Главная > Методы статистического последовательного анализа и их радиотехнические приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ II.3. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА ЗАНЯТЫХ ЯЧЕЕК ПАМЯТИ КИБЕРНЕТИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА

Если интерпретировать фиксацию ячеек фазового пространства вызовами, а время анализа в узле анализа как время обслуживания теории массового обслуживания, то загрузке памяти к. у. соответствует занятие линий входным потоком вызовов в смысле теории массового обслуживания. При этом вероятность переполнения памяти к. у. соответствует вероятности отказа теории массового обслуживания. Далее излагаются результаты [77], связанные с расчетом загрузки памяти к. у. при достаточно общих предположениях.

При этом полученные результаты могут быть использованы и в теории массового обслуживания. Ниже применяется терминология последней, так как она наиболее распространена.

Пусть на вход кибернетического устройства с бесконечным числом ячеек памяти поступает поток независимых вызовов.

Будем характеризовать его случайной функцией равной числу вызовов, поступивших в промежутке времени где шаг дискретизации времени. Будем считать, что независимые случайные величины при любых Пусть с каждым моментом 5 связана случайная величина означающая время обслуживания вызова, если он поступил в момент отсчитываемое с момента его возникновения до окончания обслуживания. Будем считать, что не зависит от при любых и имеет функцию распределения

Рассмотрим сначала случай дискретного времени когда моменты возникновения вызовов и окончания их обслуживания неразличимы, если они находятся внутри промежутков времени и отождествляются, например, с

Пусть каждый возникший вызов обслуживается (статистически анализируется) в отдельной ячейке памяти кибернетического устройства вплоть до момента вынесения окончательного статистического решения о его шумовом или сигнальном характере, после чего

ячейка памяти очищается и может воспринимать другие вызовы. При этих условиях число занятых ячеек памяти кибернетического устройства в момент является случайной целочисленной функцией. Требуется найти его распределение по заданным распределениям Введем производящие функции

и

Можно показать, что имеет следующее основное для дальнейшего изложения представление:

В самом деле, зафиксируем множество моментов, в которых появляется хотя бы один вызов Легко видеть, что случайная функция означающая число занятых ячеек памяти в момент при фиксации имеет вид

где случайная функция, определенная на вызове, поступившем в момент принимающая значение 0, если вызов обслужен к моменту и значение 1 в противном случае.

Другими словами, случайная функция

имеет производящую функцию

При фиксированных и различных являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, независимыми и от Поэтому для внутренней суммы (11.16)

можно воспользоваться свойством итерации соответствующих производящих функций при образовании сложного распределения [7]. Для внешней суммы (11.16) можно воспользоваться свойством мультипликативности производящих при образовании композиции соответствующих распределений, так как независимы при различных

В соответствии с вышеизложенным производящая функция имеет вид

где

— производящая функция распределения при условии, что

Легко показать, что производящая функция случайной функции имеет представление

где суммирование ведется по 5, пробегающем всевозможные наборов и 5 означает дополнение

Подставляя в соотношение (11.19) явное выражение после несложных преобразований с учетом соотношения (11.18) получим окончательно соотношение (11.15).

Дифференцируя (11.15) по х, получаем выражения для среднего и дисперсии

имеющие смысл при конечных соответственно.

Если имеет распределение Пуассона

с параметром

то также имеет распределение Пуассона

с параметром

в чем легко убедиться подстановкой соответствующего значения производящей функции в этом случае в соотношение (11.15).

Если в этом случае число элементов памяти кибернетического устройства конечно то имеет, как можно показать, усеченное на распределение Пуассона

Соотношение (11.23) указывает на то, что формула Эрланга [71] имеет место для дискретного нестационарного пуассоновского потока и произвольного распределения времени обслуживания.

Практически наиболее интересным является однородный случай, когда распределения не зависят от момента времени.

В этом случае соотношения (11.20), (11.21) и (11.22) заметно упрощаются. Имеем

так как

так как

В случае однородного Пуассоновского потока случайная функция имеет распределение Пуассона с параметром

Часто на практике достаточно велико и в этом случае распределение Пуассона переходит в нормальное распределение со средним и стандартным отклонением близкое к -распределению.

При этих обстоятельствах, когда не имеет практического смысла различать случаи Вероятность переполнения памяти, равная относительно небольшим занижением по сравнению с может быть сделана сколь угодно близкой к нулю при

Если производится дискретный анализ элементов фазового пространства с вероятностями появления импульсов соответственно в шумовых и сигнальных элементах, то, как легко следует из

где означают доли тех и других в фазовом пространстве.

Рассмотрим случай больших когда -распределение определяется единственным параметром . В этом случае можно выразить в компактной форме.

В самом деле, введем новую шкалу времени и обозначим [см. (11.26)]

Тогда, используя соотношение (11.28) и полагая будем иметь при

Рассмотрим частные случаи соотношения (11.29).

а) Случай постоянного времени обслуживания (критерий Неймана и Пирсона).

Здесь

Откуда, подставляя (11.30) в (11.29), будем иметь

б) Случай экспоненциального времени обслуживания, характерного для телефонных приложений. В этом случае

и, подставляя (11.31) и (11.29), будем иметь

в) Вальдовское распределение времени обслуживания

где (см. гл. 1, § 1.5.5)

и

(соотношение (11.34) получается из соотношений (1.111), (11.29).

Семейство нормированных кривых вычисленных по таблицам функций при различных и 3,0 приведены на рис. II.2. По ним среднее число занятых ячеек в момент вычисляется по формуле

где с определяется из соотношения (11.33).

Сопоставление кривых с аналогичными кривыми, рассчитанными решением на машине системы конечно-разностных уравнений [53], а также с конкретными реализациями указывает на хорошее согласование (см. II.6).

Рис. II.2. Семейство нормированных кривых при различных с.

Зная можно оценить время установления загрузки памяти. В самом деле, так как при монотонно возрастает, стремясь к 1, то, задавшись

некоторым малым и решая относительно уравнение получим для времени установления

Естественно выбрать так, чтобы в стационарном режиме среднее число занятых ячеек не менялось более чем на 1. Тогда (11.36) переходит в

Для рассмотренных ранее частных случаев имеет следующий вид:

а) постоянное время обслуживания

б) экспоненциальное время обслуживания

в) вальдовское время обслуживания.

Здесь при малых (т. е. больших Поэтому из (11.34) имеем при больших

откуда

Поэтому

При больших [см. (1.114)], где -квантиль нормального распределения. В этом случае

При больших и из (11.39) получим

В заключение рассмотрим случай непрерывного времени, когда и поток является ординарным [71], т. е.

откуда

В этом случае производящая функция где как легко показать, имеет вид

где

имеет распределение Пуассона с параметром

Из соотношения (11.42) следуют результаты, полученные для ([71], стр. 78) и При конечном числе ячеек памяти имеет усеченное на (см. 1.112) распределение Пуассона с параметром . В этом случае при когда из полученных результатов следуют результаты [72].

1
Оглавление
email@scask.ru