§ 1.5. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СЕРИЙНЫХ ПРОЦЕДУР К ЗАДАЧАМ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В ШУМАХ

Пример 1. Обнаружение импульсного пакета сигналов с постоянной средней интенсивностью. Рассмотрим случай обнаружения при неопределенном моменте появления пакета сигнальных импульсов.

Дальнейшие расчеты относятся к случаю, когда серии выборочных данных охватывают только однородные совокупности (либо одни помехи, либо сигнал на фоне помех).

Серии, охватывающие переходные интервалы с частичным заполнением сигнальными составляющими, данными не учитываются. Понятно, что при коротких сериях погрешности из-за отбрасывания «переходных» интервалов могут не учитываться, в то же время при использовании длинных серий переходные ошибки должны специально оцениваться.

Произведем сравнение нескольких простых вариантов серийных процедур в условиях одинаковой средней частоты ложных срабатываний.

Условие нормировки средней частоты ложных срабатываний может быть заменено эквивалентным условием нормировки вероятности отсутствия ложных срабатываний на интервале, содержащем фиксированное число выборок.

Значение вероятностей отсутствия ложных комбинаций на интервале определяется решением уравнений в конечных разностях типа (1.39).

Например, для системы, использующей критерий из (1.39) при получим

Для системы, использующей критерий 1 из

Условие нормировки вероятности определяет изменение порогового уровня в зависимости от выбора критерия.

Можно фиксировать изменение порогового уровня при произвольном критерии по отношению к пороговому уровню, принимаемому в случае критерия «1 из я», т. е. из условия

Соотношение (1.46) связывает величины пороговых уровней при различных критериях обработки и определяет тем самым зависимость изменения вероятности превышения порога в присутствии сигнала при изменении критерия.

Для нефлюктуирующих сигналов вероятность превышения порога напряжением, получаемым на выходе цепи, состоящей из оптимального фильтра и линейного детектора, имеет вид

где отношение сигнал/помеха

В случае релеевских флюктуирующих сигналов со средней относительной интенсивностью вероятность превышения порога в условиях аналогичных (1.47) имеет вид

Используя условие нормировки ложных срабатываний (1.46), (1.47) и (1.48), получаем соотношение, связывающее вероятность превышения порога шумовыми выбросами в устройстве обнаружения, использующем критерий из с аналогичной вероятностью в устройстве, использующем критерий 1 из

Вероятность превышения порога в устройстве, работающем по критерию из I в присутствии сигнала в случае (1.49), принимает вид

где

В случае приема флюктуирующих сигналов (1.48) приводит к условию

Характеристики кумулятивной вероятности для стационарного приема флюктуирующих сигналов с в условиях нормировки ложных срабатываний по (149) представлены на рис. 1.1.

Нетрудно видеть, что при наблюдении пакета импульсов ограниченной длительности характер процесса изменяется, что сказывается в виде уменьшения крутизны функции нарастающей вероятности для выборок номеров

Если начало возможного появления сигнального (пакета и продолжителыность пакета известны (как, например, в случае равномерного скачкообразного обзора, когда начало и конец пакета задаются тактом зондирования) процедура обнаружения сигнала приобретает характер классической задачи о двухальтернативмом выборе по данным, полученным за фиксированное время наблюдения.

Пример 2. Обнаружение импульсного пакета сигналов с регулярно меняющейся интенсивностью. Рассмотрим обнаружение сигнала в нестационарном случае,

возникающем, например, при приеме сигналов от подвижного объекта.

Изменение вероятности превышения порогового уровня зависит от радиальной скорости движения источника, характере изменения интенсивности сигнала с расстоянием, вида флюктуаций и т. д.

Соотношение (1.33) представляет в нестационарном случае уравнение в конечных разностях с переменными коэффициентами, и кумулятивные вероятности могут быть определены рекуррентным способом.

Рис. 1.1 Кумулятивная вероятность при приеме пакета импульсом фиксированной интенсивности. 1. По критерию 2 из 2. 2. По критерию 2 из 3. 3. По критерию 1 из

На рис. 1.2 и 1.3 представлены характеристики кумулятивных вероятностей обнаружения получаемых при приеме эхо-сигналов от приближающегося объекта.

Характеристики рассчитывались по (1.33) в случаях нефлюктуирующих и флюктуирующих сигналов с учетом изменения интенсивности эхо-сигналов с расстоянием при «ормировке средней частости ложных срабатываний.

Вероятность ложного обнаружения при использовании одиночных выборок выбиралась равной относительное смещение предмета за время между импульсами принималось равным 10% от расстояния соответствующего дистанции 50% вероятности правильного обнаружения.

Данные графиков рис. 1.2 и 1.3 показывают, что для рассматриваемого примера при небольшой длительности принимаемого пакета (число компонент ) критерий 1 из оказывается не хуже более сложных критериев типа из различие в эффективности критериев увеличивается в области малых вероятностей пропуска сигнала.

Рис. 1.2. Кумулятивная вероятность при приеме пакета импульсов с возрастающей интенсивностью (нефлюктуирующий сигнал). 1. По критерию 2 из 2. 2. По критерию 2 из 3. 3. По критерию 1 из

Пример 3. Применение серийных процедур в задаче селекции следов изображения. В системе с конечным числом ячеек подлежащий воспроизведению образ представляет некоторое состояние группы ячеек (при бинарном квантовании каждая ячейка имеет два состояния).

Рассмотрим для определенности случай двумерной совокупности.

Ограниченность емкости памяти, как правило, не позволяет реализовать параллельную обработку данных

всех ячеек и используется последовательный способ, при котором ячейки поочередно коммутируются в течение времени кадра и отбираются лишь ячейки с «ненулевым» состоянием.

Уакс [48] рассматривал образ в виде следа изображения, искаженного действием помех.

В случае искажения образов при воздействии помех воспроизведение с высокой надежностью может быть достигнуто при совместной обработке данных за несколько кадров.

Рис. 1.3. Кумулятивная вероятность при приеме пакета импульсов с возрастающей интенсивностью (флюктуирующий сигнал). 1. По критерию 2 из 2. 2, По критерию 2 из 3. 3. По критерию 1 из

Способы сопоставления данных зависят от свойств подлежащего воспроизведения образа и, в частности, от стабильности картины во времени.

В простейшем случае образ состоит из отдельных «точек», положение которых сохраняется стабильным за время наблюдения (юбраз «нулевого порядка»).

При линейном смещении «точек» в интервале нескольких кадров образ описывается уравнением первого порядка. В более общем случае, когда образ

может быть описан уравнением порядка, можно говорить об образе порядка».

Селекция следов изображения достигается путем сопоставления данных с логическим отбором по принятому критерию.

а) Селекция образов «ненулевого» порядка. В случае селекции образов «ненулевого» порядка применение оптимальных алгоритмов может приводить к трудностям и могут рассматриваться критерии типа из

Например, при селекции образов 1-го порядка могут быть использованы критерии 3 из трех, 3 из четырех и т. д. Первые две отметки этих случаях создают контур образа, после чего проверяется попадание третьей отметки на продолжение намеченного контура. Аналогичный прием может быть использован при селекций образов 2-го порядка (возможные критерии 4 из четырех, 4 из пяти и т. д.).

Отметки в первых трех кадрах создают контур образа, последующие возникновения отметок на продолжении контура подтверждают выбор.

б) Ложное число данных при воспроизведении образов «ненулевого» порядка. Определим используемое для оценки загрузки емкости памяти число ложных образов «ненулевого» порядка, возникающих за счет шумовых отметок.

Полагая, что при обработке используются данные кадров, и учитывая данные кадра для образования следов, определим ложное число образов, возникающих на кадре по соотношению

где в зависимости от попадания отметок кадра на продолжение следов, намеченных по данным предшествующих кадров; случайное число намеченных следов.

Определим среднее число ложных образов.

Согласно теореме Вальда (9)

где - вероятность образования в кадре отметки на продолжении следа.

Полагая, что в среднем число элементов на продолжении следа равно получаем

т. е.

где

Число следов образованных по данным предшествующих ( кадров, определится в зависимости от характера воспроизводимого образа.

При расчете среднего числа следов используются соотношения, аналогичные (1.56) и (1.57).

Рассмотрим примеры расчета среднего числа ложных образов.

а) Образы 1-го порядка.

Для алгоритма по критерию "3 из трех" получим соотношение для числа следов, образованных по данным двух кадров

где число первичных отметок в кадре; в случае возникновения во "втором кадре отметки в элементе области, используемой для формирования следа; при отсутствии во втором кадре отметки в области продолжения.

Используя преобразования типа (1.54) (1.57), получаем

где число элементов в кадре; число элементов в области формирования

где число элементов кадра в области формирования, использующей первичные отметки кадра.

б) Образы 2-го порядка.

Для алгоритма по критерию 4 из четырех получим

где среднее число первичных отметок в кадре; среднее число отметок в области формирования в кадре; среднее число отметок в области формирования в кадре.

Аналогичным способом может быть определено среднее значение ложного числа образов при более сложных ситуациях.