2.3.5. Распределение Райса.

Распределение Райса случайной величины определяется плотностью

где

— модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Эта плотность не входит ни в один из рассмотренных классов. При она вырождается в плотность Релея, а при переходит в нормальную плотность со средним а и единичной дисперсией [46].

Таким образом, распределение Релея занимает как бы промежуточное положение между указанными распределениями.

Соответствующая функция распределения

не выражается в элементарных функциях. Для больших а интересное соотношение между -квантилями распределений Райса и нормального содержится в [47]. Таблицы распределения Райса содержатся в [105]. Рассмотрим задачу выбора между гипотезами

Здесь логарифм коэффициента правдоподобия выборки объема имеет вид

Логарифм элементарного коэффициента правдоподобия

Сколько-нибудь эффективного решения задачи о выборе между двумя гипотезами в общем случае здесь получить не удается. Будет рассмотрен несколько более общий случай, чем случай близких гипотез , поэтому нельзя непосредственно применять общую теорию, развитую в § 1.5; и необходимы специальные рассмотрения, учитывающие вид распределения Райса. Следуя [48], ниже рассмотрим случай, когда а а может быть произвольным.

В этом случае можно показать (см. приложение 1 теорема 2), что с вероятностью, близкой к единице, имеет место следующее представление случайной величины [48];

где и -независимые случайные величины. Первая имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы, вторая — нормально распределенная случайная величина со средним

и дисперсией

где

— вырожденная гипергеометрическая функция. Среднее и дисперсия С имеют вид

и

Так как распределения и нормальное устойчивы при композиции, то из (2.92) имеем

где случайная величина хи-квадрат с степенями свободы, нормально - распределенная случайная величина.

В силу (2.98) оперативная характеристика классической однопороговой процедуры имеет здесь вид

Рассмотрим теперь случай близких гипотез В этом случае по-прежнему пренебрегают величинами порядка и поэтому можно пренебречь величиной дисперсии случайной величины так как

Поэтому случайная величина вырождается в константу, равную ее среднему. Учитывая этот факт и соотношения (2.95), (2.96) и (2.97), имеем

Соотношения (2.100) и (2.101) с точностью до нормировки совпадают с формулами, приведенными в [31].

Если в качестве параметра а распределения принять

— а, то легко видеть, что и соотношения (2.100) и (2.101) оказываются следствием соотношений (1.55) и (1.56).

В случае близких гипотез оперативная характеристика также упрощается и имеет вид

При больших имеем [см. (2.65)]

что соответствует соотношению (1.68). Из соотношений (2.102) и (2.103) могут быть получены соотношения между параметрами классической процедуры. Приведем эти соотношения, следующие из (2.103). Имеем [48]:

В случае близких гипотез логарифм коэффициента правдоподобия (2.90) упрощается

при этом используется разложение

Практически можно ограничиваться учетом лишь квадратичной статистики в выражении (2.105) [49].

Если строить классическую процедуру, основываясь на статистике

то соотношения между параметрами процедуры (2.104) сохраняются при замене порога на порог

Последовательная процедура состоит в двухпороговом анализе статистики (2.90) с постоянным Еерхним и нижним порогами и переменным объемом выборки.

Определение параметра сразу же приводит в общем случае к сложному трансцендентному уравнению (см. [31])

Здесь по аналогии с предыдущими случаями нельзя перейти к параметрическому (по параметру К) вычислению оперативной характеристики так как уравнение

(2.109) не разрешается относительно а. Численное решение (2.109) приводит к большим вычислительным трудностям, связанным с численным интегрированием не берущегося в элементарных функциях интеграла.

Для случая близких гипотез при малых в окрестности — величину можно согласно (1.82) определять из соотношения

что приводит к выражению и среднего числа наблюдений в тех же окрестностях

откуда

При когда и

среднее

В случае несимметричных порогов

и параметр распределения Вальда имеет вид

где

Задача выбора одной из двух гипотез о величине параметра плотности распределения Райса рассматривалась в классической [48] и последовательной [31] постановках, где можно найти ссылки на более ранние публикации. Распределение Райса возникает в связи с задачей обнаружения сигнала постоянной амплитуды и случайной фазы на фоне шумов [46] (см. гл. 4, § 4.2). Часто в приложениях встречается другая нормировка