1.2.4. Оптимальные принципы последовательного выбора между гипотезами.

Последовательная процедура Вальда. Последовательная процедура выбора между двумя гипотезами обобщает классическую процедуру. Она не основывается в отличие от последней на заранее фиксированном объеме выборки В ней решение о прекращении испытаний выносится в зависимости от уже прошедшей части эксперимента следующим образом

На каждой стадии эксперимента, приводящей к выборке объема совокупность всевозможных выборок объема разбивается на три непересекающиеся области Если выборка (1.3) попадает в то принимается гипотеза и испытания оканчиваются. Если выборка (1.3) попадает в то принимается гипотеза и испытания оканчиваются.

Если выборка (1.3) попадает в то не принимается ни одна из гипотез, а производится следующее испытание, доставляющее выборочное значение после чего анализируется аналогично выборке (1.3) выборка Ясно, что в описанной последовательной процедуре число испытаний (объем выборки), необходимое для окончательного выбора между гипотезами, оказывается случайной величиной.

Рассмотренная в п. 1.2.3 классическая процедура является частным вырожденным случаем последовательной процедуры. В самом деле, положим

будем принимать решение только на шаге. Ясно, что при этом последовательная процедура вырождается в классическую с заранее фиксированным объемом выборки Ввиду случайного характера числа испытаний в последовательных процедурах, определяемых правилом выбора областей естественно считать лучшей из них ту, которая при тех же приводит к минимальному среднему значению из-за наиболее рационального построения областей

Оптимальной называется такая последовательная процедура, которая при тех же имеет по сравнению с остальными последовательными процедурами минимальное

Так как классическая процедура является частным случаем последовательной с фиксированным числом наблюдений то отыскание оптимальной последовательной процедуры имеет смысл потому, что она приводит к значению которое может оказаться существенно меньшим, чем соответствующее (с теми же классическое число наблюдений Как будет показано в § 1.6, этот факт имеет место на самом деле.

А. Вальд [1] нашел способ получения оптимальной последовательной процедуры, состоящей в оптимальном определении областей . В отличие от оптимальной классической процедуры здесь задаются две константы А к В -два порога.

Область задается неравенством

область неравенствами

и область неравенством

В соответствии с этим, если выборка удовлетворяет неравенству (1.7), то принимается гипотеза и испытания прекращаются. Если выборка удовлетворяет

неравенству (1.9), то принимается гипотеза и испытания прекращаются. Наконец, если выборка удовлетворяет неравенством (1.8), то никакого решения не принимается и проводится следующее испытание.

Вальдом же [1] были найдены связи между параметрами задачи

Следует отметить, что оптимальность указанной последовательной процедуры в отличие от классического критерия Неймана и Пирсона доказана [1, 29] лишь для случая однородной независимой выборки, когда выборочные значения являются независимыми реализациями одной и той же случайной величины.

Кроме того, минимальность для оптимального критерия по сравнению с любым другим последовательным критерием доказана лишь для двух наиболее инте ресных значений параметра

Аналогичные требования для любых значений параметра а — «равномерно наилучший критерий» — не оправданы, так как такие критерии имеют место лишь в исключительных случаях [1, стр. 57]. В дальнейшем в этой главе будут рассматриваться только однородные независимые выборки.