2.3.2. Нормальное распределение.

Нормально распределенная случайная величина имеет плотность

где

Относительно двух параметров нормального распределения можно ставить 3 варианта задачи выбора между двумя гипотезами: 1) параметр а не известен, параметр известен; 2) параметр а известен, параметр неизвестен, и, наконец, 3) оба параметра одновременно неизвестны. Первый и второй варианты детально рассмотрены в [1]. Ниже будет рассмотрен лишь первый вариант и так как именно он рассматривается в гл. 4, 7. Подробные выкладки будут опущены, так как при необходимости можно обратиться к [1] и к гл. 4. Нормальный случай с неизвестным а и фиксированным играет особую роль среди других специальных распределений При нем все приближенные соотношения, связанные с асимптотической близостью гипотез, становятся точными. Этот факт связан с асимптотической нормальностью распределения сумм большого числа случайных слагаемых (см. 1.5.4).

Оптимальная обработка выборочных значений в классической процедуре основывается на логарифме коэффициента правдоподобия, который в рассматриваемом случае имеет вид

Логарифм элементарного коэффициента правдоподобия имеет вид

Будучи линейной функцией он снова

Если учесть, что здесь то легко видеть, что соотношения (1.55) и (1.56), имеющие приближенный характер, в общем случае для близких гипотез здесь оказываются точными. В частности, точными оказываются здесь соотношения (1.66)

В силу устойчивости нормального распределения (при композиции распределение суммы остается нормальным, а его параметры равны сумме параметров слагаемых) оперативная характеристика классической процедуры имеет точное выражение при конечных верное в общем случае лишь при близких гипотезах

откуда

Если строить классическую процедуру, основываясь на статистике

см. (2.35), то соотношения между параметрами останутся теми же самыми при замене единственного порога С на

Последовательная процедура основывается на двухпороговом анализе статистики (2.35) с постоянными нижним и верхним порогами со случайным числом выборочных значений. Переход к статистике

приводит к линейно зависящим от числа испытаний нижнему и верхнему порогам для нее

где

Параметры последовательной процедуры в этом случае имеют следующий вид.

Уравнение (1.30) имеет точное решение

что приводит к простому вычислению оперативной характеристики

Среднее число испытаний имеет вид

Откуда

При когда и

В случае несимметричных порогов при

и параметр распределения Вальда имеет вид

где

В рассматриваемом случае, для того чтобы распределение Вальда аппроксимировало распределение числа испытаний, достаточно требовать лишь несимметричности порогов.

Легко показать, что все выводы относительно оптимальной дискретизации, сделанные в классе для случая распространяются на случай произвольного

с соответствующим сдвигом шкалы х на Поэтому рассматриваемая нормальная плотность, принадлежащая классу имеет оптимальный порог дискретизации . В гл. 4 нормальное распределение встречается в связи с задачей когерентного обнаружения сигналов на фоне шумов.