Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.5.5. Свойства и таблицы распределения Вальда.
Универсальный характер распределения Вальда для случая близких гипотез и несимметричных порогов оправдывает более тщательное изучение его свойств, а также его табулирование.
Рис. 1.2. Плотность вероятности распределения Вальда, зависящая от параметра
Плотность вероятности распределения Вальда (1.42) имеет вид однопараметрического семейства функций (рис. 1.2)
параметра с (подробный вывод этого распределения см. [1, стр. 240-243}).
Плотность (1.96), деленная на
аппроксимирует не распределение
случайной величины
а распределение
случайной величины
В соответствии с этим ее аргумент (см. 1.43)
Заметим, что, воспользовавшись выражением параметра (1.43) и соотношениями (1.55), (1.56) и (1.88), (1.89), получим следующие эквивалентные его представления
Учитывая, что рассмотрения ведутся при
и
имеем для с приближенное соотношение
Вальд нашел [1] характеристическую функцию плотности
Она имеет вид
Дифференцируя
по и, находим
в соответствии с предыдущими замечаниями.
Дифференцирование (1.96) по х и приравнивание к нулю полученного выражения дает абсциссу максимума
моду
Соотношение (1.102) указывает на то, что абсциссы всех максимумов
или различных с лежат левее 1 и при
стремятся к 1 (см. рис. 1.2).
Параметр с из (1.102) выражается через моду
по формуле
Значения плотности
в точках
таковы:
и
Из (1.105) следует (см. рис. 1.2), что огибающая максимумов
при изменении с в пределах
вогнута и обращается при с
в бесконечность. При этих же значениях
вырождается в дельта-функцию.
Асимптотическое поведение
при с
еще не изучено.
Рассмотрим асимптотику
при с
Для этого рассмотрим нормированную случайную величину
Ее характеристическая функция имеет вид
Но
Поэтому, подставив полученное разложение в (1.107), будем иметь при
Откуда следует (см., например, [6]) нормальность случайной величины
На этот факт без строгого обоснования обращено внимание в [1].
Асимптотическое поведение
при фиксированном с и
[34] имеет вид
Практически больший интерес, чем сама плотность
имеет ее функция распределения
которая в отличие от плотности не выражается в элементарных функциях.
Следует отметить важное интегральное тождество, которому удовлетворяет функция распределения
[77]
Это тождество легко получается заменой
в первом интеграле. Из (1.110) получим
В приложениях часто необходимо знать среднее значение не самого распределения Вальда, а средние усеченного на
и укороченного на
распределений Вальда. Последние определяются так.
Если задана плотность распределения Вальда
то, как обычно, плотность усеченного на
распределения Вальда имеет вид
В [51] было получено следующее соотношение
которое следует из соотношений (12), (15) и (16) в гл. 3 § 3.1 [4].
Верность соотношения (1.115) легко проверяется дифференцированием обеих его частей по у. На основании (1.115) получены следующие оценки
через
[100].
При больших с, когда и
где
При малых
Соотношение (1.115) удобно для вычисления значений
по у, но не наоборот в связи со сложностями интерполяции. Это оправдывает составление таблиц
-квантилей
[106] (см. приложение 2)