§ II.3. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА ЗАНЯТЫХ ЯЧЕЕК ПАМЯТИ КИБЕРНЕТИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА

Если интерпретировать фиксацию ячеек фазового пространства вызовами, а время анализа в узле анализа как время обслуживания теории массового обслуживания, то загрузке памяти к. у. соответствует занятие линий входным потоком вызовов в смысле теории массового обслуживания. При этом вероятность переполнения памяти к. у. соответствует вероятности отказа теории массового обслуживания. Далее излагаются результаты [77], связанные с расчетом загрузки памяти к. у. при достаточно общих предположениях.

При этом полученные результаты могут быть использованы и в теории массового обслуживания. Ниже применяется терминология последней, так как она наиболее распространена.

Пусть на вход кибернетического устройства с бесконечным числом ячеек памяти поступает поток независимых вызовов.

Будем характеризовать его случайной функцией равной числу вызовов, поступивших в промежутке времени где шаг дискретизации времени. Будем считать, что — независимые случайные величины при любых Пусть с каждым моментом 5 связана случайная величина означающая время обслуживания вызова, если он поступил в момент отсчитываемое с момента его возникновения до окончания обслуживания. Будем считать, что не зависит от при любых и имеет функцию распределения

Рассмотрим сначала случай дискретного времени когда моменты возникновения вызовов и окончания их обслуживания неразличимы, если они находятся внутри промежутков времени и отождествляются, например, с

Пусть каждый возникший вызов обслуживается (статистически анализируется) в отдельной ячейке памяти кибернетического устройства вплоть до момента вынесения окончательного статистического решения о его шумовом или сигнальном характере, после чего

ячейка памяти очищается и может воспринимать другие вызовы. При этих условиях число занятых ячеек памяти кибернетического устройства в момент является случайной целочисленной функцией. Требуется найти его распределение по заданным распределениям Введем производящие функции

и

Можно показать, что имеет следующее основное для дальнейшего изложения представление:

В самом деле, зафиксируем множество моментов, в которых появляется хотя бы один вызов Легко видеть, что случайная функция означающая число занятых ячеек памяти в момент при фиксации имеет вид

где случайная функция, определенная на вызове, поступившем в момент принимающая значение 0, если вызов обслужен к моменту и значение 1 в противном случае.

Другими словами, случайная функция

имеет производящую функцию

При фиксированных и различных являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, независимыми и от Поэтому для внутренней суммы (11.16)

можно воспользоваться свойством итерации соответствующих производящих функций при образовании сложного распределения [7]. Для внешней суммы (11.16) можно воспользоваться свойством мультипликативности производящих при образовании композиции соответствующих распределений, так как независимы при различных

В соответствии с вышеизложенным производящая функция имеет вид

где

— производящая функция распределения при условии, что

Легко показать, что производящая функция случайной функции имеет представление

где суммирование ведется по 5, пробегающем всевозможные наборов и 5 означает дополнение

Подставляя в соотношение (11.19) явное выражение после несложных преобразований с учетом соотношения (11.18) получим окончательно соотношение (11.15).

Дифференцируя (11.15) по х, получаем выражения для среднего и дисперсии

имеющие смысл при конечных соответственно.

Если имеет распределение Пуассона

с параметром

то также имеет распределение Пуассона

с параметром

в чем легко убедиться подстановкой соответствующего значения производящей функции в этом случае в соотношение (11.15).

Если в этом случае число элементов памяти кибернетического устройства конечно то имеет, как можно показать, усеченное на распределение Пуассона

Соотношение (11.23) указывает на то, что формула Эрланга [71] имеет место для дискретного нестационарного пуассоновского потока и произвольного распределения времени обслуживания.

Практически наиболее интересным является однородный случай, когда распределения не зависят от момента времени.

В этом случае соотношения (11.20), (11.21) и (11.22) заметно упрощаются. Имеем

так как

так как

В случае однородного Пуассоновского потока случайная функция имеет распределение Пуассона с параметром

Часто на практике достаточно велико и в этом случае распределение Пуассона переходит в нормальное распределение со средним и стандартным отклонением близкое к -распределению.

При этих обстоятельствах, когда не имеет практического смысла различать случаи Вероятность переполнения памяти, равная относительно небольшим занижением по сравнению с может быть сделана сколь угодно близкой к нулю при

Если производится дискретный анализ элементов фазового пространства с вероятностями появления импульсов соответственно в шумовых и сигнальных элементах, то, как легко следует из

где означают доли тех и других в фазовом пространстве.

Рассмотрим случай больших когда -распределение определяется единственным параметром . В этом случае можно выразить в компактной форме.

В самом деле, введем новую шкалу времени и обозначим [см. (11.26)]

Тогда, используя соотношение (11.28) и полагая будем иметь при

Рассмотрим частные случаи соотношения (11.29).

а) Случай постоянного времени обслуживания (критерий Неймана и Пирсона).

Здесь

Откуда, подставляя (11.30) в (11.29), будем иметь

б) Случай экспоненциального времени обслуживания, характерного для телефонных приложений. В этом случае

и, подставляя (11.31) и (11.29), будем иметь

в) Вальдовское распределение времени обслуживания

где (см. гл. 1, § 1.5.5)

и

(соотношение (11.34) получается из соотношений (1.111), (11.29).

Семейство нормированных кривых вычисленных по таблицам функций при различных и 3,0 приведены на рис. II.2. По ним среднее число занятых ячеек в момент вычисляется по формуле

где с определяется из соотношения (11.33).

Сопоставление кривых с аналогичными кривыми, рассчитанными решением на машине системы конечно-разностных уравнений [53], а также с конкретными реализациями указывает на хорошее согласование (см. II.6).

Рис. II.2. Семейство нормированных кривых при различных с.

Зная можно оценить время установления загрузки памяти. В самом деле, так как при монотонно возрастает, стремясь к 1, то, задавшись

некоторым малым и решая относительно уравнение получим для времени установления

Естественно выбрать так, чтобы в стационарном режиме среднее число занятых ячеек не менялось более чем на 1. Тогда (11.36) переходит в

Для рассмотренных ранее частных случаев имеет следующий вид:

а) постоянное время обслуживания

б) экспоненциальное время обслуживания

в) вальдовское время обслуживания.

Здесь при малых (т. е. больших Поэтому из (11.34) имеем при больших

откуда

Поэтому

При больших [см. (1.114)], где -квантиль нормального распределения. В этом случае

При больших и из (11.39) получим

В заключение рассмотрим случай непрерывного времени, когда и поток является ординарным [71], т. е.

откуда

В этом случае производящая функция где как легко показать, имеет вид

где

имеет распределение Пуассона с параметром

Из соотношения (11.42) следуют результаты, полученные для ([71], стр. 78) и При конечном числе ячеек памяти имеет усеченное на (см. 1.112) распределение Пуассона с параметром . В этом случае при когда из полученных результатов следуют результаты [72].