2.2.2. Оптимальная дискретизация для случая близких гипотез.

Решение задачи оптимальной дискретизации, т. е. отыскание оптимальной дискретизации для данной плотности в общем случае представляет сложную экстремальную задачу. К тому же ее решение будет существенно зависеть от конкретного вида и поэтому не будет иметь универсального характера. Если рассматривать лишь случай близких гипотез, то решение задачи упрощается и оно, как мы увидим ниже, может иметь универсальный характер для целых классов плотностей

Рассмотрим случай близких гипотез. В этом случае при заданных задача минимизации [см. (1.67), (1.85), (1.86) и (1.87)] сводится к

максимизации коэффициента Последний для дискретной случайной величины имеет вид

Таким образом, для случая близких гипотез задача оптимальной дискретизации сводится к отысканию дискретизации при которой достигается верхняя грань

или максимум (если он существует)

Существенно отметить, что в этом случае оптимальная дискретизация одна и та же как для классической, так а для последовательных процедур.

Преобразуем выражение к виду, более удобному для постановки экстремальной задачи.

Использовав соотношение (2.2), запишем (2.3) в виде

при условии

Таким образом, оказывается функцией переменных

связанных соотношениями (2.5).

Общая запись уравнений, получающихся после приравнивания нулю частных производных довольно

громоздка. Отметим, что эти уравнений являются трансцендентными и имеют рекуррентную структуру, которая в принципе позволяет последовательно определять экстремальные значения После отыскания экстремальных значений необходима проверка выполнения для них соотношений (2.5), а также того, что при них достигает максимума. В следующем пункте дано эффективное решение задачи оптимальной дискретизации Решение задачи в этом простейшем случае позволяет оценить потери, связанные с дискретизацией для (см. пункт 2.24). Эффективное решение задачи для имело бы большой интерес, но пока не удалось преодолеть аналитических трудностей, связанных с аналитическим решением упомянутой рекуррентной системой трансцендентных уравнений.