1.5.5. Свойства и таблицы распределения Вальда.

Универсальный характер распределения Вальда для случая близких гипотез и несимметричных порогов оправдывает более тщательное изучение его свойств, а также его табулирование.

Рис. 1.2. Плотность вероятности распределения Вальда, зависящая от параметра

Плотность вероятности распределения Вальда (1.42) имеет вид однопараметрического семейства функций (рис. 1.2)

параметра с (подробный вывод этого распределения см. [1, стр. 240-243}).

Плотность (1.96), деленная на аппроксимирует не распределение случайной величины а распределение

случайной величины

В соответствии с этим ее аргумент (см. 1.43)

Заметим, что, воспользовавшись выражением параметра (1.43) и соотношениями (1.55), (1.56) и (1.88), (1.89), получим следующие эквивалентные его представления

Учитывая, что рассмотрения ведутся при и имеем для с приближенное соотношение

Вальд нашел [1] характеристическую функцию плотности Она имеет вид

Дифференцируя по и, находим

в соответствии с предыдущими замечаниями.

Дифференцирование (1.96) по х и приравнивание к нулю полученного выражения дает абсциссу максимума моду

Соотношение (1.102) указывает на то, что абсциссы всех максимумов или различных с лежат левее 1 и при стремятся к 1 (см. рис. 1.2).

Параметр с из (1.102) выражается через моду по формуле

Значения плотности в точках

таковы:

и

Из (1.105) следует (см. рис. 1.2), что огибающая максимумов при изменении с в пределах вогнута и обращается при с в бесконечность. При этих же значениях вырождается в дельта-функцию.

Асимптотическое поведение при с еще не изучено.

Рассмотрим асимптотику при с Для этого рассмотрим нормированную случайную величину

Ее характеристическая функция имеет вид

Но

Поэтому, подставив полученное разложение в (1.107), будем иметь при

Откуда следует (см., например, [6]) нормальность случайной величины

На этот факт без строгого обоснования обращено внимание в [1].

Асимптотическое поведение при фиксированном с и [34] имеет вид

Практически больший интерес, чем сама плотность имеет ее функция распределения

которая в отличие от плотности не выражается в элементарных функциях.

Следует отметить важное интегральное тождество, которому удовлетворяет функция распределения [77]

Это тождество легко получается заменой в первом интеграле. Из (1.110) получим

В приложениях часто необходимо знать среднее значение не самого распределения Вальда, а средние усеченного на и укороченного на распределений Вальда. Последние определяются так.

Если задана плотность распределения Вальда то, как обычно, плотность усеченного на распределения Вальда имеет вид

Укороченное на распределение Вальда определяется так:

Вообще говоря, усечение на распределения с соответствующей генеральной совокупностью состоит в образовании распределения такого, что соответствующая ему генеральная совокупность получается из генеральной совокупности выбрасыванием всех значений

Укорочение на распределения приводит к распределению генеральная совокупность которого получается из генеральной совокупности заменой всех значений на значения

Используя определения (1.112) и (1.113) и тождество (1.111), будем иметь для средних значений усеченного и укороченного на распределений Вальда соответственно

и

что сводит их вычисление к вычислению функции распределения

Введем обозначения для -квантилей распределения Вальда

Тогда из асимптотической нормальности 1, случайной величины при с имеем

В [51] было получено следующее соотношение

которое следует из соотношений (12), (15) и (16) в гл. 3 § 3.1 [4].

Верность соотношения (1.115) легко проверяется дифференцированием обеих его частей по у. На основании (1.115) получены следующие оценки через [100].

При больших с, когда и

где

При малых

Соотношение (1.115) удобно для вычисления значений по у, но не наоборот в связи со сложностями интерполяции. Это оправдывает составление таблиц -квантилей [106] (см. приложение 2)