

Пусть 6 определена на интервале действительной прямой и назначено порогов дискретизации

разбивающих интервал на подынтервалов Полагаем

В этом случае непрерывной случайной величине может быть сопоставлена дискретная случайная величина определяемая таблицей

где произвольные различные числа, ассоциированные с попаданием 5 в интервалы соответственно, а

— соответствующие им вероятности, причем

— функция распределения

Таким образом, распределение 6 зависит от вида дискретизации определяемого выбором порогов (2.1). Будем записывать это так:

Поставим задачу выбора между двумя гипотезами

о значении параметра а вероятностей (дискретный аналог плотности При фиксированных оптимальные классическая и последовательная процедуры приводят к минимальным значениям числа испытаний и среднего числа испытаний соответственно.

Оптимальными будем называть такие дискретизации и Ппри которых достигаются нижние грани,

или минимумы (если они существуют)

соответственно для классической и последовательной процедур.